книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

s 4. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

21

функция имеет значения, большие

значений обратной функции,

и при каких — меньшие?

П о к а з а т е л ь н а я и г и п е р б о л и ч е с к и е ф у н к ц и и

129. Построить

график функции:

1 )0 = - 2*;

2) у = 2*+3;

3) у = 1 •3*;

4) у = 1 - 3- 3;

5) 0 = ( | ) ‘*

6) у = 2- *\

130. Используя

график функции

у = 2х, построить без даль­

нейших вычислений график функции:

1)0 = 2х-1-,

2) 0= 1- 2х

3)0 = 1- 2(*-1)/а 4-1•

131. Показать, что графиком функции y = k - a * ( k > 0 ) является

та же

линия, что и для функции у = ах, только сдвинутая парал­

лельно

оси ординат.

132. С помощью графического сложения построить график

функции:

2) 0 = х2 — 2х.

1) 0 = ха + 2*;

точек пересечения данных линий.

135.

Найти наибольшее возможное значение п, при котором

2х> х п для всех

x^slOO

(п целое).

136.

Доказать,

что 0 = shx и г/= th л: — нечетные функции, а

0 = ch x — четная

функция.

Являются

ли эти

функции

периоди­

ческими?

137.

Доказать

справедливость следующих

равенств:

1)

ch2JC — sh2х = 1;

2)

chax + shax = c h 2x;

3) 2 sh x ch x = sh 2x\

4)

sh (a ± P) = sh ct ch p ± sh p ch a;

5) c h ( a ± P ) = c h a c h p ± s h a s h P ;

6) 1 — th2JC =

:

1)

0 =

— log»*;

2)

0 = lg - ^ :

3)

0 =

|lgx|;

4)

0 =

log2|x|;

5)

0 = 1

+ lg (x + 2);

6)

0 =

log2|1 -x \ ;

7)

0 =

a'°Sa*;

8)

0 =

log* 2.

22

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

139.

Используя

график

функции

y = lgx, построить график

функции:

!){/ =

j l g

( * + l ) ;

2)

у = 2 1 g ( - 5 ± i) .

140.

Дана

функция у = х + lg-^. С помощью графического сло­

жения построить график данной функции

и по графику

найти

наименьшее значение этой функции в полуинтервале

(0, 2]. _____

141.

Показать,

что

график

функции

у = loga (x + |Лс2+ l)

симметричен относительно начала координат. Найти обратную

функцию.

что ордината графика функции у = logax

142.

Доказать,

равна

соответствующей ординате графика функции

y = loganX,

умножен­

ной на

п.

§ 5.

Тригонометрические

и обратные тригонометрические

функции

Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и

143. Указать амплитуду и период гармоники:

1)

y = sin3x;

2)

у = 5 cos 2х;

3)

у = 4 sin гос;

4)

у = 2 sin-g-;

5)

у = sin—

;

6)

y = 3sin-g-.

144.

Указать амплитуду,

период,

частоту и начальную

фазу

гармоники:

1)

у =

2 sin (Зх +

5);

2)

у = — c o s ^ - i - ;

3 )

у =

-д-sin 2я

g j ,

4)

y = sin

.

145.

Построить

график функции:

I)

у — — sinx;

2)

у = 1— sinx;

3 ) у = 1 — cosx;

4)

y = sin2x;

5)

y =

sin^ -;

6)

у = — 2 s i n ^ ;

7)

y =

cos2x;

8)

у = 2sin (x -

;

9)

y = 2si n( 3x +

~ ) ;

10)

y =

-~sin(2roc — 1,2);

II) y =

2 + 2 s i n ( ~

+

-J):

12)

у = 2 cos —g— ;

13)

у =

|sinx|;

14)

y =

|cosx|;

15)

y = |tgx[;

16)

у =

|ctgJC|;

17)

y =

secx;

18)

y= cosecx.

cosx

для

— lt< X s g O ,

19)

g =

для

0 <

x <C 1,

1/x

для

1<

i <

2 .

146.

Стороны треугольника

равны

1 см и

2 см. Построить

график площади треугольника как функции угла х,

заключенного

§ S. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

23

точки была а.

Составить

уравнение

гармонического колебания

абсциссы точки.

по окружности х2-\-у2= 1.

148. Точка

равномерно

движется

В момент

ее

ордината была у0, в

момент tj,

ордината

равня­

лась t)i. Найти

зависимость ординаты

точки от

времени,

период

1)

y =

sinjc +

cosx;

2) t/ = sin 2nx + sin3nx;

3)

y =

2 s i n j

+ 3 s i n j ;

4)

у = x + sin x;

5)

y = x —sinx;

6)

у = — 2х + co sx.

151. Графически

решить

уравнение:

1) лс = 2 sin JC;

2)

x = tgx;

3) x —cosx = 0;

4)

4 s i nx = 4 —x;

5)

2 -* = cosx .

152. Найги период сложной гармоники:

1)

i/ = 2 s in 3 x - f 3sin 2x

;

2) у =

sin / -f cos 2t;

3)

«/= sm -g- + si n~4~;

4)

у = sin 12nt - f y j - f 2

sin ^Зя/ - f

- f 3 sin 5nt.

153. Представить одной простой гармоникой:

1)

# = sin jc -fco sjt;

2)

t/ = sinx + 2 s i n ^ t - f j j .

24

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

/liSin (<ох4-ф1) +

sin (ш +

фа) =

A sin (шх + ф).

155*. Указать период функции и

построить

ее

график:

1)

у = |sinx |+ 1co sх ];

Рис

14

21

1

f 1sin*

1

I

sin *

'l

/ У

2 \

cos x

+

I cos x I j '

156. Найти область определения и выяснить вид графика

функции:

1)

*/=

lgsinx;

2)

t/= >Alg sin x;

3)

t/=

J/ ^ lg j-^

sin х | ‘

О б р а т н ы е т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и

157.

Построить график функции:

1)

y = arcctgx;

2) t/ =

2 arcsin|-;

3)

у = 14-a rctg 2x;

4)

у = у

— arccos 2х;

5) у = arcsin

158.

Круговой

сектор

с

центральным

углом а свертывается

в

конус. Найти

зависимость угла а

при вершине конуса от угла а

и

построить график.

а

159.

Картина

высотой

висит

на

стене

наклонно, образуя

1)

arcsin x 4-arccosx = л/2;

2)

arcsin'j/x4-arccosT/rx = n/2;

3)

arccos У 1 — х2= arcsin х;

4)

arccos У \—х- = — arcsin х;

§ 6. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

25

5)

arctg x =

arcctg-^-;

6)

arctgx =

a r c c tg i — я;

7)

arccos

= 2 arctg x ;

8)

arccos

= — 2 arctg xj

9)

arctg x +

arctg 1 = arctg

;

10)

arctg x +

arctg 1= я +

a rctg T ~ 7 *

деления и построить график функции:

_____

_

1)

у = arccosY 1—х2;

2)

^ a r c s i n j^ l —х +

arcsin У + ;

3)

y = arccosyq—г,*

4)

(/ = arctg x — a rc c tg y .

163*. Построить график

функции

t/ = arcsin (sinx). Доказать,

что эта функция периодична и найти

ее период.

1)

г/ =

х — arctg (tg х);

2)

(/ =

x -a rc s in (s in x )‘,

3)

г/ =

х arcsin (sin х);

4)

# =

arccos (cos х) — arcsin (sin*).

масштаб, в 20 раз

меньший, чем

по оси абсцисс. По графику

найти

наибольшее

и наименьшее

значения функции на отрезке

[— 3,

2]. В какой точке функция переходит от возрастания к убы­

ванию? Найти корень функции на

отрезке [— 4,

2]. Погрешность

вычислений 0, 1.

168. При изучении законов рассеивания шрапнели в теории

стрельбы требуется

построить

график функции

y = eAcosla, е т

^ 2,718. Выполнить построение

при А —2, давая а значения от 0

нужно

вырезать одинаковые квадраты

гак, чтобы из оставшейся

части

можно

было

согнуть коробку

емкостью 1600 см3. Какой

длины

должна

быть

сторона х

каждого вырезаемого квадрата?

Погрешность вычислений 0,01.

х* - f рх- - f </х + s = 0

171. Проверить,

что

если ь

уравнении

положить х2 = у, то это

уравнение заменится

системой

х2 = У,

(у-Уо)2 + ( * - х 0)2 = Л

где у0

1 — р

!

и г2= (/5 + 4 —s.

2

21

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

Пользуясь этим приемом, решить графически уравнение х4—

— Зха — 8х —29 = 0.

Погрешность вычислений 0,1.

172*. Используя

прием, указанный в задаче 171,

доказать,

что с помощью дополнительной замены переменной

х = х' + а

действительные корни уравнения 4-й

степени x* + axa + bx2 + cx+

-j-d = 0 могут быть

найдены графически путем отыскания точек

пересечения некоторой окружности и параболы у — ха.

Пользуясь этим приемом, решить графически уравнение х4+

+ 1,2х3— 22х2— 39х + 31 = 0 . Погрешность вычислений

0,1.

173. Графически найти корни уравнения e*sin x = l,

2,718,

заключенные между 0 и 10; указать

приближенную общую фор­

174. Графически решить систему

х 4 - у 2= 1 ,

16х2 + у =

4.

Погрешность

вычислений 0,01.

175. Построить график функции (в полярной системе координат)

по значениям полярного угла ср через

я /12 *):

1)

р = аф

(спираль

Архимеда);

2)

р = а/ср

(гиперболическая

спираль);

3)

р = еаф

(е^= 2,718)

(логарифмическая

спираль);

4)

р = a sin Зф

(трехлепестковая

роза);

6)

5)

р = а с о з 2ф

(двулепестковая

роза);

р = д(1 — собф)

(кардиоида).

Постоянную а > 0

Вычисления вести

с

точностью до

0,01.

выбрать произвольно.

*)

Здесь принято,

что

если р (<р) <

0,

то

на

соответствующем луче точки

«1 = 0,9;

«, =

0,99;

н3= 0,999; . . . ;

ип=

0,999 . . . 9; ...

л раз

Чему равен lim

«„?

Каково

должно

быть

п,

для того чтобы

Л—*00

абсолютная

величина разности

между

«„ и

ее

пределом была

не больше 0,0001?

«1

..

«2

1

« з

1

I

1 ,

^ г

д", •••,

«Л = ^2"* •• •

между ы„ и ее пределом была меньше заданного положительного

числа е?

^_|

178. Доказать, что ип=

■стремится к 1 при неограничен­

разности

между

ип и

1 не превосходит 10-4?

179.

Функция vn принимает значения

п

cos л e

cos -пл

Vi

cos-2- .

t>2

Vn =

-

1

'

~т~;

Найти lim

Каково

должно

быть п,

для

того чтобы абсо-

Я —»СО

vn и ее

лютная

величина разности

между

пределом

не превосхо-

днла 0,001?

Принимает ли v„ значение своего предела?

1

5

7

180.

Общий член ип последовательности « 1=

2-, «2=

Os — j ,

17

о п __1

п —нечетное

число, и

2ч4-1

«4= -j-g-, . . .

имеет вид —<рг, если

- ^

,

если п — четное

число.

§ 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

29

Ф у н к ц и и н е п р е р ы в н о г о а р г у м е н т а

190.

Дано у = ха. Когда х - * 2 , то у - * 4. Каково должно быть б,

чтобы из | х - 2 | < б

следовало \у —4 | < е = 0,001?

191.

Пусть

9 =

— 1

3

При х - * 2 имеем

Каково должно

быть б,

чтобы

из | х - 2 | < б следовало г/ — 3

I < 0, 1?

192.

Пусть

У =

X

1

1

2 (х+

\у ПРИ х->-3 имеем у-+-^- Каково долж­

но

быть

б,

чтобы

из

\х —3 1<

б следовало |-i- — г/|<0,01?

193.

Доказать,

что sinx

стремится

к

единице при

х-+ п/2.

Каким

условиям

должен

удовлетворять

х в

окрестности точки

х — л/2,

чтобы имело

место

неравенство

1— s i nx < 0,01? ,

194.

При

неограниченном

возрастании

х

функция

у = —q—j

стремится к

нулю: lim

- 0. Каково должно быть

N, чтобы

ж -.со х + 1

из

| x| > N

следовало

« < е ?

§ 2. Бесконечные величины. Признаки существования

предела

Б е с к о н е ч н ы е в е л и ч и н ы

196.

Функция мл принимает значения «1= 3, «2= 5,

«з =

7, . . .

• ••, «л = 2п +

1, . . . Доказать, что ыл — бесконечно большая величина

при п - уоо.

Начиная с какого п

величина

«„ становится

боль­

ше N?

197.

Доказать, что общий член мл любой

арифметической

про­

грессии

есть

величина бесконечно

большая

при n -v o o . (Когда

удовлетворять

х, чтобы имело место неравенство

| у | > 104?

199. Доказать, что функция y = j A j

бесконечно

велика

при

х -» -3 . Каким

должен

быть

х,

чтобы

величина

\у\

была

боль­

ше

1000?

200. Когда

х стремится к

1,

функция

у =

неограничен­

но

возрастает.

Каково

должно

быть

б,

чтобы

из \х — 1 | < 6

следовало

> N =

104?

30

ГЛ. И. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

201.

Функция у = 7jjrz\ бесконечно велика при х -» -0. Каким

202.

При

x -v +

oo

имеем:

у = lg х К

а

к о

в о

должно

быть М, чтобы из х > М

следовало у > N = 100?

203.

Какие из основных элементарных функций

являются

ограниченными во всей области их определения?

204.

Доказать,

что функция

у —

ограничена

на

всей

числовой оси.

205.

Будет ли функция У =

ограничена на всей числовой

оси? Будет ли она ограничена в интервале (0, + оо)?

206.

Является

ли

функция

г/ = lgsin х

ограниченной во

всей

области

ее существования?

Тот

же «опрос

относительно функции y = l g c o s x .

207.

1) Доказать, что функции у = х sin х и у = х cosx

не огра­

ничены при х->-оо (указать

для каждой из них хотя бы по одной

такой последовательности хп, для которой

«/„-*■ оо).

2) Будут ли указанные функции бесконечно большими?

3) Построить графики этих функций.

2хsin * и f (х) = 2- * sIn*.

208.

Построить графики функций / (х) =

Для

каждой

из этих функций указать такие две последователь­

ности

х„ и

х'п

значений

х,

что

lim /(x„) =

оо, a 1 !т / (х л) = 0.

Л —*00

п —♦оо

209.

При

каких

значениях

а

функция

y = a * s i n x

будет не

ограничена при х -* -+ о о (х->- — оо)?

210. Будет ли бесконечно большой неограниченная функция!

1)

/(*) =

^ c° s 7

ПРИ * - * 0 ;

2) /(x) = xarctgx

при

х ^ -о о ;

3)

/(x) =

2-t arcsin(sinx)

при

х -*- + оо;

4)

/(x) =

(2 +

sin x )lg x

при

х - * + оо;

5)

f(x ) =

(l -fsin x ) lgx

при

х -*- + оо?

211. Функция

ы„ принимает значения

0

3

4

п-\-1

til—

U2 —

I

^ 8 “

" д " » * ■ ■ у Мп

' п 2 J

* ' * *

Доказать, что

«л — бесконечно

малая величина

при

п -*-оо.

212.

Функция

«л

принимает

значения

цл — — 7,

—

i

l

l

я1—8

’ "" ’

U‘i

g"»

На— 27’

8 ’ """ *

/г*

Доказать, что

ип— бесконечно

малая величина

при п -> о о .

213.

Доказать,

что

y =

>-0 при х -* -0 . Каким

условиям

должен удовлетворять х, чтобы имело место неравенство |у |<

КМ?

214. Показать, что при х-> -4-оо функция

=

1 —V x

стремится к

нулю. Каким должно быть N, чтобы при x~>N было