книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

62

ГЛ. Ш . ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Время t мин. . . . . . . . . . .

0

5

10

15

20

25

Температура

б®С ...........................

20

26

32,5

41

46

49

Время t мин

.................................

30

35

40

45

50

55

Температура

б ° С ...........................

52,5

54,5

56,5

58

59,5

61

ращению Ах независимой

переменной. Вычислить Ау, если х = 1

и Аде = 0,1; 0,01. Какова

будет погрешность (абсолютная и отно­

диуса R = 2 на AR.

Вычислить Av, если

Д / ?= 0,5;

0,1;

0,01.

Какова

будет погрешность значения Av, если ограничиться

чле­

ном, содержащим ДR в первой степени?

879. Дана функция

у — х3-\-2х. Найти значения

приращения

и его линейной главной

части,

соответствующие изменению х от

х = 2 до

х = 2,1.

880. Какое приращение получает функция у — Ъх^—х при пе­

реходе независимой

переменной

от значения х — 1

к

значению

х = 1,02.

Каково значение соответствующей линейной главной

части? Найти отношение второй величины к первой.

881. Дана функция

y = f(x ) .

В некоторой точке х дано при­

ращение

Дх = 0,2;

соответствующая главная

часть

приращения

функции

оказалась

равной 0,8.

Найти производную в точке х,

882.

Дана функция f (х) = х2.

Известно, что в некоторой точке

ная часть приращения

функции d/(x) = —0,8. Найти

начальное

значение независимой переменной.

883.

Найти

приращение и

дифференциал функции

г/ = ха —х

при х =

10 и

Дх = 0,1. Вычислить

абсолютную и относительную

погрешности,

которые получаются при замене приращения диф­

ференциалом. СДелать чертеж.

884.

Найти

приращение и дифференциал функции у — V x

при

х = 4 и •Дх = 0,41.

Вычислить

абсолютную и относительную

по­

грешности. Сделать

чертеж.

Ау и dy, давая Ах зна­

885.

г/ = х3 —х.

При

х = 2

вычислить

чения Ддс = 1;

Ддс = 0,1;

Д а: = 0,01. Найти

соответствующие значе-

„

с

\ & y — d y \

.

ния относительной

погрешности о = —

^

64

ГЛ. Ш . ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ

888.

Известно, что при

увеличении сторон данного квадрата

на 0,3

см

линейная главная

часть приращения

площади состав­

ляет 2,4

сма. Найти линейную главную часть

приращения пло­

б) 0,75

см; в)

1,2

см.

889. Найти дифференциал функции:

1) 0 ,2 5 1 ^ ;

2)

g ;

3)

4)

5)

6)

7)

V * . «ч

Р .

оч т - « .

10)

т ±^;

И)

( ^ +

4 je + l)(jc a - V x ) ;

^

8)

fx -,

9)

a + ft’

1

г» -И

13)

14)

( 1 + х - х 8)3;

15) tg8ас; 16) б1" * * ;

1 2 )

1

I —t*

17)

2 ~ ^ Ь ;

18) l n

t g ( f - |

) ; 19)

20)

У arcsin х +

(arctgje)8;

890.

Вычислить

значение

дифференциала

функции:

1)

у =>

=

(tiT+np

ПРИ

изменении

независимой

переменной от х = я/6 до

х = 61 я/360;

2) у = cos8<р

при изменении

<р

от 60е

до 60°30';

3)

y = sin2<p

при

изменении

ф от я/6

до

61я/360;

4)

y = sin 3<р

при изменении

ф от я/6 до 61я/360;

О

5) x / = sin y при изменении 6

п

6 1 л

01 "6 до Ж *

приближенное значение приращения функции у =

891. Найти

=

sin дс

при

изменении

х

от

30е до

3 0 °Г ,

Чему равен

sin 3 0 °l'?

892.

Найти

приближенное значение приращения функции у =■

=

tgJt

при

изменении

х

от 45Q до 45Q10'.

893.

Найти

приближенное значение

приращения функции у =•

=

1 -I- cns X

л

я

,

1

Т ^

Г

"Ри изменении х от т до ^

+ ш

894. р = k V cos 2ф;

найти

dp.

1

-

dy

dx —0,2.

895. у —3х + 2;!i- +

6^*.

Вычислить

при х = 1

и

896.

Вычислить

приближенно sin60°3',

sin 60° 18'. Сопоставить

полученные результаты с табличными значениями.

897.

Проверить,

что функция у =

удовлетворяет

соот­

ношению 2x8 dy = (хгуг -4-1 )dx.

определенная

уравнением

898.

Проверить,

что

функция у,

arctg ~ = In У а-8 + у'1,

удовлетворяет

соотношению х {dy — dx) =

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ

65

901. Вычислить приближенно у

2 о^/-+5 '

« 9 0 2 ., Вычислить

приближенно

arcsin 0,4.983.

903.

Если длина

тяжелой

инти (провода, цепи) (рис. 25) рав­

на 2s, полупролет

/, а

стрелка

провеса /, то имеет

место при­

ближенное

равенство

а) Подсчитать,

какое изменение произойдет в длине нити при

изменении ее стрелки провеса /

на величину df.

б) Если учесть изменение длины провода ds (например, от из­

менения температуры или нагрузки), то как изменится при этом

стрелка провеса?

904. Сравнить погрешности при нахождении угла по его тан­

генсу н по его синусу с помощью логарифмических таблиц, т. е.

сопоставить

точность нахожде­

нияуглахпо формулам lgsiпх= у

и lg tgx = z,

если у

и z

даны с

одинаковыми

погрешностями.

905. При

технических

рас­

четах

часто

сокращают

л

и

V g (g — ускорение

силы тяже­

сти), когда

одно из этих чисел

стоит в числителе, а другое—в

знаменателе. Какую относительную погрешность делают при этом?

906. Выразить дифференциал сложной функции через незави­

симую переменную и ее дифференциал:

1) у = У х2

5х,

x = P-\-2t+ 1;

2) s = cos2z,

г =

^—^~; 3) z=arctga, о =

4)

v — Z~l/x, x = l n t g s ;

5)

s — ez, z = -}jlnt, t = 2u? —3«-f- 1;

6)

y = In tg

, и = arcsin v, a = cos 2s.

Дифференцируемость функций

907. Функция y = |x | непрерывна

при любом x.

Убедиться,

что при х = 0 она недифференцируема.

для

f ( x) = x для

0 < х < 1 ; /(х) = 2 — х для 1<д - ^ 2и

f(x) = 3x — х2 для х > 2 .

Исследовать непрерывность/^) и выяс­

66

ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

912.

/ (л:) = л:2 sin— при х ф О ,

/( 0) = 0. Будет ли функция f (х)

дифференцируемой

при х = 0?

913. /(х)=-

j —1 при

х ф О ,

f (0) = 0.

Будет

ли

функция

f(x)

при х = 0 непрерывной

и дифференцируемой?

914. Дана

функция / (х) = 1 +

\f ( x — I)2.

Показать,

что при

х = 1

из приращения функции нельзя

выделить линейную глав­

ную

часть, и поэтому f(x)

при

х = 1

не

имеет

производной.

Истолковать

результат геометрически.

915.

f(x) =

x arctg ~ при х ф О ,

f ( 0) = 0. Будет ли функция f(x)

при х = 0 непрерывной, дифференцируемой?

Истолковать резуль­

тат геометрически.

916‘

= \-\- в

при х ф О

и

/ (0) = 0.

Будет

ли функция

f(x)

при х = 0 непрерывной; дифференцируемой?

§

4. Производная как скорость изменения

(дальнейшие примеры)

§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ

67

ского давления с высотой.

Аргумент х возра­

922. у связан с х соотношением у1 — 12х.

стает равномерно со скоростью 2 единицы

в секунду. С какой

скоростью возрастает у при х = 3?

923.

Ордината точки, описывающей окружность х2 + у2 = 25,

убывает

со скоростью 1,5 см/с. С какой скоростью

изменяется

абсцисса точки, когда ордината становится равной 4

см?

924.

В какой точке эллипса 16х2 + 9г/2 = 400 ордината убывает

a)

x = 3cos/,

t/= 4 s i n

б) х = /2 —2/,

y = t2-\-2t\

в)

A —cos/,

г/=/ + 2 sin/;

r) х = 2'-1,

i/=^-(/3-f 1).

1)

х =

3/, t/ =

6/ — /2;

2)

A - c o s / , (/= s in 2 /;

3)

а— /я+ 1 ,

y = t2;

4)

х = ф— sin ер, у = \ — cos ф;

5)

х =

tg/, у = sin 2/ + 2 cos 2/.

1)

x =

3 ( 2 c o s l — cos 2t),

y = 3 ( 2 s i nl — sin2l);

(— 9 ,0 );

2)

x = P +

2t,

y =

P + t-,

(3,

2);

3)

x =

2 tg t ,

f/ =

2 sin2^ + sin 2 t; (2, 2);

4)

x =

P -

1,

y =

t * - t \

(0,

0).

В

задачах

936 — 945 найти

производные от у

по х.

946.

x = 3cos*,

у = 4 sin* в точке (31/2/2, 2 \ 2 ) .

947.

x = t — l*,

y = P — t3 в

точке (0, 0).

948.

х = *3+1,

у = Р + 1+ 1

в точке (1, 1).

1) х = cos I -И sin i — g cos t,

y= sin* — t c o s t —£ sin*;

2) х — асо^Ч , у — a sin" t;

______

952, Убедиться

Б ТОМ, ЧТОфункция, заданная параметрически

1

! /

з

/ 2

уравнениями

у =

^

удовлетворяет соотношению