книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

будет параллельно поверхности воды?

2694. Квадратная пластинка погружена вертикально в воду так, что одна из вершин квадрата лежит на поверхности воды, а одна из диагоналей параллельна поверхности. Сторона квадрата равна а. С какой силой вода давит на каждую сторону пластинки?

2695. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание кото­ рой а = 6,4 м, нижнее 5 = 4,2 м, а высота Н — 3 м.

2696. Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погру­ жена в жидкость (вертикально), так что одна из осей (длиной 25) лежит на поверхности. Как велика сила давления жидкости на каждую из сторон этой пластинки, если длина погруженной полу­ оси эллипса равна а, а плотность жидкости d?

2697. Прямоугольная пластинка со сторонами а и 5 (а > 5) погружена в жидкость под углом ос к поверхности жидкости. Большая сторона параллельна поверхности и лежит на глубине /г. Вычислить силудавления жидкостина каждую изсторон пластинки, если плотность жидкости d.

2698. Прямоугольный сосуд наполнен равными по объему ча­ стями воды и масла, причем масло вдвое легче воды. Показать, что давление на каждую стенку сосуда уменьшится на одну пя­ тую, если вместо смеси будет взято одно масло. (Учесть, что все масло находится сверху.)

При решении задач 2699—2700 следует опираться на закон Архимеда: подъемная сила, действующая на погруженное в жид­ кость твердое тело, равна весу вытесненной им жидкости.

2699. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого 5 = 4000 сма, а высота Я = 50 см, плавает на поверхности воды. Плотность дерева d = 0,8-10a кг/м3, а) Какую

погрузить в воду целиком.

2700. Шар радиуса R с плотностью 1 погружен в воду так, что он касается поверхности. Какую работу нужно затратить, чтобы извлечь шар из воды?

Задачи 2701—2706 связаны с явлением истечения жидкости из малого отверстия. Скорость истечения жидкости определяется по

вязкости жидкости и характера отверстия, из которого происходит истечение. Для воды в простейшем случае р,=0,6.)

площадь этого отверстия, если известно, что вода, наполняющая сосуд, вытекает из него в течение 2 мин.

Рис. 54 Рис. 55

2704. Котел имеет форму эллиптического цилиндра с горизон­ тальной осью. Полуоси эллиптического сечения (перпендикуляр­ ного к оси цилиндра) равны b (горизонтальная) и а (вертикаль­ ная); образующая цилиндра равна L (рис. 54). Котел наполнен водой до половины, За какое время вода вытечет из котла через отверстие в его дне, имеющее площадь 5?

2705. В вертикальной стенке призматического сосуда, напол­ ненного водой, проделана прямоугольная вертикальная щель, вы­ сота которой равна h, ширина Ь. Верхний край щели, параллель­ ный поверхности воды, расположен на расстоянии Я от поверх­ ности. Какое количество воды вытечет из сосуда за 1 с, если

считать, что уровень воды поддерживается все время на одной высоте? Рассмотреть случай Н — 0 (задача о водосливе).

2706. Сосуд, наполненный до краев водой, имеет форму парал­ лелепипеда с площадью основания 100 см2. В боковой стенке его имеется узкая щель высотой 20 см и шириной 0,1 см (рис. 55).

стоянная для данной массы газа, Решить задачи 2707—2709, счи­ тая газы идеальными.

(уравнение Пуассона). Для двухатомных газов (а также для воз­ духа) у т 1,40.

По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорцио­ нальна разности между температурой тела и температурой окру­ жающей среды. На основании этого закона решить задачи 2710—2711.

2710. Тело, температура которого 25°, погружено в термостат (в котором поддерживается температура 0°). За какое время тело охладится до 10°, если за 20 мин оно охлаждается до 20°?

2711. Тело, температура которого 30°, за 30 мин пребывания в термостате, температура которого 0°, охладилось до 22,5°. Ка­ кова будет температура тела через 3 ч после начала опыта?

По закону Кулона сила взаимодействия двух электрических зарядов равна Н, где ^ и ^ — величины зарядов в куло-

нах, г—расстояние между зарядами в метрах, электрическая по­ стоянная е0= 8,85-Ю-12 Ф/м (4яе0=1,1110-10) и е—диэлектри­

ческая проницаемость среды относительно вакуума (для воздуха ег^1). На основании этого закона решить задачи 2712—2714.

2712. Бесконечная прямая равномерно заряжена положитель­ ным электричеством (линейная плотность электричества о). С ка­ кой силой действует эта прямая на единичный заряд, находя­ щийся в точке А на расстоянии а от нее? Диэлектрическая про­

деляющей их средой служит воздух. Сначала оба заряда закреп­ лены неподвижно, затем заряд q2 освобождается. Тогда под дейст­ вием силы отталкивания заряд q2 начнет перемещаться, удаляясь

Каково будет расстояние между зарядами, если мы приблизим старой к первому, затратив при этом работу 1810 5 Д;к? (Раз­

деляющей средой служит воздух.)

2715. Напряжение на клеммах электрической цепи V = 120 В.

Вцепь равномерно вводится сопротивление со скоростью 0,1 Ом

всекунду. Кроме того, в цепь включено постоянное сопротивле­

ние г =10 Ом. Сколько кулонов электричества пройдет через цепь в течение двух минут?

2716. Напряжение на клеммах электрической цепи, равное первоначально 120 В, равномерно падает, убывая на 0,01 В в се­ кунду. Одновременно с этим в цепь вводится сопротивление тоже с постоянной скоростью, именно 0,1 Ом в секунду. Кроме того, в цени имеется постоянное сопротивление, равиое_12 Ом. Сколько кулонов электричества протечет через цепь за 3 мнн?

2717. При изменении температуры сопротивление металличе­ ских проводников меняется (при обычных температурах) по за­ кону /? = «о (1+0,0046), где /? 0 —сопротивление при 0 &С и в —

температура по Цельсию. (Этот закон справедлив для большин­ ства чистых металлов.) Проводник, сопротивление которого при 0°С равно 10 Ом, равномерно нагревается от = 20° до 62 = 200J

в течение 10 мин. В это время по нему идет ток под напряже­ нием в 120 В. Сколько кулонов электричества протечет за это время через проводник?

2718. Закон изменения напряжения синусоидального тока, име­ ющего частоту «о, дается следующей формулой: £ = £ 0 sin (w/ + <p), где £„ — максимальное напряжение, ф —фаза, а /— время. Найти среднее значение квадрата напряжения за 1 период. Показать, что при постоянном сопротивлении переменный ток выделяет за 1 период столько же тепла, сколько постоянный, имеющий

166 ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

напряжение, равное ]/ (£ 2)ср. (Ввиду этого выражение У (£ 2) на­ зывают эффективным напряжением переменного тока.)

2719. Напряжение синусоидального тока дается формулой

£ = £ 0 sin

а ток — формулой

где £ о и /0 — постоянные величины (наибольшие значения напря­ жения и тока), Т — период, а <р0 — так называемая разность фаз. Вычислить работу тока за время от /х = 0 до t2 = T и показать, что наибольшее значение эта работа будет иметь тогда, когда разность фаз <ро равна нулю.

4190 Дж ' Кроме этого, воспользоваться законом Ньютона об

охлаждении; см. задачу 2710.)

2721. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью 3 л, содер­ жит 20% кислорода. Сосуд имеет две трубки. Через одну из них в сосуд начинают впускать чистый кислород, через другую вы­ текает наружу столько же воздуха, сколько притекает в сосуд кислорода. Какое количество будет содержаться в сосуде, после того как через него протечет 10 л газа?

2722. Воздух содержит а% (= 8% ) С 02; он пропускается через цилиндрический сосуд с поглотительной массой. Тонкий слой массы поглощает количество газа, пропорциональное его концен­ трации и толщине слоя, а) Если воздух, прошедший слой в Н см (— 10 см) толщиной, содержит Ь% (= 2% ) С 0 2, то какой толщи­ ны Hi должен быть поглотительный слой, для того чтобы, выходя из поглотителя, воздух содержал только с% ( = 1 % ) углеки­ слоты? б) Сколько углекислоты (в %) останется в воздухе, про­ шедшем поглотитель, если толщина поглотительного слоя будет равна 30 см?

2723. Если при прохождении через слой воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то ка­ кая часть этого количества дойдет до глубины 30 м? Количество света, поглощенного при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего на его поверхность.

становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 часов после начала брожения, если считать, что скорость прироста фермента пропорциональна его наличному количеству?

2725. Если через два часа после начала брожения наличное количество фермента составляет 2 г, а через три часа 3 г, то каково было первоначальное количество фермента? (См. преды­ дущую задачу.)

2726. 2 кг соли растворяются в 30 л воды. Через 5 мин раст­ воряется 1 кг соли. Через какое время растворится 99% перво­ начального количества соли? (Скорость растворения пропорцио­ нальна количеству нерастворенной соли и разности между кон­ центрацией насыщенного раствора, которая равна 1 кг на 3 л, н концентрацией раствора в данный момент.)

Г Л А В А IX

РЯ Д Ы

§1. Числовые ряды

С х о д и м о с т ь ч и с л о в о г о р я д а

В задачах 2727— 2736 для каждого ряда: 1) найти сумму п пер­ вых членов ряда (S„), 2) доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и 3) найти сумму ряда (5).

Р я д ы с п о л о ж и т е л ь н ы м и ч л е н а м и

В задачах 2737—2753 вопрос о сходимости данных рядоь ре­ шить с помощью признаков сравнения.

2737. о + + •••+ (2п -'1'Г¥ *

2738. sin 2 + ы'п 4 + •••+ s'n 2',i + •■•

В задачах 2763— 2766 доказать сходимость данных рядов с по­ мощью радикального признака Кошн.

2765. arcsin 1 + arcsin2 уу + . . . + агс5тя — -f-.

2766. о + Ц 9г - +•••г - - - +г -- - 3V„ - + -

В задачах 2767—2770 вопрос о сходимости данных рядов ре­ шить с помощью интегрального признака Коши.

В задачах 2771— 2784 выяснить, какие из данных рядов схо­ дятся, какие расходятся.