книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

§ 1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ

201

3270.

Функция г задана

неявно:

5х2+ 5у2 + 5г2 — 2ху — 2xz —

— 2yz — 72 = 0.

Найти

ее стационарные точки.

* 3271*. Найти точки экстремума функции z=2xy — Зх2 —2z2+ 10.

-3 2 7 2 .

Найти точки

экстремума функции z = 4(x —у) —л;2 —у2.

■3273. Найти

точки

экстремума

функции

z = x2fx y - fy 2 +

“I- х — y-f- 1-

а®

й2

имеет

3274.

Убедиться,

что функция z = x 2- f x y + y 2-l------1—

минимум

а

х

У

в точке х = у = ---.

_

_

_

у

3

*3275. Убедиться,

что при х = ]/ 2, у = У 2 и

при х = — ]/ 2,

у = — У 2

функция

z = х4+ у4— 2х2 — 4ху —2 if

имеет

минимум.

3276.

Убедиться,

что

при

х = 5,

у = 6 функция z = x3 + y2—

— 6 х у - 3 9 х + 1 % + 2 0

имеет минимум.

3277.

Найти стационарные точки функции z — х2у2(12 —х — у),

удовлетворяющие условию х > 0, у >

О, и исследовать их характер.

3278.

Найти

стационарные

точки функции z = х3+ у* — Зху и

исследовать

их

характер.

Н а и б о л ь ш и е и н а и м е н ь ш и е з н а ч е н и я

3279.

Найти

наибольшее

и наименьшее значения функции z =

— х2 — у2 в круге

х2+ у2

4.

3280.

Найти

наибольшее

и наименьшее значения функции z =

е= х2-j-2ху — 4 х -f- 8у

в

прямоугольнике,

ограниченном

прямыми

х = 0, у =

О,

х =

1,

у =

2.

3281.

Найти

наибольшее

значение функции z = x2y(4 —х —у)

в треугольнике,

ограниченном

прямыми

х = 0,

у = 0,

х + у = 6.

3282. Найти

наибольшее и наименьшее значения функции

z = e~x‘~u‘ (2х2 - f Зу2)

в круге

х2 +

у2< ;4 .

3283.

Найти

наибольшее и наименьшее значения функции

z = sinx + siny +

sin(x-}-y)

в

прямоугольнике

О ^ х ^ я / 2 , 0 ^

^ у ^ л / 2 .

3284.

Разложить положительное

число а

на три

положитель­

ных

слагаемых

так,

чтобы

произведение

их

было

наибольшим.

3285.

Представить положительное число а в

виде

произведе­

ния

четырех

положительных

множителей так,

чтобы

их сумма

была

наименьшей.

3286.

На плоскости Оху найти точку, сумма квадратов рас­

стояний

которой

от

трех

прямых

х = 0,у = 0,

х +

2 у — 16 = 0

была бы наименьшей.

(а,

Ь,

с)

3287.

Через

точку

провести

плоскость

так,

чтобы

202

ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

3288.

Даны_ п точек: A i(xit уъ za),

А„ (х„, ул, z*). На пло­

всех данных точек была бы наименьшей.

С (8, 0, 8).

3289.

Даны

три точки

А (0,

0, 12),

В (0, 0, 4) и

На плоскости

Оху найти такую

точку

D, чтобы сфера, проходя­

щая через Л, В , С и D, имела наименьший радиус.

3290.

В данный шар диаметра 2R вписать прямоугольный

параллелепипед наибольшего объема.

У с л о в н ы е э к с т р е м у м ы

В задачах

3291— 3296

исследовать

функции на

экстремум.

3291.

z = xm + ym (m > 1)

при

х-\-у = 2 ( * 2 * 0 ,

0).

3292.

z = xy при х® + 1^ — 20*.

3298.

/(х, у) — х3 — Зху* + 18г/, причем Зх*у —у3—6х = 0. Дока­

зать, что функция f (х, у) достигает

экстремума в точках х = у =а

е= ± У^З.

минимум функции и = ax2 + by2 + сг2, где а, Ь, с —

3299.

Найти

положительные

постоянные,

а

х,

у,

z

связаны

соотношением

x + y + z = l."

3300.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

и = у2- f 4z2 — \уг — 2хг —2ху при

условии

2хг + 34/3+

6г2 = 1.

3301.

На

плоскости

Зх — 2г = 0 найти

точку, сумма

квадратов

расстояний

которой

от

точек

Л (1,

1,

1) и

В (2, 3, 4) была бы

наименьшей.

x-\-y~2z = Q найти

3302.

На

плоскости

точку, сумма квад­

ратов расстояний которой

от

плоскостей

х + 3 г = 6 и

j/ + 3z = 2

была бы

наименьшей.

4), В (4, 4, 4); С (4, 4, О). На по­

3303.

Даны

точки

Л (4,

0,

верхности шара x~ + y1 + z2 = 4

найти такую

точку S, чтобы объем

пирамиды SABC был: а) наибольшим,

б) наименьшим. Проверить

ответ элементарно-геометрическим путем.

3304.

Ндйти прямоугольный параллелепипед данного объема

V, имеющий

наименьшую поверхность.

§ I. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ

203

3305.

Найти

прямоугольный параллелепипед данной

поверх*

ности 5 , имеющий наибольший объем.

3306. Найти

объем

наибольшего прямоугольного

параллеле­

пипеда, который можно вписать

в эллипсоид с

полуосями

а, Ь и с.

3307. Палатка имеет форму цилиндра с

насаженной

на него

конической

верхушкой. При

каких соотношениях между линей­

ными

размерами

палатки

для

ее изготовления потребуется наи­

меньшее количество материала при заданном объеме?

3308. Сечение канала имеет форму равнобочной трапеции дан­

ной площади. Как выбрать его размеры,

чтобы

омываемая

поверхность

канала —v

была

наименьшей

(рис.

61)?

\

3309. Из

всех

прямоугольных па-

Д

раллелепипедов,

имеющих данную ди-

\

агональ,

найти

тот,

объем

которого

\

ъ

наибольший.

3310. Указать наружные размеры

Рис

открытого (без

крышки) ящика формы

и ’

прямоугольного

параллелепипеда с за­

данной толщиной

стенок

а и объемом

V, чтобы на него пошло

наименьшее количество материала.

3311.

Найти

наибольший объем параллелепипеда при данной

сумме 12а всех его ребер.

3312.

Около

данного эллипса описать треугольник с

основа­

нием, параллельным большой оси, площадь

которого

была бы

наименьшей.

^2

ц2

найти

точки,

наименее и наибо­

3313. На эллипсе 4- +

V = 1

лее удаленные от прямой

Зх + у —9 = 0.

3314.

На

параболе ха + 2 х у + у а+ 4у = 0 найти точку, наименее

удаленную от прямой Зх — 6 у + 4 = 0.

3315.

На

параболе

2ха — 4ху + 2у* — х —у = 0

найти

точку,

ближайшую к прямой 9х — 7 у + 16 = 0.

3316.

Найти

наибольшее

расстояние точек

поверхности 2х* +

+ 3t/a + 2za+ 2xz =

6 от

плоскости 2 = 0.

3317.

Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего

при данной площади 5 наименьший периметр.

3318. В прямой эллиптический конус, полуоси основания

которого

равны

а

и Ь,

высота Н, вписана призма

с

прямоуголь­

ным основанием, так, что

стороны основания

параллельны осям,

§ 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ

205

О г и б а ю щ и е

3341.

Найти

уравнение

огибающей

семейства прямых у =

е= а х + / (а ). В частности, положить /(a) = cosa.

3342.

Найти огибающую семейства прямых у=2тх-\-т*.

3343.

Через

точку А (а,

0) проведен

пучок прямых. Найти

3344.

Найти

огибающую семейства парабол у2 = а (х — а).

3345.

Найти

огибающую семейства

парабол ах2+ а2у =

1.

3346.

Найти

огибающую семейства парабол у = а2(х — а)2.

3347.

Найти

огибающую семейства

полукубических

парабол

(.у — а)2 = (х —а)3.

3348.

Найти

огибающую семейства линий х2-\-ау2 = а3.

3349.

Найти

огибающую семейства

эллипсов

при

сов.

3351.

Найти

огибающую

семейства

окружностей,

имеющих

центры

на параболе у = Ъх2 и проходящих через ее

вершину.

3352.

Прямая

движется

так, что сумма длин отрезков, отсе­

каемых ею на осях координат, остается постоянной и равной

а.

Найти огибающую полученного семейства прямых.

3353.

Найти

огибающую

диаметра

круга, катящегося

без

нормалей. Сравнить результаты.

3358.

Доказать теорему: если линия

(Л)

есть огибающая

се­

мейства

прямых х cos t + y sin t — f(t) = 0,

то

эволюта линии

(А)

является огибающей семейства прямых

—xsin t -f- у cos t — f (t) = 0.

3359. Радиус-вектор ОМ произвольной

точки М равносторон­

ней гиперболы ху — 1 проектируется

на

асимптоты гиперболы.

d ,

d v . du

d .

.

do . da

Ж (т ) = и ш + 9 Ж ,

1 (|»хо) = в х ж + ^ х о .

dt

dt

линеарны. Доказать,

что и векторы

^ ..........^

коллинеарны

вектору r(t).

|г| функции r(t)

3363. Доказать,

что

если модуль

остается

постоянным для всех значений t, то ^

1 г .

(Каков

геометриче­

ский смысл этого факта?) Имеет ли место обратная теорема?

3364. Дано r= acos® ^ 4-6sin < B ^ , где а

и Ь — постоянные век­

торы. Доказать,

что

1) г х ~ = ( д а х Ь

и

2) ~

+ ыаг==0.

3366. Доказать,

что_ если

е —единичный

вектор направления

вектора

Е, то exdte-

ExdE

£2

г — ае^+Ье-'0*, где а

и Ь — постоян-

3366.

Доказать,

что если

ные векторы,

то

d2r

-gp —юаг = 0.

х,

3367.

и =

а (х,

у,

г,

у, 2, / )У + 7 (*.

У.

t)k , где

у, г —функции

от /. Доказать, что

d a _ д а . д а dx . да dy . д а dz

dt

~

dt

' dx

dt

‘ ду dt

'

dt’

3368.

Дано:

r

=

r(u ),

u =

m(x).

Выразить

производные

d r

(Pr_

<Pr

d r

d2r

cPr

d x ’ dx2 *

dx? через

d u ’ W '

W ‘

г = г(1)

3369.

Доказать,

что

если

для векторной функции

имеет место соотношение ^ = а г ,

где

a = const,

то

годографом

функции r(t) является луч, выходящий из полюса.

3370.

Пусть функция r { t ) определена,

непрерывна

и диффе­

ренцируема в

интервале

(tlt h),

причем r ( t 1) = r (tz).

Применить

§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

207

3371. Дан

радиус-вектор

движущейся

в пространстве

точки

г {a sin tf,— a cos t,

W*}

(t —время, а и

Ь —постоянные).

Найти

годографы скорости и ускорения.

3372. Найти траекторию движения, для которого радиус-век­

тор движущейся

точки

удовлетворяет

условию

~ = а х г , где

а —постоянный вектор.

3373. Материальная

точка

движется

по закону /* = ®0/ -fy g < a

(г — радиус-вектор

этой

точки

в момент t,

©о и g — заданные век­

торы). Показать,

что:

1) кинетическая

энергия

материальной

точки есть квадратичная функция времени; 2)

©0 — начальная

скорость (т. е,

значение

вектора скорости в момент t = 0); 3) дви­

4) движение происходит

по параболе (если только векторы ©«

и g не коллинеарны), ось которой параллельна

вектору g.

3374. Закон движения

материальной точки

задан формулой

r = a cos t-\-b sin t + c, где

векторы а и Ь взаимно перпендику­

рость движения

будет экстремальной? В какие моменты ускоре­

ние будет экстремальным?

3375. Формулы преобразования декартовых координат в сфе­

рические

имеют

вид

x = p$in0cos<p,

y = p sin 6 sin <р, z = p c o s 0 ,

где

р — расстояние

данной

точки

от

полюса,

4 — широта ее,

Ф — азимут

или

долгота. Найти компоненты скорости движения

материальной

точки

в направлениях

единичных ортогональных

векторов

е р,

е в,

еф.

П р о с т р а н с т в е н н ы е л и н и и

В задачах 3376—3383 составить уравнения касательной пря­

мой и нормальной плоскости для

данных

линий

в указанных

точках:

i*

/з

;г\

л

/з

/а

ной

точке. (Т 1 " з 1 т ] ’

т - е-

* =

4 ’

У = _з»

2 = Т ’

в

пРоизволь*

3377.

x = a c o s 9,

у = аз шф,

г = ^ ф

в

Данной

точке

(aV% о.У2

k\

„

во всех точках линии

1 - у - , —2~ , -g-). Доказать, что касательная

составляет с осью Ог один и тот же угол.

3378.

х = сЛ, У = \ at2, z = ^ a i3 в

точке

(6а,

18а,

72а).

3379.

х =

t — sin t,

у =

\ — c o s/,

z =

4sin | -

в

течке

( я / 2 - 1 ,

1,

2V^)<

j^ + y ^ l O

в

точке

(1, 3,

4).

3380.

t/*+

z2=

25,

203

ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

3381.

2ха+ Зу2+ г2= 47,

ха + 2 {р ~ г в точке

(—2, 1, 6).

3382.

х2+ у 2 = г2, х — у

в

точке (х0, у0, г0).

3383.

х3+ г 3 = а3,

=

в произвольной

точке.

3384.

На

линии

г {cos/, sin t,

найти точку, касательная

в которой

параллельна

плоскости

Y^x + y — 4 = 0.

В

задачах

3385—3387 составить уравнения соприкасающейся

плоскости,

главной

нормали

и

бинормали

к данным

линиям

в

указанных точках.

3385.

у* = х, х2 = 2 в

точке

(1,

1,

1).

3386.

х2 = 2аг,

y2 = 2bz в произвольной точке.

3387.

r {e f,

е~‘,

tY^\

в точке (е ,

erl , V 2 ).

3388.

Показать,

что

касательные,

главные нормали

и бинор­

мали

линии

rje 'c o s/ ,

ё sin t,

ё\

составляют

постоянные углы

3392.

r { * 3 — t2 —5, 3fa+ l ,

2t'J — 16}

в точке,

соответствующей

значению параметра

t = 2.

г {2* + 3,

3393.

Показать,

что линия

3 * — 1,

<2} имеет во всех

3394.

Доказать, что

линия

Г {&it2+

b\t + Ci,

Cht2+ bit +Ca,

Ost2+ b^t + C3}

плоская,

и

составить

уравнение

той плоскости,

в которой

она

расположена.

3395.

Найти

радиус

кручения

линии

rj cos^,

sinrf,

сЫ }.

3396.

Найти

радиус

кривизны

линии г {in cos t, lnsin/,

Y%t\,

0 < < < я / 2 .

Показать,

что

кручение в

любой

ее точке

равно

кривизне

в

этой

точке.

линии r{e*cos/ , e' s i n t,

3397.

Показать, что

для

(см.

за­

для

всех

точек кривой.

3398.

Как выразится кривизна пространственной линии, задан­

ной

уравнениями r/ = <p(x),

г = ф(х)?

3399.

Выразить векторы

ti, vb

через

производные радиус-

вектора точки на кривой r = r(t).

3400.

Выразить каждый

из векторов ть

vb

через два дру­

гих.

210

ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

3421.

К

эллипсоиду

xs + 2y* - fz a = 1 провести касательную

плоскость,

параллельную

плоскости

х - у -\ -2z = 0.

3422.

К

эллипсоиду ^

+ р + р =

1 провести касательную пло*

ные отрезки.

х + 2у —lnz + 4 = 0

3423. Показать,

что

поверхности

и х 2 —

— ху —8а: + г + 5 = 0

касаются

друг

друга (т. е. имеют

общую

касательную плоскость)

в точке

(2, — 3, 1).

3424. Доказать, что

все плоскости, касательные к поверхности

z = x / (-j), пересекаются

в одной точке.

к шару

г {и cos v, u sin и,

Y а2— и2} в

точке /*о{л£о, М>. 2о}•

3426.

Написать

уравнения

касательной

плоскости

и нормали

к гиперболическому

параболоиду r{a(u-\- v), b(u — v)t

uv\ в про­

извольной точке (хо, Уо, ZQ).

3427.

Доказать, что поверхности х2+ У2+ г2 = ах и х2+

у® + 2*=а

е= by

ортогональны друг

к другу.

3428.

Показать,

что

касательная

плоскость

к

поверхности

хуг = а3

в любой ее точке образует с плоскостями координат

тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем.

3429.

Показать,

что

касательные

плоскости

к

поверхности

Y х A -Yy Jc Y z = V а

отсекают на

координатных

осях

отрезки,

сумма которых

равна а.

3430.

Для

поверхности г = ху

написать

уравнение

касатель-

„

-

к

. х4-2

и+2

z — 1

ной

плоскости, перпендикулярной

прямой

3431. Показать,

что

для

поверхности

х* + t/*-f г* = у длина

3432.

Доказать,

что нормаль к поверхности эллипсоида вра-

щения —cj------1 в любой его точке Р(х, у,

z) образует рав­

ные углы

с

прямыми РА и РВ, если

Л (0,

— 4, 0) и В (0 , 4, 0).

3433.

Доказать,

что

все нормали

к поверхности вращения

z = f{Y x 2 + y2) пересекают ось вращения.

3434.

К поверхности х2— у2 — 3z = 0 провести касательную пло­

скость,

проходящую

через точку А (0,

0, — 1), параллельно пря-

„ х

=

и

г

мои Y

T =

2 -

х* + уа+ 28 — 6 y + 4 z = 12 найти точки,

3435.

На

поверхности