книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1
.pdf§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА |
111 |
возросла до 600 Н . Найти функцию, определяющую зависимость работы от пути.
1653. Напряжение электрической цепи равномерно меняется. При t = ti оно равно Ei, при t = t2 оно равно Е2. Сопротивление R постоянно, самоиндукцией и емкостью пренебрегаем. Выразить работу тока как функцию времени t, прошедшего от начала
опыта. |
|
|
1654. Теплоемкость тела |
зависит от температуры так: с = с0 + |
|
fit2. Найти функцию, |
определяющую зависимость количе |
|
ства тепла, полученного телом при нагревании |
ог нуля до t, от |
|
температуры t. |
|
параболой у — хг, |
1655. Криволинейная трапеция ограничена |
||
осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти значения прираще
ния |
Д5 |
и дифференциала dS площади трапеции при ас= 10 и |
Длс = |
0,1. |
______ |
1656. Криволинейная трапеция ограничена линией */=]/х2-(-16, осями координат и подвижной ординатой. Найти значение диф
ференциала dS |
площади трапеции |
при г = 3 и Ах = 0,2. |
|
||||||||
|
1657. |
Криволинейная трапеция ограничена линией у = хь, осью |
|||||||||
абсцисс и подвижной ординатой. Найти значения приращения AS |
|||||||||||
площади, ее дифференциала dS, абсолютную (а) |
и относительную |
||||||||||
= “ |
j |
погрешности, возникающие при замене приращения |
|||||||||
дифференциалом, |
если х = 4, |
а |
Ах |
принимает |
значения 1; |
0,1 |
|||||
и 0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1658. |
Найти |
производную |
от |
функции у = |
У |
|
пРи |
|||
X = |
1. |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1659. |
Найти |
производную от функции y = ^sinxdx при х = 0, |
||||||||
х = |
я/4 |
и х = я/2. |
|
|
|
о |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1660. |
Чему |
равна производная от интеграла с переменным ниж |
||||||||
ним и постоянным |
верхним пределом |
по нижнему |
пределу? |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
_______ |
|
|
1661. |
Найти |
производную |
от |
функции у = ^ У 1 + х'2dx |
при |
|||||
х = 0 и х = 3/4. |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Qx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1662. |
Найти |
производную по х от функции |
У— \ —] - dx. |
|
||||||
|
1663. |
Найти производную по х от функции: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]j In xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
2 х*
112 |
ГЛ. V. о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л |
2с
1664*. Найти производную по х от функции $ In2лcdx. X
1665. Найти производную по х от функции д , заданной неявно:
J е* dt - f $ cos td i = 0.
оо
1666. Найти производную по х от функции д, заданной пара
метрическиt: |
|
i |
|
|
1) je = |
jjsin<df, |
у = ^c ° s tdi; |
|
|
|
0 |
|
о |
|
|
|
|
1 |
|
2 ) x — ^ tlntdt, |
g = ^ t z \ntdl. |
|
||
|
1 |
|
<* |
|
1667. |
Найти |
значение второй |
производной по г от функции |
|
|
|
|
у = \ т + * пр и 2 = l - |
|
1668. |
|
|
|
Я |
При каком значении х |
функция I (x) = ^xer*, dx имеет |
|||
экстремум? Чему |
он |
равен? |
о |
|
|
||||
1699. Найти кривизну в точке (0, 0) линии, заданной урав нением
y= \ ( l+ t ) la ( l+ t ) d t .
о
1670. |
Найти точки |
экстремума и точки перегиба |
графика |
|
X |
|
|
функции |
у = \ (х2 —Зх + 2) dx. Построить график этой |
функций, |
|
1671. |
о |
|
|
По графикам функций, данным на рис. 37 и 38, выяс |
|||
нить вид графиков их |
первообразных. |
|
|
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА |
113 |
Ф о р м у л а Н ь ю т о н а —Л е й б н и ц а |
|
1672. Вычислить интегралы: |
|
1) |
|
2) |
|
3) U v ^ d x ; 4) § ( x + ± f d x i |
||
|
I |
|
4 |
Г |
I |
|
5) |
j |
V x (l+ V x )d x \ 6) |
\{\Лс-Y x )d x \ |
7) |
||
8 |
|
9 |
) |
( a > 0 ,b > 0 y , 10) |
j ( / i - 1 ) 2da. |
|
|
l |
a |
' |
|
|
г, |
1673. |
Вычислить |
интегралы: |
|
|||
|
J l |
|
|
It |
|
|
1) |
^ sin JCdjc; |
2) |
Jcosjcdje |
|
|
|
о0
(объяснить геометрический смысл полученного результата);
|
3 |
|
я / 4 |
|
|
I |
|
^ 3 / 2 |
|
|
3) |
p |
d r , 4) |
j |
sec’ xdx; |
5) V - r ^ r : |
6) |
I |
у = - |
||
1874. |
Функция |
/ (JC) имеет |
равные значения |
в точках лс=а и |
||||||
х = Ь и непрерывную производную. Чему |
|
|
ь |
|
||||||
равен |
$/ '(*) dx? |
|||||||||
1675. |
Касательная |
|
|
|
|
|
а |
в точке с абс |
||
к графику функции g = f(x ) |
||||||||||
циссой х —а составляет с |
осью абсцисс угол |
я/3 и вточкевабс- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
ь |
циссой |
х = Ь — угол |
я/4. |
Вычислить |
(x)dx |
и |
$Г (*) /" (х) dx; |
||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
г ( Л ) предполагается непрерывной* |
|
|
|
|
||||||
ГЛАВА VI
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§1. Простейшие приемы интегрирования
Взадачах 1676— 1702, воспользовавшись основной таблицей интегралов и простейшими правилами интегрирования, найти интегралы.
1676. |
\ V xdx. |
■1677. |
$ у**» Дс. |
1678. |
|
1679. |
J 10Xdx. |
1680. |
\axexdx. |
1681. |
|
1682. |
J ~ = . |
1683. |
$3,4x-°'17dx. |
1684. |
$ (1 - 2u)da. |
1685. |
l ( V x + l ) ( x - V x |
+ l)dx. |
|||
1687. |
S(2xJ |
'a + |
ax-0-8- 5 * ° - » ) ix . |
||
1688. |
К l - 2\a dz. |
1689 |
|||
1690. |
j |
' *1 r / ~ |
dx- |
1691 |
|
|
|
|
|
|
■ 1 |
1692. |
[ |
- |
dx |
|
,693. |
|
J |
V'3 — Зх2 |
|
|
|
1686. J |
V x — x3ex + |
x2 |
dx. |
xt |
|
- x ) 2dx. V x
V^~V~x dx.
1694. . |
,1+cos^, |
d * . |
|
|
1 |
1 + cos l x |
|
1697. |
$ctg2 x d x . |
||
1701. |
f |
cos 2x-\- sin - .v' |
|
|
J |
' |
|
'« “ • |
,| 69e- |
1698. |
jj* 2 sin2 dx. |
1700. |
С (1 +x)'-dx |
f — pj-i—5;- . |
|
1702. |
^ (arcsiiiA: + arccosx)dx. |
В задачах 1703—1780 найти интегралы, воспользовавшись тео
ремой об инвариантности формул интегрирования.
1703- |
J si n* d (sin л:). |
* 1704. |
J tg3xd (Igx). |
( 97ПК |
f |
* 1706. |
$ ( * + l)15dx. |
|
|
-1708 |
dx |
|
|
|
|
|
J { 2 * — 3J5 |
• i' (a + bx)c (Сф 1). |
|
|
S 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ |
115 |
,7 0 9 - |
1710. \ V & -2 x d x . |
|
п и . |
1712. $ 2 х у 1 « + Т Л . |
|
J |
|
|
V (a + i>*)2 |
|
»7»3. |
\ x V T ^ d x . |
||
1715. |
С ^ d x |
|
|
|
J |
K i^ r y * |
|
1717. |
J |
_ * * c |
|
|
|
К ** + |
1 |
*1719. |
\sin3x cos xdx. |
||
172 .. |
| cos x dx |
, |
|
|
|
V^sin2* |
* |
1714. \x2\ /lfi+ 2 d x
1716. |
J |
* dx |
|
|
|
у 4 + x5 ' |
|
17Г8. |
j |
( Q x - 5 ) d * |
|
2 |/3JC2 —5JC+ 6 |
|||
|
|
||
1720.' S. |
sin x d x |
||
cos3 JC |
|||
1722. J cos3x sin2xd *.
1723. |
J |
V^InT |
, |
|
|
|
|
|
|
1724 |
f |
(arctg*)3^* |
|
|
|
|
•—-— ax. |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|||||||
* 1725. |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
,/^4* |
.) |
1 + * 2 |
|
|
||
( a r c s i n e s __*а |
* |
|
|
|
1726. |
f |
-------- dx -------- . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
J |
COS2 X Y |
1 + tg * |
|
|
||||||
1727. |
5 COS 3 x d ( 3 x ) . |
|
|
|
|
|
|
1728. |
f |
rf <1 + ln ^ |
|
|
|
|||
1729. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
COS2 (1 + |
InAt)* |
|
|
|
$ c o s 3 x |
d x . |
|
|
|
|
|
|
1730. |
J (cos a — cos 2x) dx. |
|||||||
1731. |
5 sin (2x — 3) dx^ |
|
|
|
|
•1732. |
J cos ( 1 —2x)dx. |
|
|
|||||||
1733. |
[ [ со5 [2х - А |
) ] - ’ л . |
|
•1734. |
J ex sin (ex) dx. |
|
|
|||||||||
1735. |
|
|
|
'736. |
| |
( Ц а г Ы п х ) |
|
m |
С (2дс—3)<f* |
|||||||
|
|
|
|
arcsin x |
' |
' l i 6 i ' J |
x3— 3 x + 8 * |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1738. |
I s£r. |
•1739. |
|
|
dx |
|
|
C |
x dx |
|
||||||
J — . |
|
|
|
*2+ l |
* |
|||||||||||
|
|
x 2 dx |
|
|
|
|
|
|
ex dx |
|
|
|
||||
1741. |
I |
|
|
|
|
|
|
|
1743 •J |
e2* dx |
||||||
>«+ 1 |
|
1742 |
• |
s ex -\ -1 |
|
|
|
|
||||||||
1744. |
$tgxd x . |
|
f 1745. |
Jctg x d x . |
|
1746. jtg 3 x d x . |
||||||||||
1747. |
$ctg( 2x + l ) d x |
- 1748 |
|
f |
sin2x |
dx. |
-1749. |
f |
f" |
|||||||
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
\ |
1 + CGS2* |
|
|
|
|
||
1750. |
j |
“”f |
d x . |
|
'1751. |
J esinxd (sinx). |
|
|
|
|
||||||
1752. |
^gSln^cosxdx. |
|
-\\7ЬЪ^\а>х dx. |
4 7 5 4 / $ <r*dx. |
||||||||||||
1755. |
e~3x+1 dx. |
‘ |
1756. |
J ex2xdx. |
1757. |
]e -x‘x*dx. |
||||||||||
1758. |
f |
d (x/3) |
л 1759 |
f |
dx |
|
|
|
|
|
||||||
|
J |
у l-(*/3)2 |
|
|
|
|
|
J |
V 1 — 25JC2•• |
|
|
|
|
|||
1760. |
f* |
dx |
|
* |
1761. |
f |
dx |
|
. 1 nCO |
f |
|
|
||||
J |
1 + 9 x 2 * |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 7 6 2 , j 2 x 2+ 9 * |
||||
1763. |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
е с |
f |
■ |
-*d x |
J |
/ 4 - 9 х а |
|
, 7e4- |
|
1 |
• |
1 /DO. |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
J |
У a3—x* |
||||||||||
116 |
|
|
ГЛ. VI. н е о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л |
|||||||
1766. |
( 4 ^ 7 - . |
1767. |
|
|
r = |
r |
,768 f |
|||
|
|
|
|
• J p |
||||||
1769. |
f |
|
|
1770 |
|
cos a |
d a |
|
||
У\—л* |
I a* |
+ sin'2 a |
|
|||||||
|
J |
|
|
|||||||
1771. |
^ C^ = -L d x . |
1772. |
$ ( e * + l) 3djc. |
|||||||
1773. |
f |
- ^ = d x . |
1774. |
J |
3 * — 1 |
|
||||
,„+!| dx. |
|
|||||||||
|
J |
У \ - х * |
|
|
|
|
|
|
||
1775. |
j |
] / ~ |
d x . |
1776. |
J |
* |
(1~ * 2) |
dx. |
||
|
|
1 |
X |
|
|
|
|
\ + x * |
|
|
1777. |
f |
± + x~ j ■dx. |
1778. |
|
|
d x |
|
|||
f (х + У * = Т Г |
||||||||||
|
J |
У71 — x 4 |
|
|
||||||
|
|
V(1 |
arcsin x dx. |
|
|
|||||
1779 |
|
2 x — У |
1780. |
[ K+(* ! ^ l x)2 dx. |
||||||
• I |
у I — x 2 |
|
|
J |
|
Y 1 —9л:2 |
||||
В задачах 1781 — 1790 найти интегралы, выделив цел подынтегральной дроби.
1781. ь + 4 dx.
С 3 + *
1784 • j 3 - . t dx.
,787.
1790. j X f - .
1782. |
J |
2 x + l |
dx. |
1783. |
У ^ ,-h |
|
1785. |
|
— 1) d x |
1786' |
j' W. |
||
|
|
2 |
||||
|
|
*® -l |
||||
1788. |
j |
dx. |
1789. |
| r v |
||
**+1 |
||||||
В задачах 1791 — 1807 найти интегралы, использова
разложения подынтегрального выражения и прием выделе ного квадрата.
1791. |
f |
d x |
* |
|
|
3 |
* < * - !) |
||
1793. |
I |
|
d x |
|
( * + 1 )(2 д _ 3 ) - |
||||
|
i Sid x |
|
||
1795. |
|
x * + |
T1 dx. |
|
1797. |
f |
__________ |
||
|
J |
*=+ 3 * - 10 * |
||
|
P |
(*- |
d x |
|
1800. |
3 |
l ) 2 + |
4 ‘ |
|
1803. |
f |
|
dx |
|
3 |
4X2+ 4 A-(-5’ |
|||
1805. |
|
|
d x |
« 5 ? |
|
УАх— Ъ—х*' |
|||
|
|
|||
1807. |
|
|
d x |
|
|
i/'o |
aZ |
(Di * |
|
|
|
|||
1792. |
Р |
d x |
|
|
|
3 |
* (* + 1) * |
|
|
1794. |
У |
|
|
|
,7 9 e * |
^ FTTJT+To * |
|
|
|
1798. |
j |
* £ * . |
1799. |
J 2 |
1801. |
J |
d x |
1802. |
У г |
X2+2JC+ 3 ' |
||||
1804. |
|
d x |
|
|
{ - 7 = _____ , |
|
|
||
|
J |
K l “ (2*+3)a |
|
|
1806. |
s |
d x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1^8+6*—9*4
|
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ |
1 1 7 |
В задачах |
1 8 0 8 — 1831 найти интегралы, использовав формулы |
|
тригонометрии |
для преобразования подынтегрального выражения. |
|
4 8 0 8 . |
\ cos2 х dx. |
1809. |
\sin2x d x . |
*8 1 0 . |
f |
~ |
Х |
||||
|
J |
|
|
|
J |
|
|
|
J |
l —cos A: |
|
1811. |
f |
~ |
|
* 8 1 2 . |
[ \ = £ £ ? d x . |
1813. |
f |
\ ^ sinxdx. |
|||
|
J |
l + smin.\rx * |
|
J |
I + |
COSA: |
|
J |
l-s m jc |
||
« 1 4 . |
| |
( t g * * + t g •*)<&. |
4*815. |
J |
>2а £*лг |
|
|
|
|||
■sin x cos x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1816. |
J c o s x sin 3 A*dx. |
1817 . |
§ c o s 2 x c o s 3 x d x . |
|
|
||||||
1818 . |
J s in 2 x s in 5 x d x . |
1819. |
§ c o s x c o s 2 x c o s 3 x d x . |
||||||||
1820. |
|
dx |
• |
1821. |
Г l _ s i n i 'd * . |
|
|
sin3jc |
|||
|
COS A' |
1822. |
^ COS X |
dx. |
|||||||
|
|
J |
cos* |
||||||||
|
|
cos3 x dx |
1824 . |
f |
sj!!lfL d a . |
|
|
dx |
|
||
|
|
1 • |
1825. |
Jf COS4 JC |
|||||||
1826. |
J c o s zx d x . |
.1 8 2 7 . |
\ tg *x d x . |
1828. |
$ sin5x d x . |
||||||
|
^ sin4 x dx. |
1830. J tg3 x dx. |
|
|
dx |
|
|||||
1829. |
1831 . |
J sin6x * |
|||||||||
|
|
§ 2. Основные методы интегрирования |
|
|
|||||||
|
|
И н т е г р и р о в а н и е п о ч а с т я м |
|
|
|
||||||
В задачах 1832 — 1868 найти |
интегралы. |
|
|
|
|||||||
>4832. |
$ x s in 2 x d x . |
1833 . J x c o s x d x . |
«*834. J x e - Vdx. |
||||||||
1835. |
\ x - 3 Xdx. |
1836. $ x " In x d x ( п ф — 1). |
|
|
|||||||
1837 . |
$ x a r c t g x d x . |
1838. $ arccos x d x . |
1839 . § arctg |
x d x . |
|||||||
1840. |
j |
y CSU~ dx- |
1 8 4 3 . |
( |
4 1 |
|
j |
*- |
1846. |
$ ln (x 2 -| -l)d x . |
|
1841 . $ x t g 2x d x . |
1842 . $ x c o s 2 x d x . |
|
1844 . |
1845. f ^ p S ^ d x . |
|
J у i + * a |
J |
y i —x |
|
1847. |
|
1848 . |
f |
x3 dx— - |
1849 |
. \ x 2 In (1 + x ) d x . |
|
|
1850. |
jj x V -v dx. |
1851 |
. $ x 3e vdx. |
1852 . $ x-ax dx. |
||
1853. |
J x 3 sin x d x . |
1854 |
. $ x 2 cos2 x d x . |
* 8 5 5 . $ In2 x d x . |
||
1856 . |
f |
-l ^ d x . |
1857 |
. V - ^ d x . |
1858. jj (arcsin x)2 dx. |
|
|
,) |
A- |
|
J J' A. |
|
|
1859 . |
$ (a rctg x )2 x d x . |
|
|
1860. |
Je * sin x d x . |
|
1861. |
\e3v (sin 2x - cos 2x) dx. |
1862. |
J e*x cos fix cbc. |
|||
1 1 8 |
Г Л . V I. н е о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л |
|
1863. |
Сsin Inл:dbc. 1864. |
Jcoslnxdx. |
1865*. f — ~dx . |
||||||
1866*. J VW +x*dx. 1867. |
j |
|
1868. \x4*s\nxdx. |
||||||
|
|
|
Замена |
переменной |
|
||||
В задачах |
1869 —1904 найти интегралы. |
|
|
||||||
4869. |
f -— -* |
(подстановка x - f 1= г2). |
|
||||||
1870. |
J-1 + у х+1 |
1871. |
f 4-v+3 dx |
1872. |
dx |
||||
J V x = l |
|
||||||||
|
|
|
J (x—2)3a*‘ |
•I x У x-j-1 |
|||||
1873. |
f - £ ± L |
dx |
1874. |
j* |
dx |
|
V~X |
||
) l-f-j/x |
1875.•J X (x+ 1 } dx. |
||||||||
|
J x / x = 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
4877. |
f* |
dx |
|
dx |
|
, 8 7 e - |
Ш |
* . |
|
J i + f x + i ’ |
4-878.•I Yax-\-b-\-m л |
||||
1879. |
f -^ .* dx |
(подстановка x = z6). |
|
|
|||||
|
■J y x — f x |
|
|
|
|
|
|
||
1880 |
dx |
|
1881. |
[ - J L — . 1882. |
|
|
|
||||
|
|
|
У |
J |
УX- ~YX |
• 1 |
|
j |
V~x+\‘ |
||
|
|
|
|
||
1883. |
^^=== . (подстановка eA‘-f 1 = г4). |
||||
1884. |
f - ^ |
. |
1885. |
Cyj + lnx dx. |
|
|
J y i 4-e-v |
|
|
J |
x In x |
1886. |
J V 1 -{- cos2 x sin 2x cos 2x dx. |
||||
/ A |
dx. |
|
J y/^X-—у |
||
|
, 8 8 7 ‘ |
Ш>*- $ y § = r 1 8 8 9 ‘ |
1890. |
\ — |
(подстановка |
x = —, |
или |
||
|
J хгУ x2-fa2 |
\ |
2 |
|
||
: = a shzj . |
x-dx |
|
|
|
|
|
1891. |
f - |
(подстановка x = asinz). |
|
|||
|
-J—y - a 2 - x 2 |
|
|
|
|
|
1892. |
£ |
dx |
/ |
подстановка |
1 |
или |
_____- |
|
x = —, |
||||
|
|
х У х 2— a2 \ |
|
2 |
|
|
x = a сН гj .
x = atgz, или
a
x = — ИЛИ
cos 2
1893. ^ |
d x . |
1894. j / 1 — x2 dx. 1895 £ dx |
1896. |
|
mi. |
, 8 9 8 - i' ^ % |
- |
, 8 9 Ч т р Ь г |
|
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ |
|
119 |
|||
.900. |
|
|
dx |
|
|
|
|
190!. j (,,+<)K4>i+, • |
|
|
|||
>902*. | |
>903*. У |
>904*. J |
£ + » £ . |
|||
В задачах 1905— 1909 найти |
интегралы, |
применив сначала за- |
||||
ену переменной, а потом интегрирование по частям. |
|
|
||||
1905. |
^ev*dx. |
1906. J sin у^х dx. |
|
|
|
|
1907. |
Г - i — — dx. |
1908. |
- d x . |
1909. f |
arctg x |
dx. |
|
J У ( 1 - Х2)Ц |
J |
1 + ^ |
J x - {1 + x2) |
|
|
|
Р а з н ы е з а д а ч и |
|
|
|
||
В задачах 1910— 20П найти интегралы. |
|
|
|
|||
1910. |
J (х + 1)У"х2 + |
2x"dx. |
1911. ^(l + |
e3j:)2 eaxdx. |
|
|
1912. |
j ^ - d x . |
1913. |
|
|
|
Vx |
|
1915. |
J x cos x- dx. |
|
|
i m . |
| |
2x5—3 x - |
dx. |
|
|
1 - j - 3 x a — AJlj |
|
|
|
dx |
|
>9>9. |
f j , (ЗН-е-'Г |
||
192 .. |
| |
2 x + L d x . |
|
|
|
Vl-l-x- |
|
1923. |
[ |
—}L^dx. |
|
|
J |
, / x |
|
1925. |
C |
X { l — 111" X |
|
|
J |
|
|
,927. |
(* |
(arctg x)n |
|
f |
*.r- dx. |
||
|
.J) |
” HI +--VA- |
|
,930. |
J |
cos® x |
|
1932. |
$ ( l - t g 3 x ) 2dx. |
||
19M- S 0 W
1936. ^ - ~ = . J (-^1 -j-2x
1938. $ (l/ sin x -[-co sx )
dx
1940 •I Y 5 — 2 x -j- x2
19U. l V T ^ e xdx.
1916. $(2-3*vy/ 5*i/ 3< & .
1920. f |
dx |
«/ |
|
o d & d
1928 |
sin2 tp cos2 ф ' |
1929. |
cos 2x |
dx. |
||
|
|
I coslx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1931. |
$ K tg 3xsec4xdx. |
|
|||
|
1933. |
J |
* + l * |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1935. |
f |
- £ * L_ |
|
|
|
|
|
J |
V2+4X ’ |
|
|
|
|
1937. |
J x У^а + xdx. |
|
|
||
dx, 1939. |
J amxbnjc dx. |
|
|
|||
dx
1941 •I Y 9хСГбх + 2 ’
120 |
ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
1942. |
P |
dx |
|
|
J |
У 1 2 л — 9л 2— 2 |
|
1944. |
6 |
(x + 2)dx |
2 ‘ |
|
.5 |
л2 + 2л + |
|
1946. |
6 |
(3x— l)dx |
|
|
J |
4л 2 — 4л + |
17 ' |
1948. |
P |
(л — 2 )dx |
|
|
J |
л2 — 7x-\- 12 ’ |
|
1950. |
f |
3 ~ 4v |
dx |
|
,1 |
2л 2 — Зл + |
1 |
1952. |
6 |
(2 — 5л) dx |
|
|
J } ^ 4 л 2 + 9 л - ( - 1 |
||
1954. |
P |
Y x d x |
|
|
J |
Y 2 л + 3 |
|
1943.
1945.
1947.
1949.
1951.
1953.
1955.
P ( 8 л — 11) Лл
J Y5 + 2 л - л 2 P (x — 3) dx
J У З — 2л — л2 P (З л — 1) <*л
3 У л2 + 2л н- 2
f |
. 2 х ± |
5 . |
Ах |
J |
У 9л2 + |
6л + |
2 |
Р(4 — Зл) dx
J 5л2 + 6 л + 1 8 •
Рxdx
J У Зл2— 11л + 2
$ V 7 = b d x -
1956.
1958.
1960.
1962.
1964.
1967.
1969.
1971.
1973.
1975.
1977.
1979.
1961.
1983.
1985.
1988.
$ arctg xdx. |
1957. |
|
|
sinxcosjcd*:. |
|
|
|
|
||||||
§я2 cos соxdx. |
1959. \е2хх'л dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos- x |
|
|
1961. |
£ |
In sin X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x> dx |
|
|
1963. |
J |
cos2 Зл |
dx. |
|
|
|
|
|
||
|
0 + * 4)®' |
|
sin 3 * |
|
|
|
|
|
||||||
P |
dx |
|
1965. J |
sin 2x dx |
|
|
1966. |
f |
dx |
|
||||
J |
1 — sin 3 * |
' |
4 — cos2 2x |
|
|
|
J |
e *+ l • |
|
|||||
J |
ex — 1 |
dx. |
1968. |
\ee*+x dx. |
|
|
|
|
|
|||||
gX+ • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ eu *+ 1‘>* dx. |
1970. |
|
[ |
-7= |
L |
dx. |
|
|
|
|
||||
f |
x arc sin x |
|
• $ |
У 2 + |
|
2л:2 |
|
|
|
|
|
|||
dx. |
1972 |
|
|
X COS X |
dx. |
|
|
|
|
|
||||
Y l— |
|
|
• i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ex s\n2 x dx. |
1974. |
|
$ (1+1вж)-^ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
-tgJC dx. |
1976. |
|
J |
|
|
d<p |
sin ф |
|
|
|
|
||
|
+ tg X |
|
|
|
|
Y 3 cos cp + |
|
|
|
|
||||
|
sin x dx |
|
|
|
J |
sin2 x cos x |
|
|
|
|
|
|||
Я ___ |
|
1978. |
|
(l+sin**) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f |
7l -T— |
- dx. |
|
|
|
|
|||
P jQ + c o s * ^ |
1980. |
J |
lnlnX-dx. |
|
|
|
|
|
||||||
J |
sin X |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
\ e-x*xbdx. |
|
|
|
|
|
|||||||
J xaex* dx. |
|
1982. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x3 dx |
|
|
|
J v 0 m |
|
|
|
|
|
||||
J Y 1 + 2 л 2 ' |
1986 |
|
1987. |
J |
У л2 - 8 |
|
||||||||
J |
Ш Е Е Е Лх. |
C |
dx |
|
dx. |
|||||||||
|
|
|
• |
|
b |
Yx*+ 4 |
|
|
|
|
||||
№ |
-dx. |
1989. |
j |
|
dX |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x*Y*2—3 ' |
|
|
|
|
|||||