Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

	$ I. СПОСОБЫ ТОЧНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ								131
									131
	1//3	dx				2/2	d x
2294.	I	dx			2295-	f	d x
2294.		(2х2+ 1) Y *2+		1 *	2295-	f	XY (х2—2)1*
		(2х2+ 1) Y *2+		1 *		/а/з	XY (х2—2)1*
			Р а з н ы е з а д а ч и
2296.	Вычислить		среднее		значение	функции		y = V "jc-f--L	на
отрезке	[1, 4].							У х
отрезке	[1, 4].
2297.	Вычислить		среднее		значение	функции		/ (х) = _ 1
отрезке	[1; 1,5].							Х 2 - \| - *	н а
отрезке	[1; 1,5].							/ (х)— jf n х
2298.	Вычислить		среднее		значение	функций		/ (х)— jf n х
f(x) = sin2x на отрезке [0, л].								на отрезке
2299.	Найти среднее значение фушвдии						=	на отрезке
[О, 2]<	г,	каком	а	среднее значение			функции # = i njc		На
2300.	При	каком	а	среднее значение			функции # = i njc		На
отрезке	[ 1, а]	равно средней			скорости изменения функции на этом
отрезке?
В задачах		2301— 2317		вычислить интегралы:

	2	dx
2301.	С	dx
2301.	j
	1/2	_ £х3 dx
2303.	f	_ £х3 dx
	J	*2- З х + 2 '
	2	dx
2305.		dx
2305.	! y ^ + r + K ^ + i ) 3’
2307.	[V 2 x + x2 dx.
	О
2309.	о
	о
	я/4
2311.	Jf	cosJ x	2312.

2314. j|(arcsinx)4dx.

2316. f

jl (x2+ 4 x + l)6/a

	2302 •I		х9 dx
	2302 •I		(1+х»)«*
		о
	2304.	* 7	х15 dx
	2304.	\	(1+х«)2/6 *
			(1+х«)2/6 *
	2306.	Г	х2 dx
	2306.	J	/ а 2+ х 2'
		/ з	x6 V\ + x2 dx.
	2308.	$	x6 V\ + x2 dx.
		0
		3	dx
	2310.		dx
	2310.	x\|/rx2+ 5x+ 1 *
		x\|/rx2+ 5x+ 1 *
Я/2	dx		Я/2	<ix
.)f	dx			<ix
.)f	:,2cosx+ 3‘		2313.
			1 -f- g- sin2 x
		16	__
	2315.	J arctg У V х — 1dx.
		Я/2	sin XCOS Xdx
	2317.	J	sin XCOS Xdx
	2317.	J	а2 cos2 x-J-fc2 sin?*

132	ГЛ. VII. СПОСОБЫ			ВЫЧИСЛЕНИЯ		ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
				л/2
	2318.	Показать,		что j		,	= j , где	а	и Ь - любые
				О
действительные числа, отличные от нуля.
					х
2319.		Решить	уравнение		(' —		12
			у		.1. хУх>-1		12
2320.		Решить	уравнение		f	d? . =	— .
					iJ2 V	^ T	6
2321.		Убедившись в справедливости					неравенств		— > 1 п л :> 1
						4
при	х > е , показать,			что интеграл			меньше	единицы, но
больше 0,92.
2322*. Показать,				что

0,523 <

У 4 — х2 — х3 < ' 4 у г2

2323*. Показать, что

		°'5 < J				« f	~	° ’523
2324.		Используя		неравенство				j^3
2324.		Используя		неравенство		sinx> -A :— ^ , справедливое при
х > 0 ,	и	неравенство			Коши — Буняковского				(см. задачу 1638),
			л/2		_______
оценить		интеграл	^	Vxs'mxdx.
			о			1
						1
2325*. Показать,				что 0,78 <		f	- ■< 0,93.
						y i	+	jc4
2326.		Найти	наибольшее и			наименьшее			значения	функции
	X
J(x ) =	\ JtZ .Jf+ 2 dt			на	0ТРезке Г— 1 • П-
	S	Найти	точку		экстремума		и	точки	перегиба	графика
2327.		Найти	точку		экстремума		и	точки	перегиба	графика
функции		y = $t — $ { t			— 2 )2 dt.
В		о
В	задачах 2328—2331, не вычисляя интегралов, доказать спра

ведливость равенств:

$ 1. СПОСОБЫ ТОЧНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

133

	я/8				.г7 — За-5 + 7*3— х dx = 0.
2328.	5	*10sin® хек = 0.	2329>.	Д	.г7 — За-5 + 7*3— х dx = 0.
	— л/8			Д	COS2 X
	1I	I		1/2
2330.	\ ecosxdx = 2 le cos*dx.		2331.	^	co sx ln
	—1	0		—*1/2
2332*. а)		Показать, что если	/(/)—функция нечетная, то
			—X		X
{()dt —функция четная, т. е. что J				f(t)dt = \f(t)dt.
		х	а		а
		х

б) Будет ли \f(t)dt функцией нечетной, если / ( 0 —функция

четная?

2333*. Доказать справедливость равенства

				У х	dt
		ы	и		dt		( * > 0 ) .
					1-W2		( * > 0 ) .
					1-W2		cl-;*
				iffх			cl-;*
2334.	Доказать	тождество j"					j
2335.	Доказать			l/г			l/e
2335.	Доказать	тождестве
	sin2*				cos2*
	j arcsin ]/ (гй -f-				j	arccos Y td t = ~ .
2336.	Доказать	справедливость				равенства
	l				i
	J xm(1 —x)ndx = $ а , я (1 —x)md x .,
	о				0
2337.	Доказать	справедливость				равенства
		ь		b
		5 / (х) dx = J f (a + b — x) dx.
		a		a
			л/2				fi/2
2338.	Доказать,	что	$	/(cosx)d x =			jj /(sinx)dx.	Применить
			6				6	л / 2
								л / 2
полученный результат			к	вычислению			интегралов	$ cos2 A dx и
;г/2								о
;г/2
\ sin2xdx.
					П		П
2339*. Доказать,			что		j	xf (sin х) dx = у j		/ (sin x) dx

134	г л , VII. СПОСОБЫ			ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ				ИНТЕГРАЛОВ
	я/2			Я/2
*=?	У - 2	/	(sinx)dx — n j		/(sin A) dx. Применить			полученный	pe-
*=?	о-
зультат к вычислению интеграла ^							i cosaх-dx.
	2340*. Показать,			что если		fix) —функция периодическая с пе-
			а + Т
риодом		Т,	то J f(x)dx		не	зависит	от а.
			а				что она нечетная на отрезке
	2341*. О функции f(x) известно,						что она нечетная на отрезке
	tp	*р-I					Т. Доказать,	х
[ — Г ’ Т			и имеет	период, равный			Т. Доказать,	что $f{t)dt	есть

также периодическая функция с тем же периодом.

2342.

Вычислить

интеграл

$ (1 — х2)я dx, где п —целое положи-

тельное

число, двумя способами:

разлагая

степень двучлена по

формуле для бинома

Ньютона

и с помощью подстановки х = sin ф.

Сравнив

результаты, получить следующую формулу суммирования

(Сп — биномиальные коэффициенты):

Г о

с « ,

с «

с 3

(— 1)ПС"

2 - 4 - 6 •-•- - 2п

- - 3- +

-5- -

т + ...

2 n - f l

1 - 3 . 5 - . . . ( 2 п + 1)'

2я

2343.

Интеграл ^ ^'l-scosx

легко

берется

помощью подста-

новки

t g y = z. Имеем

2л

2da

<|+ г’)(5-

3т+ з)

Но,

другой

стороны,

— 3 < — 3 c o s x < + 3 , следовательно,

2 < 5 - 3 C OS X< 8 H

> у .

Отсюда

2л

2я

Вя

и, значит, j 5 Z' .^cosx'> 7 '

Найти

ошибку в

рассуждении.

Л/4

2344*. Пусть

In — \ tg 'x d x

(л >

и целое).

Проверить, что

in + h -2-

Доказать,

что ^

/я < ^

$ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ	13S

2345*. Доказать справедливость равенства

$ егхе г *2 dz = е<2/4 $ е~ г2/‘ dz.

2346*. Доказать, что

..	екыЧ'-	О,	если	x < .b ,	0).
1,т	_ ----------			(<o>0, k > 0 , b > a >	0).
	f Jitfx2dx - {	со ,	если	x = b

§2. Приближенные методы

Взадачах 2347 — 2349 вычисления вести с точностью до 0 ,0 0 i. 2347. Площадь четверти круга, радиус которого равен едини

це, равна	С другой стороны, взяв единичный круг				с центром
в начале	координат, уравнение которого х2 -\-у1= \ , и				применяя
для вычисления		площади четверти	этого	круга интегрирование,
■олучим
	II	V 1 —x2 dx, т. е.	л = 4 J	\r \—x2 dx.
	4

Пользуясь правилами прямоугольников, трапеций и правилом Симпсона, вычислить приближенно число л, разбивая отрезок интегрирования [0, 1} на 10 частей. Полученные результаты срав

нить между собой и с табличным значением числа л. I

2348. Зная, что J \ » вычислить приближенно числоя.

Результаты, полученные по различным правилам, при разбиении

отрезка интегрирования на 10	частей сравнить между собой
и с результатами предыдущей задачи.
ю
J* — ,	используя правило Симпсона

при я = 10. Найти модуль перехода от натуральных логарифмов

кдесятичным. Сравнить с табличным значением.

Взадачах 2350— 2355 вычислить приближенно, пользуясь формулой Симпсона, интегралы, которые не могут быть найдены в конечном виде с помощью элементарных функций. Число п частичных интервалов задается в скобках.

■		(п = 10).	1	(n = 1 0 ).
2 3 5 0 .\ V l - x 3dx		(п = 10).	2351. ^ l/ l+ x 4dx	(n = 1 0 ).
о			о
5			я/3
2352. ^	(п = 6).		2353. j У cos <р dip	(п = 10).

1 3 6 г л . V II . С П О С О Б Ы В Ы Ч И С Л Е Н И Я		О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Х И Н Т Е Г Р А Л О В
	п / 2	я / 3
2354.	>^1 — 0,1 sin2cp dtp (л =	6). 2355. \ E ^ d x	(и =10).
	о		1.35
			1.35

2356. Вычислить по формуле Симпсона интеграл$ f<x)dx,

1.05

пользуясь следующей таблицей значений функции f(x):

X	1,05	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,35
/(■*).	2,36	2,50	2,74	3,04	3,46	3,98	4,60

2357. Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения площади участка между рекой и прямой АВ про

вешены	11 перпендикуляров			к АВ от реки через каждые						5 м
(следовательно,		прямая	АВ	имеет длину		60 м). Длины этих
перпендикуляров		оказались		равными	3,28	м;	4,02	м;	4,64	м;
5,26 м;	4,98 м;	3,62 м;	3,82	м; 4,68 м;	5,26 м;		3,82	м;	3,24	м.
Вычислить приближенное значение площади						участка.

2358. Вычислить площадь поперечного сечения судна при сле дующих данных (рис. 39):

AAi — А1/4-2= А^Аз —Л3Л4= Л4Л5= Л$А$ = Л«Л7= 0,4 м,

ЛВ = 3 м, AiBi = 2,92 м, Л»В2 = 2,75 м, Л3Ва = 2,52 м,

Л4В4 = 2,30 м, Л5Б 5= 1,84 м, ЛеВв = 0,92 м.

2359. Для вычисления работы пара в цилиндре паровой маши ны вычисляют площадь индикаторной диаграммы, представляющей собой графическое изображение зависимости между давлением пара в цилиндре и ходом поршня. На рис. 40 изображена ннди-

§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

137

каторная диаграмма паровой машины. Ординаты точек линий АВС

и ED, соответствующие			абсциссам		х0, дгь	х2, . . . , х 10,		даны сле
дующей таблицей:
Ординаты	линии	А В С		Ч	*i	*2	Ч	*4	Ч
Ординаты	линии	А В С		60.6	53,0	32,2	24,1	19,9	17,0
»	>	ED . . . . .	.	5,8	1,2	0,6	0,6	0,7	0,8
Абсциссы	линии..........................................	АВС . . .	. .	х»	Ч	х*	X,		$ 2
Ординаты	линии..........................................	АВС . . .	. .	15,0	13,3	12,0	11,0		$ 2
>	»	ED . . . . .	.	0,9	1,0	1,3	1,8		5,7

Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь ABODE. Ординаты даны в миллиметрах. Длина OF = 88,7 мм (точка F — общая проекция точек С и D на ось абсцисс).

В задачах 2360—2363 при нахождении пределов интегрирова ния необходимо воспользоваться методами приближенного решения уравнений.

2360.	Найти площадь		фигуры,	ограниченной			дугами парабол
у = х 1 —7 и у = — 2х2 + 3х и осью				ординат.
2361.	Найти площадь		фигуры, ограниченной параболой у = л3
и прямой у = 7 (х + 1 ) .				ограниченной^ параболой у —
2362.	Найти	площадь	фигуры,
«= 16 —хг н полукубической параболой					у — — у^х2.
2363.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у—4—х*
и у = У х .
2364.	На рис. 41 изображена индикатонная диаграмма (упро
щенная)	паровой	машины. Исходя		из	размеров,		проставленных
на чертеже (в мм), вычислить площадь ABCDO, если известно
уравнение линии		В С : pv* = const		(линия ВС		называется а д и а
б а т о й) ,	7 = 1 , 3 ,	АВ —прямая, параллельная				оси	Ov.

138 ГЛ. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

2365. На рис. 42 представлена индика торная диаграмма дизельного двигателя. От резок АВ соответствует процессу сгорания

смеси, адиабата	ВС — расширению, отрезок
CD — выпуску	и адиабата DA —сжатию,

Рис. 41

,Р

АЙ

	s	c
	s	0
	E	0
6	E	f '
6	2	f '
	^2. 20
	Рис.	42

Уравнение

адиабаты

ВС:ро*-3= const,

уравнение

адиабаты

AD : ри1-35 = const.

Исходя

из

размеров, проставленных на чер

теже

(в

мм),

определить площадь

ABCD.

Несобственные интегралы

И н т е г р а л ы с б е с к о н е ч н ы м и п р е д е л а м и

задачах

2366 — 2385

вычислить несобственные

интегралы

(или

установить их

расходимость).

4 - «

e~axd x ( a > 0).

2366.

2367.

2368.

]

V»

-f-oo

+ OD

4 .

2369

2x* dx

2370.

- r - 4 x

*2+ l '

+ З Й + 1 -2371-

— 00

■— oo

-f- GO

-f- OO

2372

*2(* + l)

2373'

( H F I F * - 237<-

-f- 00

Vo2

4- oo

2375.

2376.

xe~*’dx

2377.

x*e-xtdx.

X Y 1 + Д С *

4-oo

4- oo

2378.

xsin xd x .

2379.

e - ^ x dx.

2380.

e-xsinxdx.

+ 00

4- oo

+ oo

2381. J e-°*cosbxdx. 2382.

J arc^ xdx.

2383.

\ + X * 9

+ oo

2384. j

(^+1)2-

2385-

f ( Г + ^ А -

— 00

				$ 3. Н Е С О Б С Т В Е Н Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы							139
В задачах			2386 — 2393			исследовать			Сходимость интегралов.
	+ 00			dx.			+ ОО			+00
2 3 8 6 .J		*®+1		dx.	2387.		‘	x3 + '-dx.	2388.	\|	ст-г^ . , ,„ dx.
		*®+1					1				(^ + ж»+1)а/
							+ 00			+ 00
2389.	£	—(*l+ ]) dx.			2390. J Vxe~*dx. 2391.					j	~arctg x dx.
2392.	f	—	— .		2393.		C —
	.]	*1Шпдс					J	x (in х)л/г

И н т е г р а л ы от ф у н к ц и й с б е с к о н е ч н ы м и р а з р ы в а м и

В задачах 2394 — 2411 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

2394. f -r dl — . } / l - * 2

2397. j xln xdx .

2 4 0 0 .j - d x

*УТгПс'

x d x

н	о4
1

2
	dx	2396. f	~ L .
2395- f	И Д	2396. f	~ L .
2395- f	И Д
0

l/e

2398.

c In2

9ДП1 [

J К (*-

\u ^ v h

X '

d x

a ) ( b — x )

2403. f

2399. Jf ж In Ж

£	x 2 d x
	iсо4m1-*)

				d x				240Я	1	d x
		1—**+2/1						Z W b .	^		X2
		1—**+2/1									X2
	I						1
2406.	^	"	Я	* .	2407.		f	? + 1 d x .		2408.	I 'г г - * .
		у'*2					—J 1V *				J
							0	M *			' Л ! х
		\|пй+		^ л .	2410.		С	M *		2411.	' Л ! х
		\|пй+		^ л .	2410.		С			2411.	( ~ ^ - d x .
	— l		V *				i i				s’
В задачах			2412 — 2417 исследовать						сходимость		интегралов,
	i	,/■-				‘				1
2412■ Г		V *		Иг	941Л.	f		x*dx		2414. J
	s'					)	Г	0 - * 2)5		0
2415,.	C*							dx		n/2
2415,.	C*	esin x _ , •			2416	f		dx		2 4 '7 . J
'• J		esin x _ , •				J	e-—cos'			2 4 '7 . J

140 гл. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Р а з н ы е з а д а ч и

2418.

Функция f(x)

полуинтервале [a,

-)■ со)

непрерывна и

+*>

1(х )-+ А Ф 0

при х —*■

эо. Может

ли интеграл $ f(x)dx

схо-

диться?

+00

2419.

При

каких

значениях

интеграл

Хьх+ *пх dx

будет

А'— Sin X

сходящимся?

2420.

При

каких

значениях

сходятся

интегралы

-н»

+ 30

«у

■;

д-* In

х'

ж ( i n A:)*

При

каких

значениях

сходится

2421.

интеграл j

- —

(b < a )?

2422.

Можно

ли найти такое

чтобы интеграл

хкdx

схо

дился?

2423.

При каких значениях k

/»

ytt

dx сходится?

и t интеграл \

Я/2

2424.

При каких значениях т интеграл J

* dx сходится?

2425.

При

каких значениях k интеграл f

сходится?

s i n ft

В задачах

2426 — 2435

вычислить

несобственные

интегралы.

2426.

( — % = ,.

2427*.

1—X l ' l —Аа

хУ X—1

’

— I

+ < ю

+ о о

2428.

2429.

(

—

(я — целое

положи-

тельное число).

+ о о

xne x dx

2430.

(п —целое положительное число),

+ о о

2431.

xir,^ e~ x''dx

(п —целое

положительное

число).

2432.

J(ln x)"d jc

{п — целое

положительное

число),

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб27Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб41Сборник задач по подземной гидравлике..pdf