книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1
.pdf§ 3. ОСНОВНЫЕ
1990. |
|
\ г х <!х |
|
f r |
|||
|
•> УX« 1 |
||
1992. |
|
dx |
|
I |
(24- X) V l+ x |
||
1994. |
^ У х*+ ‘2х_dx. |
||
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
1996. |
f (ax-\- b) V.x |
||
1999. |
|
xb dx |
|
J |
УV x^' + 4 |
||
|
|||
x - dx
2002.
КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ |
J2J |
1991 |
V xf 1~h 1 |
K I + T - l dx. |
|
J |
V |
1993. |
dx |
— V x d x - . |
|
J |
х ( У х + у x) |
|
|
S |
x~ dx |
|
|
|
' |
|
|
|
J |
. Т У У у- |
||
1997. |
/ 1 -f- va |
dx. |
1998. |
|
хЫ |
||||
2000. |
j* |
dx |
|
2001. |
Vx ( * - l ) |
||||
Гx dx
J ( I - AV ' * '
f |
^ d |
x . |
J |
X - V |
x |
2003. f — —^-!-arctg.Kd;c.
J 2x V x |
b |
2004• |
C e * ( \ + e x)dx |
|
||
J |
y j z ^ |
• |
|
|
2006*. |
J |
ln(jr+,1l)~ 1- - ^ . |
||
|
|
x ( x + |
1) |
|
2008 |
5 |
arccos j/ " ■ x |
dx. |
|
|
_ |
* + l |
||
2010, |
J |
COSH; |
dx. |
|
' |
|
|
||
2005. J У ex — 1 dx,
2007. J XJ+ X'
2009. j \n(x + VT+~V-)dx.
dx
2011. j
cos:5 x у sin 2x
|
§ 3. Основные классы интегрируемых функций |
|||
|
|
Д р о б н о - р а ц и о н а л ь н ы е ф у н к ц и и |
||
В |
задачах |
2012— 2067 |
найти интегралы. |
|
1) |
Знаменатель имеет только действительные различные корни. |
|||
2012. J |
|
xdx |
2 Ш - f s c s h f |
|
|
|
(A-+1)(2X +1) * |
||
2 0 н -
2016.
2018.
2020.
2xJ-!-4 Ix — 91
f s = T T (*-f-3) (х—4) dx.
f |
- 8 ■dx. |
J * - - -Ах |
|
f |
32л- dx |
(2 х — 1) (Ах3— Ici.v-j- 15) ' |
|
(2л2— 5 1dx I x 1— 5л- + 6
20l5: |
|
|
2017- |
|
|
2019 f |
xdx |
|
.! |
x1—3x- [-2 * |
|
Г |
. v — 2 r ' - i _ 3 x . i _ o JC2 + |
4 |
2021 •J |
л ' — 5 л '+ -5 л |
dx. |
2) Знаменатель имеет только действительные корни', некото рые корни — кратные.
2022. |
J |
(л2—Зх+2) d x |
2023. |
U |
x+2,)2dx |
|
|
|
х(л2+2л+1) ’ |
|
.) U— 1) X |
||
2024. |
j |
х-dx |
2025. |
(* |
r,+ 1dx |
|
л3+5л2+8л+4 ‘ |
||||||
|
|
|
J |
X * - X * a x ' |
||
122 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2026 |
|
F |
-6.v4- lb — 5 |
dx. |
|
|
|
|
2027 • |
(* |
dx |
|
|
|
|
||||||
|
|
( х - ‘2 )* |
|
|
|
|
|
J X4—X2' |
|
|
|||||||||||
2028. |
j |
5 |
|
A2 dx |
|
|
|
|
|
|
2029 |
|
Xs — 6а2+ 9 а + 7 dx. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
A + 2)2 (*-]-4)2 • |
|
|
|
|
|
|
|
•S (х — 2)3 (дг — 5> |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
203°- ГИЫ)'^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а6 За |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2031. |
J (дс— I)2 (а2— 1)' |
||||||||||||||
2032. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7л:3— 9) dx |
|
|||||
|
|
|
1) (A3 — 4.V |
|
За ) |
|
|
|
|
2»33- |
J |
-5а3-|-6а2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
• х3— 2а2 4- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2034. |
j |
х 3 (х |
-*)* dx. |
|
|
|
|
|
|
2035. |
j |
|
|
|
|
|
|||||
3) З'наменатель имеет комплексные различные корни, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(’ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2036* |
|
|
|
|
|
|
|
|
2037. |
J |
Т+Ж ’ |
|
|
|
|
|
|||||
2038. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2030. |
] |
|
(2л:2 — За— 3) dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x —1) (л |
2а -|- 5) |
||||||||||||
2040. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2041. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— X4 ' |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(Зл2 |
Л'4-3) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(у- i1 |
|
•s A-5 + 2A3+ 4A + 4 |
|
|
||||||||||||||
2042. |
|
|
|
dx |
|
|
|
2043 |
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
||
f a |
- |
+ |
1) (A2 + x) |
|
|
|
|
|
( * + 1 ) * ( A * + 1 ) |
• |
|
|
|||||||||
2044 |
•s |
(x— |
l ) 3 |
( A 2 + 1 ) ' |
|
|
|
2045. |
|
В |
|
4+ 2л:3 + 2л:2 |
|
dx. |
|||||||
|
(л3 — 6) dx |
|
|
|
2047*. |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||
2046.• s, |
jji _j_ (Зд.а_| a* |
|
|
|
|
|
• |
j |
l + |
A'4’ |
|
|
|
|
|
||||||
4) Знаменатель имеет комплексные |
кратные корни. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
2 Ш - S |
^ |
T |
f * - |
|
204°* |
|
I ха+ х*)Щ + х 1) ‘ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2051 |
|
( |
|
|
*)4 dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J (A2 + |
2 A + |
2)4* |
|
|
|
|
|||
2052. |
J |
jjr " |
|
|
|
|
2053- |
S ПТ*п 1 TV ?' |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2+ 9)4' |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2054. |
s(i+ jr4)4* |
|
|
2055. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) Метод |
Остроградского. |
|
|
|
|
|
f |
|
(4л:2A — 8A) dx |
|
|||||||||||
2056 |
|
|
|
* |
+ 2 ,.rf.r. |
|
|
|
2057. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
U - l )2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(A'+ A-j- !)- |
|
|
|
|
|
|
|
.)J |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x--h 1 )* * |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• x ^ - j- x 4— 4A2 — 2 |
|
||||||
|
|
|
- 4':;V |
1 ь /.v. |
|
|
|
2059. |
\ |
£ ± |
|
|
|
|
dx. |
||||||
|
|
|
|
|
|
S’ |
|
x? (л:2+ |
1)" |
|
|||||||||||
|
|
|
X'i |
— 2A1 1-A'J |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
||||||
2060. |
J |
|
(x’~ |
1l2tfA |
|
|
|
2061. |
S* |
dx |
|
|
|
|
|
||||||
(l+A)(l-r A2)3’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
.) |
X4 (хЗ-Ь 1)2* |
|
|
|
||||||||||
2062. |
j |
(а2-'г 2а-Ь lO)3 - |
|
|
|
2063. |
1 |
|
(A + 2) dx |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
(AJ + 2A -[“2)3 |
3r'+ 4 dx |
|||||||||||
2004- |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
2065. |
J |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2(A2+ i)3a* |
|||||||||
|
|
Г |
5~ 3A 4“ 6A2 |
5A > |
|
dx. |
|
|
|
2067. |
Г |
|
|
9dx |
|||||||
2066. |
|
|
|
|
J 5A- (3—2A2}3* |
||||||||||||||||
|
|
J xi — xl—2A3 + 2A2+ A — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯ |
123 |
Н е к о т о р ы е и р р а ц и о н а л ь н ы е ф у н к ц и и
В задачах 2068—2089 |
найти |
интегралы. |
|
||
/ |
т f~ax+b р Г |
|
“ V |
||
1) Функции вида R {x, у |
у |
-a^x + bi |
|||
dx |
|
2069 |
|
|
dx |
2068. |
|
S У х + у ;+ 2 у » ‘ |
|||
x(Vx+V |
|
|
|||
x d x |
|
|
5 УШ" |
||
( * + i) i/2+ ( * + i ) 1/3‘ |
|
||||
2070. |
|
|
|
|
|
2072. \ 1/ —' z4dx . |
|
2073 |
. |
2 -j- У 1 -j- X |
|
|
, |
dx. |
|||
|
|
■ У - |
V l +■* |
||
1 — x d x
2074. 2075*.
T + x x ’
2) Дифференциальные биномы xm (a -|-
2076. |
\Ух(\ + V x ) Xdx. |
2077. |
|
2078. |
dx |
|
2079. |
XyX*+ 1 |
|
||
|
|
||
|
dx |
|
|
2080, |
I V T + * ‘ |
2081. |
|
|
У l — X* |
|
|
2082. |
№ |
dx. |
2083. |
J V (>x--1I ) 3 (x+2)J
bxn)pdx.
1 \- 3
J j r ^ l + J C ^ ) dx.
\х*\г {\ + x 3)2 dx.
dx
J y v + x *’
V x
2084. |
J |
^ l ^ xdx. |
2085. |
f |
|
|
dx |
||
|
- r ^ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
J |
|
XV’/ Il -+ JA |
||
|
j VT+7* dx. |
|
|
|
|
|
dx |
||
2086* |
2087 •I XU y r + x * * |
||||||||
2088. |
\ V x ( \ - x 2)dx. |
2089. |
iV T + V x d x . |
||||||
|
|
Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и |
|||||||
В задачах 2090— 2131 найти интегралы. |
|
|
|
|
|||||
2090. J sin3 х cos2 xdx. |
2091. |
\ d^JLdx% |
. |
||||||
|
|
|
|
J |
COS4 |
X |
|
|
|
2092. |
J |
dx |
2093J. |
|
sin4 X |
dx. |
|||
cos x sin^ x ‘ |
f — |
|
X |
||||||
|
|
|
.1 |
cosCOS2 |
|
|
|||
2094. |
J |
dx |
2095. |
J |
—J idx |
|
|
||
|
|
cos3 x sin3 x ' |
|
sm4 x cOS4 X' |
|||||
2096. |
f 7,sin* rf- V |
2097. |
f |
n m x -% . |
|||||
|
J |
(1—COSJIC)2 |
|
J |
(1 — cos*)2 |
||||
2098. |
J cos* x dx. |
2099. |
Jc tg txdx. |
|
|||||
2100. |
$ tg 6xd x . |
2 Ш . |
Jtg*xdx |
- |
|
|
|||
124 |
г л . vi. н е о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л |
2 1 0 2 . |
|
Г |
dx |
|
|
|
J |
s i n* х |
|||
|
|
||||
2 1 0 4 . |
|
С |
|
dx |
|
|
J |
( s i n х -f- c o s JC)-* |
|||
|
|
||||
2 1 0 6 . |
|
(' |
|
dx |
|
|
J |
a c o s |
x-j-b sill x ' |
||
|
|
||||
2 1 0 8 . |
|
f |
c o s 2 |
к dx |
|
|
J |
s i n x c o s 3 A- ' |
|||
|
|
||||
2 1 1 0 . |
|
C |
dx |
||
|
J |
5 — 3 c o s x * |
|||
|
|
||||
|
|
Г |
2 — s i n A . |
||
2 1 1 2 . |
|
\ |
------------ dx. |
||
|
|
J |
2 + c o s x |
||
2 1 1 4 . |
|
Г |
|
dx |
|
|
J 4 + t g A - - i ~ 4 c t g A * |
||||
|
|
||||
2 1 1G. |
|
Г |
|
dx |
|
|
J |
5 — 4 s in x + 3 c o s i * |
|||
|
|
||||
2 1 1 8 . |
|
f* |
dx |
|
|
J |
1 + sin2 x ‘ |
||||
|
|||||
2 1 2 0 . |
|
Г |
|
dx |
|
j |
a - sin2 x + b2cos2 x' |
||||
2 1 2 2 . |
|
P |
cos x dx |
||
J |
Sin2 A— COS;jX* |
||||
2 1 2 3 . |
|
|
1 + s i n xdx. |
||
2 1 2 5 * |
, |
{ |
V ™n>2x dx |
||
|
|
J |
sin-1x |
||
2 1 2 7 . |
Г |
dx |
|||
J |
У l — sin1 x |
||||
|
|||||
2 1 2 9 . |
f* |
(cos2x — 3) dx |
|||
J cos4 x Y 4 —ctg2 я ' |
|||||
|
|||||
2 1 3 1 . |
5 V tg * |
dx. |
|||
2 1 0 3 .
2 1 0 5 .
2 1 0 7 .
2 1 0 9 .
2 1 1 1 .
2 1 1 3 .
2 1 1 5 .
2 1 1 7 .
* |
cos4 x - f - |
s in 4 x , |
( |
COS2 A — |
S i n - A |
I |
Гdx
J s in x + c o s J B *
Гdx
J |
t g |
x c o s |
2x ’ |
Г |
|
dx |
|
J |
1 + |
tg J C * |
|
f |
|
dx |
|
J |
5 - ) - 4 s in |
x * |
|
f |
s i n 2 x dx |
|
|
J |
1 - t g J f * |
||
0 |
|
dx |
|
J |
( si n x - J - 2 s e c x ) 3 * |
||
Гdx
J 4 — 3 cos2 x-(-5 sin1
Гdx
2 1 1 9 .
J 1— sin4 A* r dx
2 1 2 1 .
J sin2A+ tg2**
2 1 2 4 . |
f |
|
V |
t r * d x |
|
J |
sin A COS A |
||||
|
|||||
2 1 2 6 . |
f |
|
|
dx |
|
J |
|
У sin3 A COS5.X |
|||
|
|
||||
2 1 2 8 . 5 V |
1 |
+ c o se c x dx. |
|||
Гdx
2 1 3 0 .
' - X |
l / |
4 * |
sm -2 |
у |
cos4 у |
Г и п е р б о л и ч е с к и е ф у н к ц и и |
|
||
В задачах 2132—2150 найти интегралы. |
|
||
2132. ^chxdx. |
2133. |
JshA dx. |
|
2I34 - J я н - |
2 ,3 s - |
U +« |
|
2136. $(chaa,\: + sham )d x . |
2137. |
$sh2xfl!.s. |
|
2138. Jth*x:dx. |
2139. |
$cthaxdjc. |
2140. \sh3 xdx. |
|
|||
|
|
§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ |
125 |
|||||||
2141. |
Jch 3А'Ас. |
|
2142. |
Jth 4jcrfjc. |
|
|
2143. Jsh 2jcch3jcAic. |
|||
2144. |
Jcth 5jcAc. |
|
|
2145. f |
|
|
|
|
||
2 Ш - f ш - |
|
|
|
,J sli x cli X * |
|
|||||
|
|
|
2 M - |
|
|
|
|
|||
2148. J/ th jc A * . |
|
2M9. |
J g i . |
|
2150. J |
|
||||
Р а ц и о н а л ь н ы е ф у н к ц и и от x и У ax2 4- bx- f e |
|
|||||||||
В задачах 2151—2174 найти интегралы. |
|
|
||||||||
2151* |
|
Г |
** |
|
|
0 1 5 0 |
f |
- |
dx |
|
|
J *У х2+ х + 1 |
|
|
J x У x2+ 4x—4 |
|
|||||
2153. |
Г |
|
dx |
|
|
°154 |
(* |
|
dx |
|
|
J |
хУх2+2х—1 |
|
“ |
J |
хУ2 + х - з Р ‘ |
|
|||
2155. |
[ V2xt |
X*dx |
■ |
|
о к е |
Г |
|
dx |
|
|
|
J |
х2 |
dx |
|
" |
J |
(x- 1 |
|
||
|
Р |
|
|
|
|
|||||
2157. |
|
|
|
2158. |
\Vx2- 2 x - \ d x . |
|
||||
3 (2х -3)У 4х -х*‘ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2159. |
5 У Зх2 — Зх -J- 1 dx. |
2160. |
5 / 1 - 4 x - x 2dx. |
|
||||||
2161. |
Г |
|
dx |
|
|
216? |
f |
|
dx |
|
|
3 |
ж—Ух2 —х+ 1 |
|
J |
x•^{x+ yT+lfi)^ |
|
||||
2163. |
f |
1+ / * а+ 2 * + 2 |
?|fi4 |
f |
_ |
x2(lx |
|
|||
|
J |
b4' |
j |
Y \ - 2 x - x 2' |
|
|||||
|
P |
(2x2—Зх) dx |
|
2166 |
f |
|
3x2—5x |
|
||
2165. |
3 |
Ух2-2 х + Ъ ‘ |
|
|
|
|||||
|
^ |
J |
/3 — 2A — A 2 <^X' |
|
||||||
2167. |
P |
3x*dx |
|
|
2168 |
С |
|
*3—A+ l j |
|
|
J |
У x2+ 4x+5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 Ух2+2х-\-2^Х‘ |
|
||||||
2169. |
f |
«*•-_«!+« , r |
0 1 7 0 |
f_ |
x*dx |
|
||||
|
J /x2- 4 x - 7 |
dx |
|
J / A2 + 4 A + 5 ‘ |
|
|||||
2171. |
f |
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
( * » + З а2+ З а + |
1 ) У х 1Ч - 2 а - 3 |
|
|
|
|
||||
2172.
2174.
f |
V T + X2 |
dx . |
2173. f |
( * ~ l) d x |
3 |
2 + x * |
и л - |
J |
x2Y 2 A2 — 2 A + 1 * |
p |
(2x+ 3 ) dx |
|
|
|
J |
(xa+2x+3) У x 2+ 2 x + 4 |
|
|
|
Ра з н ы е функции
Взадачах 2175—2230 найти интегралы.
P |
x3dx |
2176 |
|
xdx |
2175. |
|
f |
||
J |
' ( * - 1)12‘ |
|
J |
A— / A2 T— 1 |
126 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2177. |
a-{-xdx. |
2178. Г |
dx |
|
|
J |
acm x -\ -be-m x ‘ |
2179. |
Г |
x ^ |
l + |
x r lr |
|
|
J |
V \ -x |
|
||
2181. |
t* |
dx |
|
||
|
J |
1—X*' |
|
||
2183. |
Г In (x+ |
1)’Л» |
|||
|
j |
Vx+\ * |
|||
2185. |
$ x2 sh xdx. |
||||
2187. f arcsin A'dx |
|||||
|
J |
|
* 2 |
|
|
2189. |
^ xeV x dx. |
||||
2191. |
$ sin)/x dx. |
||||
2193. |
|
|
dx |
|
|
|
X — Ух'2 — 1 |
||||
|
|
||||
2194. |
f YAx+ xT .dXt |
||||
|
J |
|
* e |
|
|
2196. |
f |
-1 f |
1 —V xdx |
||
|
J |
V |
\+ Vx x* |
||
2198. |
C V 2 x+ 1 |
, |
|||
J |
|
x4 |
dX- |
||
2200. |
Г |
|
dx |
||
J |
sin 2 x—2 sin x’ |
||||
2202. |
Г |
|
dx |
|
|
|
J dr—b- cos- x' |
||||
2204. |
Г (In x— 1) dx |
||||
J |
|
In2 JC |
|||
2206. |
$ x2ex cos x dx. |
||||
2208. |
r |
|
dx |
|
|
J |
У sin3 xcos3 x " |
||||
2210. |
f |
sin 2x dx |
|||
J |
cos4 x-f- sin4 x' |
||||
2212. |
\ V t g 2x + 2dx. |
||||
2214. |
f* |
|
dx |
||
J |
(2 х - Ъ ) У и - х * % |
||||
2216. |
C |
xex dx |
|
||
J |
V i + * ' |
||||
|
|||||
2218. |
f |
* arctg X |
|||
|
J |
(1 + *2)2 |
|||
2180. |
Г |
x4 dx |
||
|
J |
|
(xs— 1) (.x+ 2) ‘ |
|
2182. |
1* |
dx |
|
|
|
J |
|
(*4 - l ) 2‘ |
|
2184. |
^ |
(x2 -f- 3 x -f- 5) cos 2x dx. |
||
2186. |
J |
arctg ( l |
- \ - Y x ) d x . |
|
2188. |
\ e ¥ x dx. |
|
||
2190. |
'\(x3 - 2 x 2 + 5)e3xdx .] |
|||
2192. |
Г |
|
dx |
l)1/4‘ |
|
J |
|
X3(x - |
|
2195. |
f |
|
У x2 + 1 |
|
|
J |
|
||
2197. |
Г |
|
dx |
|
|
J |
|
x3 V(f+ x j4 ' |
|
2199. |
C |
|
x1 dx |
|
J |
|
x * - l |
■ |
|
2201. |
Г |
|
dx |
|
J |
|
l+cos'^x" |
||
2203. |
5 x In (1 -f- * 3) dx. |
|||
2205. |
J |
|
V(x4~ l f |
|
2207. |
5 xexl (x2+ 1) dx. |
|||
2209. |
Г |
dx |
|
|
J |
|
sill3 x cos3 x ‘ |
||
2211. |
(* |
dx |
||
J |
|
1 + sin x+ cos x ' |
||
2213. |
f |
|
(x-— 1) dx |
|
|
J |
|
xVx4 -3 x 2+ l |
|
2215. |
I* |
xex dx |
||
|
J |
|
0 + * ) 2‘ |
|
2217. |
|
|
arctg xdx |
|
) |
|
xi |
' |
|
2219. |
f |
|
*Kt* Xdx |
|
|
J |
|
( ! + * ) « ■ |
|
§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ |
127 |
Гdx
2 2 2 0 . ) |
(1 — 2 * ) 4 ' |
|
|
|
|
|
|
|
f* |
(е3.х+ е лг) dx |
|
|
C |
|
dx |
|
|
2 2 2 1 . 1 |
|
|
|
2 2 2 2 . |
|
|
||
e ^ —e - ^ + l |
■ |
J |
|
|
|
|||
) |
|
/ |
1 + e * + e*x |
|
||||
Г |
tg x d x |
|
|
|
||||
2 2 2 3 . 1 |
l + t g x |
+ tg2 x" |
2 2 2 4 . J s i n 8 x d v . |
|
||||
! |
|
|
|
|
|
|||
’ |
(3 + * 2)2 * 2 dx |
|
2 2 2 6 . |
r |
|
x2 — 8x + 7 |
|
|
2 2 2 5 . 1 |
( 1 + * 2)4 |
• |
J |
(x2 - 3 * - 1 0 ) 2 1 |
|
|||
1 |
|
|
||||||
' |
dx |
|
|
2 2 2 8 . |
f |
(x + sin x) dx |
|
|
2 2 2 7 . | |
sin4 x + |
cos4 x ' |
J |
|
l - l - c o s x |
|
||
I |
|
|
|
|||||
Г x2— 1 |
|
dx |
2 2 3 0 . |
Г |
c ,in x XCOS2 X - |
■dx. |
||
2 2 2 9 * . |
x 3 + l |
/ 1 |
+ x * ' |
J |
w |
cos- X |
||
J |
|
|
||||||
ГЛАВА VII
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Способы точного вычисления интегралов
Н е п о с р е д с т в е н н о е п р и м е н е н и е ф о р м у л а
Нь ю т о н а — Л е й б н и ц а
Взадачах 2231—2258 вычислить интегралы.
—I
2231.
2233,
2235,
$V l+ x d x .
—-13i;
'dx
I
Т/2
. f2 n t |
\ j . |
sin |
— q>a)dt. |
2232. | (71 d x ll+5x)V
—2
9
2234. f ^ - d g .
J Vy+ 1 4
IS
dx
2236. J V x + 9 —Уя'
2a
2237. |
\ ( e x — 1)*ex dx |
|
2238. |
C |
Z d x |
( 6 > a > 0 ) . |
|||||
|
J |
2 b - ж |
|||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
„„„„ |
(• |
|
jt d x |
|
2240. |
p |
At |
|
|||
2239>i |
( ^ + l ) a * |
|
|
|
|
- (in лс)я |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y s / a |
dx |
2241. |
j;* |
i + |
IK x dx. |
2242. J |
ex , x d x |
. |
2243. |
P |
|||
x - |
J |
V ^ - x ^ |
|||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в» |
|
|
|
d x |
|
2245. |
V i n |
|
Xs d x |
|
2244. |
£ |
|
|
|
|
J |
( 5 |
||||
x |
У |
1 |
-i- l« J» |
|
Л |
/-'5.......: * |
|||||
|
l |
|
|
||||||||
|
аП |
|
|
adX |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
2247. |
^ |
|
|
|
|
2246. |
J1 |
( x — |
a ) ( x - 2 a y |
|
|
|
2JC- + 3 x — 2* |
|
|||
|
|
|
$ I. СПОСОБЫ ТОЧНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ |
129 |
||||||||
|
|
Г* |
|
dx |
|
2 |
dx |
|
|
1 |
|
dx |
2248. |
|
2249. |
f |
2250. |
—0.5 у 8 |
|
||||||
$ |
Х*+4х+5* |
x + л;1' |
+ |
х — х а‘ |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
Я/2 |
dx |
|
|
|
я/2 |
|
|
|
||
2251. |
|
Г* |
|
|
2252. |
j |
cos1 |
|
|
|||
J |
1+cosx* |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
- Я |
/ 2 |
|
|
|
|
rJ 0) |
|
|
|
|
2253. |
я/2 |
У cos х —cos3x<lx. |
2254. |
|
|
|
|
|||||
|
V |
J |
sin2 |
|
|
|||||||
|
|
-Я/2 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
2255. |
— n/i |
|
|
|
|
л/4 |
|
|
|
|
||
|
f |
ф А |
|
|
2256. |
$ |
ctg4<jpd<p. |
|
|
|||
|
|
J ,л i' sin я |
|
|
|
а |
|
|
|
|
||
|
|
__ч»/о |
г |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
—я/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/Я , |
|
|
|
|
л/1? |
|
|
|
||
2257. |
|
|
-т^ dx. |
|
|
2258. |
J |
cos /sin (21 |
|
|||
|
|
1/Л |
|
|
|
|
— л/2 |
|
|
|
||
В задачах 2259—2268 интегрированием по частям найти |
||||||||||||
интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
я/2 |
|
|
|
|
щ * |
|
|
2259. |
|
\xer*dx. |
2260. $ |
x cosx d x . |
|
2261. i |
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
я/4 |
|
|
2262. |
|
$x3sinxdx. |
|
|
2263. |
$ x log2x dx. |
|
|
||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
С — |
1 |
|
|
|
|
о /7 |
|
|
|
|
2264. |
|
J |
In (jf -f- l)d x . |
|
2265. |
Cf |
|
x3dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Я/2 |
s |
>/a2 + ** |
|
|
|
2266. |
|
$ ]/a2 — x-dx. |
2267. |
$ eix cosxdx. |
2268. |
$In3xdx. |
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
2269. Составить рекуррентные формулы для вычисления инте- |
||||||||||||
я/2 |
|
л/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
гралов |
$ соsnxdx и |
$ sin"xdx |
(п — целое положительное число |
|||||||||
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или нуль) и вычислить интегралы:
|
я/2 |
|
я/2 |
я/2 |
а) |
$ |
sin5xdx; |
б) J cos8xdx; |
в) j sinn xdx. |
|
0 |
0 |
0 |
|
2270. |
Составить рекуррентную формулу для вычисления инте- |
|||
|
я/2 |
sinmxcos" xdx (т и п —целые положительные числа или |
||
грала |
J |
|||
|
о |
|
|
|
нули: |
исследовать |
частные случаи |
четных и нечетных значе |
|
ний т и п).
2271. Составить рекуррентную формулу и вычислить интеграл
о
$ хпехdx (п — целое положительное число).
—I
5 Г. Н. Берман
130 ГЛ. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
ОПРЕДЕЛЕННЫХ |
ИНТЕГРАЛОВ |
|||||||
2272. Доказать |
рекуррентную формулу |
|
|||||||
|
С |
d x |
|
|
х |
|
|
2 / 1 - 3 [ |
d x |
|
J |
(1 + * |
Т |
2 (n — 1) |
(1 |
+ |
Xs)^" -21 ( л- -1 )1)3 J |
+(1х'У ~ 1 |
|
(п — целое |
положительное |
число) |
и |
вычислить с ее помощью инте« |
|||||
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
(* |
|
|
|
|
|
|
|
||
гРал ) i |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ё |
|
2273. |
Доказать, |
что |
если |
J m = Ппт х dx, то |
J m = e — rnJm-j |
||||
(т —целое |
положительное число). |
|
|
||||||
2274*. |
|
Найти |
§хр(1 — x)%dx |
То и о — целые |
положительные |
||||
о
числа).
З а м е н а п е р е м е н н о й в о п р е д е л е н н о м
ин т е г р а л е
Взадачах 2275— 2295 вычислить интегралы:
2275. |
- Y i - d x . |
2276. |
f |
}^xdx |
2277, |
f xdx |
||
|
J |
V x - \ |
|
3 |
1 + JC |
|
\ |
|
|
|
I |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
/ ^ d * |
|
29 |
|
°°78 |
' j |
|
xdx |
2279. |
ooon |
c |
||
- |
i + v * |
|
J |
Vex+er* |
|
) |
||
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л/4 |
|
|
2281* |
\ |
sine ~ dx . |
|
|
|
|
||
|
|
2282*. |
$ cos7 2 x 4 *. |
|||||
|
|
i |
* |
|
|
|
о |
|
1 |
|
2283. ^ (1 НJC2)9* |
2284‘ |
2286. j' i
l ________
2288. \ V ( \ ~ x 2f d x .
6
-Jn2 |
______ |
||
2290. |
I |
V l - e 2jcdx. |
|
|
о |
|
|
|
3 |
dx |
|
2292. |
|
||
(^ + 3)6/a* |
|||
j |
|||
Уз |
|
___ |
|
|
I |
|
I* / 1 + х * |
|
|
/ 1 — x* |
|
||
j |
Г |
& dX. |
|
2285. |
J |
dx . |
|
|
|
£ |
|
V2/2 |
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
2287. |
^ |
|
|
|
|
|
хьу |
i |
|
||
|
|
|
L |
|
||
|
|
|
Y2‘ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2289. |
\х2У \ - х Ы х . |
|
||
|
|
2291. |
|
dx |
|
|
|
|
* + / a a— x* |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
2293. |
f |
( / 2 5 |
dx. |
|
|
|
|
|
x* |
|
|
2.5