книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

§ 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ

241

3835. J f (хг + ф + г®) (х dx+ у dy+ г dz).

L

3836*. Доказать, что интеграл

взятый в

положи­

тельном

направлении

по любому замкнутому контуру, заключаю­

щему внутри себя начало координат, равен 2я.

3837.

Вычислить

вдоль

окружности

хг + уг = 1

в

положительном направлении.

В задачах 3838— 3844 вычислить

криволинейные

интегралы

от

полных дифференциалов:

<2. 1)

(2. 3)

3838.

$ y d x + x d y .

3839.

5

2xydx+x*dy.

(—1. -)

(0. 0)

(5.

12)

3840.

J

(начало

координат не лежит

на

контуре

(3. ->

интегрирования).

р .

3841. J

-^====р, где точки

Pi и Рг расположены на концен­

диусами,

равными соответственно

Ri и R% (начало координат не

лежит на контуре

интегрирования).

(2.

1. 3)

(J. 2,

1)

3842.

$

xdx — y^dy+zdz.

3843.

J

yzdx + zxdy + xydz.

( ' . —1,2)

(1.2,3)

3844

(5.

3.

1)

f

zxdy+xydz—yzdx ^контур

интегрирования

не пере-

*

(7.

J

,

2.

3)

секает поверхности z =

~ j.

В задачах 3845— 3852

найти

функции

по данным

полным

дифференциалам:

3845.

du = x2dx + у1 dy.

3846. du = 4(x2 — y2)(xdx — ydy).

3847

d u - {x+2y)dx+ydy

8 '•

a u -

{Х+У)2

3848.

du-

dx

(х2+ У х2+' у2

у У х*+ У2

\ y2Vrx‘i +y2

3850.

М

^ Н

л + [ « А р - ф -

du = (2х cos у —у2sin х) dx - f (2у cos х — х2sin у) dy.

3S5I.

^

l ^

c t e

+

^ +

l )dy.

чоео

j . . _(3y—x) <Lx-\-(y—3x)dy

.

лам.

au

242

ГЛ. .XX», КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3853.

Подобрать

число

п

так,

чтобы

выражение

ствующую функцию.

b так,

3854. Подобрать постоянные а и

чтобы выражение

(уа+ 2 x1/ + a*»)dx— (*._+ 2*у+by_)dy было

полным

дифференциалом;

дифференциалам:

3855.

du =

dx4-dy+dz

3856. da = ^ ± M M ± ^ .

OOP.7

.

х+У +г

Yx*+y*+z*

yzdx+xzdy + xydz

3857.

а а ~

i -)_)fiy‘i&

3858.

d u - 2 ia d t^

)P ^

1.

3 8 5 9 .

2a

3860.

du =

= em dx +

ze^j+

dy + ( - — (x/ l ) H + ye**+ <r*) dz.

П р и м е н е н и я и н т е г р а л о в

В задачах 3861— 3868 вычислить при помощи криволинейного

интеграла

площади фигур, ограниченных

замкнутыми линиями.

3861.

Эллипсом x = acos/, y = bsin t.

3862.

Астроидой x —acos3t, y = asin3t.

3863.

Кардиоидой x = 2 a co sf —a c o s2 f, у= 2a sin t— asin 2/.

3864*. Петлей декартова

листа х3-]-!/3— 3axy = 0.

3865.

Петлей линии

(x + y)3 = xy.

3866.

Петлей линии

(x + y)* = xly.•

«/*)* = 2a* (х2 — if).

3867*. Лемнискатой Бернулли (х2+

3868*. Петлей линии (V х + V у)12 = ху.

Р а б о т а

3869.

В

каждой точке

плоскости

на

материальную точку

действует сила, имеющая постоянную

величину F и направление

силой,

при

движении точки

по дуге окружности х2 + г/2 = /?2,

лежащей в

первом

квадранте.

3870.

В

каждой

точке плоскости на материальную точку дей­

ствует

сила F,

проекции которой

на

оси

координат равны

Х —ху,

Y —х + у .

Вычислить

работу

силы F

при перемещении

точки

из начала

координат в точку

(I,

1): 1) по прямой у'=х\

244

ГЛ. XIII, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3879.

\ \ ydq, где

S — полусфера z = Y R 2 —* 2 — «/*.

S

3880.

$ $ ]/ # * — хя— tfdq,

где S — полусфера Z — Y R ? ~ * 2 —У*'

s

__

_______

3881.

\ ^x2y2dq, где

S —полусфера z = Y R 2—xi — yi .

где

S — цилиндр х2 + ^ = # 2, ограниченный

плоскостями 2 = 0

и

2= Я ,

а /•— расстояние

от точки поверх*

ности

до начала

координат.

3883.

^ J

где

S —сфера x2+

i/2- f г2 = # 2, а

г — расстояние

от точки сферы до фиксированной точки

Р(0 ,

0 ,

с) (O R ) .

S —часть

поверхности

гиперболического

параболоида z = xy, отсеченная цилиндром х2-\-у2 = R2, а г — рас­

стояние от точки поверхности до оси Ог.

3885*. Найти

массу

сферы,

если

поверхностная

плотность

в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого

фиксированного

диаметра сферы.

3886.

Найти

массу

сферы,

если

поверхностная

плотность

в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от неко­

торого фиксированного диаметра сферы.

П о в е р х н о с т н ы е и н т е г р а л ы по к о о р д и н а т а м

В

задачах 3887— 3893

вычислить

поверхностные

интегралы.

3887.

^ x d y d z + ydxdz+ zdxdy,

где

S — положительная сто-

S

плоскостями х = 0, у — 0,

2 = 0,

рона

куба,

составленного

х = 1 ,

У = 1,

2 = 1.

3888.

\\x2y2zdxdy, где

S — положительная

сторона нижней

s

половины сферы х2-\-у2 -\-z'l = R2.

3889.

J

J zdxdy,

где

S — внешняя

сторона

эллипсоида

~

+

■*2

\s

+

+ — = 1 .

- -

'

b*

^

са

И

z2dxdy, где

S — внешняя

сторона

эллипсоида Xй

4 -

5

“

+

£

+

£ « 1 .

~

Т

Ci

246

г . т а ш , к р и в о л и н е й н ы е и щ щ г р а я ы

3898.

Вычислить

интеграл

9вдач1К§88Г,

если S — сфера ра­

диуса R с центром в

начале координат.

'

3899.

Вычислю ^ интеграл

$ $[х3<WS W

*) + 5 :

4 - a?cos (N, г)]da,

s

*

где S —сфера

цищ бве 7? с центром в начале

координат, а N —

внешняя нормали.

3900.

Вычислить

интегралы

в аапьизх 3891— 3893, применяя

формулу Остроградскойз.

Г Л А В А XIV

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Уравнения первого порядка

У р а в н е н и я с р а з д е л я ю щ и м и с я п е р е м е н н ы м и

В задачах 3901— 3910

найти

общие решения дифференциаль­

ных уравнений:

3901.

(xy*-\-x)dx + (y — x2y)dy = 0.

3902.

хуу' = 1 - х2..

3903.

уу' =

.

3904.

y'tgx — у = а.

3905.

ху' + у = у*.

3906.

У' + У \ ^ = 0.

3907.

V l z r ^ d x + y V \ - x 2dy = 0 .

3908.

e~s (1 + J ) =

1.

^

3909.

у' = 10*+*.

3910.

у' - f s in ^ p - =

s i n - ^ p .

3911.

Зависимость между скоростью v снаряда

и пройденным

путем I в канале орудия устанавливается

в баллистике

следую-

щим

уравнением: v = b_^_ln-t где

и = -^

и

л < 1 .

Найти

зависи-

мость

между

временем i движения снаряда и

пройденным рас­

стоянием

/ по

каналу.

3912.

Если

х —количество

иодистоводородной кислоты

H J,

разложившееся к моменту времени t,

то

скорость разложения

^ определяется дифференциальным уравнением

= ki (—7 —)2—

.

где

ki, k2 и о — постоянные.

Проинтегрировать

это

3913.

y 's in x ^ t/ ln # у\х= п1г=*е.

3914.

=

*/|*-о=1.

3915.

sin yco$xdy = CQS ysinXTtx]

у |*-* =

я/4.

3916.

y —xt/ = b ( l + * i f y , у | ^ i= 1.

248

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3917.

Найти линию, проходящую через точку (2, 3) и обла­

дающую тем свойством, что отрезок любой

ее касательной, за­

ключенный между координатными

осями,

делится

пополам

в точке

касания.

3918.

Найти ‘ линию, проходящую

через точку (2, 0)

и обла­

торой

пропорциональна (n-f-l)-ft степени /(*).

Известно, что

/ 0 ) =

I-

прямолинейно

3925. Материальная точка массой 1 г движется

тываемому от момента / = 0, и обратно пропорциональной ско­

рости движения точки\

В момент t = 10 с скорость равнялась

0,5 м/с, а сила — 4 •10~4 Н. Какова будет скорость спустя минуту

после начала движения?

3926. Материальная точка движется прямолинейно, причем

так, что ее кинетическая

энергия в момент t прямо пропорцио­

до t. Известно,

что

при t = 0 путь s = 0. Показать, что движе­

ние равномерно.

3927. Моторная лодка движется в спокойной воде со ско­

ростью

о = 1 0

км/ч.

На полном

ходу ее мотор

был выключен,

и через

/ = 20

с

скорость лодки

уменьшилась

до Oi = 6 км/ч.

Считая, что сила

сопротивления воды движению лодки пропор­

S I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

249

начинает открываться, причем площадь отверстия пропорцио­

нальна времени и полностью отверстие открывается за Т с.

Ка­

кова будет высота Н жидкости в сосуде через Т с после начала

опыта? (См. задачи 2701—2706.)

3929.

Скорость

охлаждения тела

пропорциональна разности

между температурами

тела и среды. В

задачах 2710—2711

мы

которых расчетах считают, что он линейно зависит от времени:

k = ko(\ +а/)-

Найти при этом предположении зависимость между

температурой

тела 0 и временем t, полагая, что 6 = 0О при t = 0,

а температура

окружающей среды 0х.

переменными и решить их:

3931.

у' = cos (х —у) (положить

и = х — у).

3932.

у' = З х - 2 у + 5 .

3933. у'\ \ + х + у = х + у - 1.

3934.

у ' =

—

2.

3935.

у ’ =

3936.

x d y - y d x ^ y d y .

3937.

у'=

.

3938.

а

*

'

и

3939.

ху' - y

= V W + ]f.

у

'

х

3940.

У2 + х2у '= хуу'.

3941.

у' = еУ /*+ Ух-.

3942.

ху'= i/ln-J-

3943. (3у2-f.3ху-\- х2) dx — (х24- 2ху) dy.

3944.

#/

у

4-

V{у/х)

у -

х

250

ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3945.

(ху' —у) arctg - j — x',

У\х- 1= 0.

3946. (у2 — За*)dy+ 2хуd* = 0;

у|*_„=1,

» " 7-

я

— =

- ‘ -

3948,

у {ж )л+

2хж ~ у = 0 ;

y \ *-o= V b .

3949.

Привести

уравнение

у' = ~ + ф (у ) к квадратуре. Ка­

кова должна быть функция ф (“ ). чтобы общим

решением дан­

ного уравнения было у =

(—|^ |?

3950.

Найти линию, у

которой квадрат длины

отрезка, отсе-

3954.

у' + 2у = 4х.

3955.

у' + 2ху = хс*\

3956.

у' +

1_Оу

3957.

( l+ J t 2) / — 2*i/ = (1 + * * )* .

—j r - 0 = l .

3958.

у'

у ~ cos *.

3959.

у' + ау = етх.

3960.

2у dx + {y2 —6*) dy =

0.

3961.

у'

2х —1 у * '

3962.

у' = тг т ~ --------•

3963.

х { у ' - у ) ^ ( 1 + х 2)е*.

*

2у 1 п у + у — х ’

3964.

у' -(- уф' (*) — Ф (х) Ф' (JC) = 0,

где Ф (*) — заданная функ­

3965.

у' —pt g x = secx;

р|*_о= 0.

3966.

ху' + у - е х = 0;

у\х_а = Ь.

3967.

x y ' - . J L f ^ x ;

у U_1 = 0.

3968.

П\+Р)<Ьс = {х+ хе - pydt; х I,.! = - n/4.