книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1
.pdf
|
§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ |
211 |
|
а) через значения параметров ив и |
|
||
б) через координаты |
уъ, 2<>точки касания. |
|
|
3437. Найти геометрическое место оснований перпендикуля |
|||
ров, опущенных |
из начала координат на касательные плоскости |
||
к параболоиду вращения 2рг = х* + у2. |
|
||
3438. Найти геометрическое место оснований перпендикуля |
|||
ров, опущенных |
из начала координат на касательные |
плоскости |
кповерхности хуг = а3.
§4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
Г р а д и е н т
3439. 1) -ф(х, у) = х2 — 2ху + 3у — 1. Найти проекции градиента
вточке (1, 2).
2)u = 5x2y — 3xtp-\-t/i. Найти проекции градиента в произволь ной точке.
3440. |
1) |
2 = x*4 -g *. Найти |
grad2 в точке (3, 2). |
|
|
|||||||||
2) |
2 = У |
4 + x * - f г/8. Найти |
grad 2 в точке |
(2, |
1). |
|
|
|||||||
3) |
2= a rc tg y . Найти grad 2 в точке |
(*о, |
#>). |
|
|
|
||||||||
3441. |
1) Найти |
наибольшую крутизну |
подъема |
поверхности |
||||||||||
2= In (х2- f 4г/*) в точке |
(б, |
4, |
In 100). |
|
|
поверхности г = ху |
||||||||
2) |
Найти |
наибольшую |
крутизну подъема |
|||||||||||
в точке (2, 2, 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3442. Каково направление наибольшего изменения функции |
||||||||||||||
Ф(х, у, z) = х sin z — y cos z в начале координат? |
|
|
|
|||||||||||
3443. |
1) г е г а г с в т ^ ^ . Найти угол |
между градиентами |
этой |
|||||||||||
функции в точках (1, 1) и (3, |
4). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) Даны |
|
функции |
г = V x 2 + у2 и г = х — Зу + У Зху. Найти |
|||||||||||
угол между градиентами этих функций в точке (3, 4). |
г = |
|||||||||||||
3444. |
1) |
|
Найти |
точку, |
в |
которой |
градиент |
функции |
||||||
= ln (x + |
i - j |
|
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Найти |
точки, в |
которых модуль |
градиента |
функции г = |
|||||||||
сй (ха + уг)ьр |
равен |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3445. Доказать |
следующие |
соотношения |
(ф |
и ф —дифферен |
||||||||||
цируемые функции, с —постоянная): |
|
|
|
|
|
|
||||||||
grad (ф+ ф) = grad ф + grad ф; |
grad (с + ф) = grad ф; |
|
|
|||||||||||
grad (Сф) = с grad ф; |
|
|
grad (фф) = ф grad ф+ фgrad ф; |
|||||||||||
grad (фя) = пф"-1 grad ф; |
|
grad [ф (ф)] = ф' (ф) grad ф. |
|
|||||||||||
3446. |
г = ф (и, v), м = ф(х, |
у), о = £(х, у). |
Показать, что |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
grad г = |
grad а + ^ |
grad v. |
|
|
|
3447. 1) u(xt д, г) = х2^г. Найти проекции grade в точке
(*0, Уо, 20).
2 1 2 ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
2) и(х, у, г) = У хг + у *+ г2. Найти grad и.
3448. Показать, что функция u = In (х2 + у2 + г2) удовлетворяет соотношению ы = 2 In 2 — In (grad и)2.
3449. Доказать, что если х, у, г суть функции от t, то
Z ifiх, У, г) = grad/-
где г = xi + y f + z k .
3450. Использовать доказанное в предыдущей задаче соотно
шение для нахождения градиента функции: |
|
|
(abr)i |
|||||
|
1) /= /*2; |
2) / = |
И ; |
3) f = F (r2)-, 4) f = (ar)(br)-, 5) f = |
||||
где а и Ь —постоянные векторы. |
|
|
|
|
||||
|
|
П р о и з в о д н а я по н а п р а в л е н и ю |
|
|
||||
|
3451. 1) Найти |
производную |
функции z = х3— Зх2у + |
Зля/*+ 1 |
||||
в точке М (3, 1) в |
направлении, |
идущем от этой |
точки |
к |
точке |
|||
(6, |
5). |
производную функции z = arcigxy |
|
|
|
|||
|
2) Найти |
в точке |
(1, 1) |
|||||
в направлении биссектрисы первого координатного угла. |
|
|
||||||
|
3) Найти производную функции z = x2y2 — xyi — 3y — l |
в точке |
||||||
(2, |
1) в направлении, |
идущем от этой точки к началу координат. |
||||||
|
4) Найти |
производную функции г = \а(ех -\-еу) |
в начале коор |
динат в направлении луча, образующего угол а с осью абсцисс.
3452. |
Найти |
производную функции 2= ln(x + i/) в точке (1, 2), |
||||||||
принадлежащей |
параболе tp = 4x, по направлению этой параболы. |
|||||||||
3453. |
Найти производную функции z—a rctg -j в точке (~ , |
|
||||||||
принадлежащей |
окружности х2 + у2 — 2х = 0, по направлению этой |
|||||||||
окружности. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
3554. |
Доказать, |
что |
производная |
функции |
z = ~ |
в любой |
||||
точке |
эллипса |
2х2 + у2= 1 |
по направлению нормали |
к эллипсу |
||||||
равна |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3455. |
1) Найти производную функции и = ху2+ 23 —хуг в точке |
|||||||||
Л4(1, |
1, 2) в направлении, |
образующем с осями |
координат |
углы |
||||||
соответственно |
60°, 45Q, |
60°. |
w = xyz в |
точке А (5, |
|
|||||
2) |
Найти производную |
функции |
1, 2) |
|||||||
в направлении, идущем от этой точки к точке В ( 9, 4, 14). |
|
|||||||||
3456. |
Найти производную функции u=x2t/2z2 в точке А( 1 ,— 1,3) |
|||||||||
в направлении, идущем от этой точки к точке В (0, 1, 1). |
|
|||||||||
3457. |
Доказать, |
что |
производная |
функции |
и = ~ + ^ ~ j - z* |
|||||
в любой |
точке |
М (х, |
у, |
|
|
|
|
|
с» |
|
г) в направлении, идущем от этой точки |
||||||||||
к началу координат, |
равна |
— у , где г=Ух?+у*A-z\ |
|
|||||||
3458. |
Доказать, что |
производная функции ы = /(х, |
у, z) в на |
|||||||
правлении ее градиента равна модулю градиента. |
|
|
||||||||
3459. |
Найти производную функции и = 1/г, где г2= х2 + Ф + 2*, |
|||||||||
в направлении |
ее градиента. |
|
|
|
|
Г Л А В А XI I
МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Двойные и тройные интегралы
3460. Тонкая |
пластинка (ее толщиной пренебрегаем) лежит |
в плоскости хОу, |
занимая область D. Плотность пластинки явля |
ется функцией точки: у = у(Р) = у(х, у). Найти массу пластинки.
|
3461. На пластинке задачи 3460 распределен электрический |
||||||||||||
заряд |
с поверхностной |
плотностью |
т = т(Р ) = т(х , у). |
Составить |
|||||||||
выражение для полного заряда пластинки. |
|
|
|
|
|||||||||
|
3462. |
Пластинка задачи 3460 |
вращается вокруг оси Ох с угло |
||||||||||
вой |
скоростью |
со. Составить |
выражение для кинетической |
|
энер |
||||||||
гии |
пластинки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3463. Удельная теплоемкость пластинки задачи 3460 меняется |
||||||||||||
по |
закону с = с (Р) = с (х, у). |
Найти |
количество |
тепла, получен |
|||||||||
ное |
пластинкой |
при ее |
нагревании |
от температуры |
до |
темпе |
|||||||
ратуры t-2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3464. Тело |
занимает пространственную область Q; его плот |
||||||||||||
ность |
является |
функцией точки: |
у = у (Р) = у (х, у, |
г). |
Найти |
||||||||
массу |
тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3465. В теле задачи 3464 неравномерно распределен электри |
|||||||||||||
ческий |
заряд; |
плотность |
заряда |
является функцией точки: |
6 = |
||||||||
= б (.V, |
у, |
г). Найти полный заряд тела. |
|
|
|
|
|||||||
В задачах 3466—3476 оценить интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||
3466. |
$ $ (х + у + 10)da, где D —круг x2 + i/2 « £ 4 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3467. |
^ ^ (х2 + Aif - f 9) da, где D —круг х2 + у2^ 4 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
D |
У + \)da, |
где D —прямоугольник |
|
|
|
|
||||
3468. |
J J (* + |
O ^ x ^ l , |
0 < ; |
||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3469. |
$ $ ( , + x y ~ x 2— ip) da, где D — прямоугольник 0 |
х « S 1, |
|||||||||||
0 ^ у < 2 . |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
$$ ху (х + у) da, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3470. |
где |
D — квадрат 0 < ;л :< 2 , |
0 < ;*/ < ;2 . |
||||||||||
|
|
|
о |
|
где D —квадрат 0 < л < 2 , |
|
|
|
|
||||
3471. |
^ (jc .+ l^ d a , |
0 < t / < 2 . |
D
214 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3472. |
55 (х2 + |
У2 —2 У х 2 + У2+ 2) da, где D — квадрат |
х ^ 2 , |
0 ^ у ^ 2 . |
о |
|
|
|
У2 ~ 4х — 4у + 10) da, где D —область, ограничен- |
||
3473. |
(*2 + |
|
D |
4#2 — 2х— 16# + 13 = 0 (включая границу). |
||
ная эллипсом х2 + |
||||
3474. |
5 5 \(х? + У2 + г2) |
где £2 — шар х2 + у2+ z2 ^ R2. |
||
|
о |
*/+г) dv, |
|
|
3475. |
5 5 $ (* + |
ГД® |
£2 — куб x s = l , #2=1, 22=1, x sS 3 , |
|
# ^ 3, 2 ^ 3 . |
|
|
|
|
3476. |
5 5 5 (х + 1/~2 + ^ ) £^ ' |
где & — шаР •*г + #2+ г г * £ 3 . |
||
|
Q |
|
|
|
§ 2. Кратное интегрирование
Д в о й н о й и н т е г р а л . П р я м о у г о л ь н а я о б л а с т ь В задачах 3477—3484 вычислить двойные интегралы, взятые
по прямоугольным областям |
интегрирования D, заданным усло |
||
виями в скобках: |
|
|
|
3477. |
55 xydxdy |
( 0 = s £ x < l , |
0 < # < 2 ) . |
|
D |
(O ^ J fs S 1, |
0 s£t/=sS 1). |
3478. |
\\e**«dxdy |
||
|
|
(Q ^ x s S 1, |
0= sg # < 1). |
|
У е т п ? |
( 0 s S x c 1, 0 ^ # < ;1 ) . |
|
|
|
|
|
*“ •У <n $V |
( Q < x < l , 0 < # < 1). |
||
|
|
||
3482. |
$ $ х sin (х + #)&<*# |
(0=ssx==sл, |
0 < # < я/2). |
|
D |
|
|
3483. |
55x2yex«dxdy |
(0 = s = x < l, |
0 < # < 2 ) . |
|
D |
|
|
3484. |
5 5 Х*Уcos (х#2) dx dy |
(0 s £ x ^ n / 2 , 0 < # < 2 ) . |
Д в о й н о й и н т е г р а л . П р о и з в о л ь н а я о б л а с т ь
В задачах 3485— 3497 найти пределы двукратного интеграла
55/(*> У)dx dy при данных (конечных) областях интегрированияD:
D
3485. Параллелограмм |
со сторонами х = 3, х = 5, Зх — 2# + |
+ 4 = 0, Зх — 2# + 1 = 0. |
|
3486. Треугольник со сторонами х = 0 , у—(У, х + # = 2 . |
|
3487. ха+ у2*=£ 1, х === 0, |
у^ 0. |
|
|
|
|
|
$ 2. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
|
215 |
||||||||||
3488. |
je + |
i/ sgl, |
|
х — y ^ U |
x^sQ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3489. |
ySzX2, У < А —X2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3490. |
^- + ^ |
< |
1. |
|
3491. |
( * - 2 ) 2 + |
(г/ -3)2< 4 . |
|
|||||||||
3492. |
D ограничена |
параболами |
y = x2 и у = У х . |
|
|||||||||||||
3493. |
Треугольник со |
сторонами |
у — х, |
у = 2х и х + у — 6. |
|||||||||||||
3494. |
Параллелограмм |
со |
сторонами |
у = х, |
у = х-\-3, |
у=> |
|||||||||||
<= —2х-\-1, |
у = — "2%-f 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3495. |
у —2 x ^ 0 , |
2у — х ^ 0 , |
х у ^ 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
3496. |
1/2< ; 8х, у |
2х, |
у-\-4х —24=^0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
3497. |
D |
ограничена |
гиперболой |
|
ф — хг = \ и |
окружностью |
|||||||||||
дса + ^а = 9 (имеется |
в виду |
область, |
содержащая |
начало |
коор |
||||||||||||
динат). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
задачах 3498— 3503 |
изменить порядок |
интегрирования! |
||||||||||||||
|
|
* |
У у |
|
|
у) dx. |
|
|
|
|
1 |
dx |
Vl— х* |
|
|
||
3498. |
\ d y \ f (дс, |
|
|
3499. |
5 |
|
$ f{x , у) dy. |
|
|||||||||
|
|
О |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
—l |
|
|
|
|
|
|
|
г |
У2гх—х* |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
'i—x* |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|||||
3500. |
$ dx |
$ |
|
f{x, |
у) dy. |
3504 . |
J |
dx |
|
J |
f ix, y) dy. |
||||||
|
|
о |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
—2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- — |
|
|
|
|
|
2 |
2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 - *V2 |
|
|
|||
3502. |
[d x \ fix , |
|
y) dy. |
|
|
3503. |
\dx |
] |
fix , |
y)dy. |
|
||||||
|
|
l x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2* |
|
|
|
|
3504. Переменив порядок интегрирования, записать данное |
|||||||||||||||||
выражение в |
виде |
одного |
двукратного интеграла: |
|
|
||||||||||||
|
1 |
* |
|
|
|
2 |
|
2—х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
\dx\fix, |
y)dy+ \ dx $ |
fix , y)dy; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
*» |
|
|
|
3 |
(3— x )/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
l d x \ fix , |
y)dy+ \ dx |
$ |
fix , |
y)dy; |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
* !/a |
|
|
|
|
2 |
1 — У4Х — x‘ — 3 |
|
|
|
|
|
||||
3) |
$dx |
5 |
fix , y)dy+ \ dx |
|
$ |
|
|
|
y)dy. |
|
|
||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3505. Представить двойной интеграл \\f ix, y)dxdy, где D —
D
области, указанные на рис. 62, 63, 64, 65, в виде суммы дву кратных интегралов (с наименьшим числом слагаемых). Фигуры, показанные на рис. 64 и 65, составлены из прямых линий и дуг окружностей.
В задачах 3506— 3512 вычислить данные интегралы:
|
a |
Vx |
1 |
Ч |
|
|
3) |
2 |
In у |
3506. |
1) \dx [ dy, 2) |
i |
dx |
j |
dy; |
$ dy | e*dx. |
|||
|
0 |
0 |
x |
|
|
|
1 |
0 |
|
3507, |
\\ *у<Жх<1#НЭ.= *руг |
+ |
г/8 |
R*. |
|
D
216 гл. ХП. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3508. |
^ ( х 2 |
у) dxdy, D —область, ограниченная |
параболами |
||
У = Х2 И |
о |
|
|
|
|
— |
|
|
|
||
3509. |
^ |
^ *, dx dtj, D —область, ограниченная прямыми х = 2, |
|||
|
*о |
|
|
1. |
|
у — х и гиперболой х у = |
|
||||
3510. |
55 cos (x-\~y)dxdy, D —область, ограниченная прямыми |
||||
|
‘о |
и у = х. |
|
|
|
х = 0, у = я |
|
|
|||
3511. |
^ |
V \— х2 — у2 dx dy, D —четверть круга х2 + |
у2 < 1, ле- |
||
|
D |
|
|
|
|
жащая в первом квадранте. |
|
||||
3512. |
5 5 |
V I — х3 — У* dx dy, D —область, ограниченная ли- |
|||
|
о |
|
|
|
|
нией jc3+ |
t/3= l |
и осями |
координат. |
|
|
3513. |
Найти |
среднее |
значение функции z — \2 — 2x — 3y в об |
||
ласти, ограниченной прямыми 12 —2лс — Зу= 0, х = 0, |
у = 0. |
3514. |
Найти |
среднее значение функции z = 2x + y в треуголь |
|||
нике, ограниченном осями |
координат и прямой х-\-у = 3. |
||||
3515. |
Найти |
среднее значение функции г = х |
6у в треуголь |
||
нике, ограниченном прямыми у = х, |
у = Ьх и х — \. |
||||
3516. |
Найти |
среднее |
значение |
функции z = |
У R2 — х2 — у2 |
в круге |
x2+ y 2^ R 2. |
|
|
|
s 3. ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ |
217 |
Тр о й н о й и н т е г р а л
Взадачах 3517— 3524 вычислить интегралы:
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
а |
Ь |
с |
|
3517. |
[dx\dy\dz. |
|
|
3518. |
$ d x \dy j (x + y + z)dz. |
||||||||
|
o |
o |
o |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
a |
x |
|
у |
|
|
|
|
|
a |
x |
xy |
|
3519. |
\dx\dy^xyzdz, |
|
3520. |
^dx^dy $ x3y3z dz. |
|
||||||||
|
t — 1 |
e— x — 1 |
x + y + e |
|
|
|
|
|
|
||||
3521. |
{ |
* |
|
( |
|
dy |
| |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx du dz |
|
^ — область, ограниченная |
плоско- |
||||||
|
|
Q |
(X+ y -|-г+ 1)3' |
||||||||||
|
|
|
0, |
2 |
= 0, |
x + |
г/+г = 1. |
|
|
|
|||
|
0, |
|
|
|
|
||||||||
стями x =my = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3523. |
^^xydxdydz, |
£2 — область, |
ограниченная гиперболиче- |
||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
//= 1 H Z = |
0 ( Z ^ 0 ) . |
ским параболоидом z = xy и плоскостями х + |
|||||||||||||
3524. |
SSS ycos(z~\-x)dxdydz, |
Q — область, ограниченная ци- |
|||||||||||
|
|
о |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линдром y = Y x |
и плоскостями |
г/ — 0, |
z = 0 |
и х + г = л/2. |
§3. Интегралы в полярных, цилиндрических
исферических координатах
|
|
|
|
|
|
Д в о й н о й и н т е г р а л |
|
|
|
|||||||
В |
|
задачах |
3525—3531 |
перейти |
в |
двойном |
интеграле |
|||||||||
$ J / (х, |
y)dxdy |
к полярным координатам р |
и <р (х = р cos <р, у = |
|||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= psin«p), и расставить пределы интегрирования: |
|
|
||||||||||||||
3525. |
D —круг: |
1) |
х2+ |
у2 |
|
/?2; |
2) х2+ у2«г: ах\ 3) х2-\-tf^ b y . |
|||||||||
3526. |
D —область, |
ограниченная окружностями |
х2 + у1 = 4х, |
|||||||||||||
х2 + у* = 8х и прямыми у = х |
и у = 2х. |
|
|
|
|
|
||||||||||
3527. |
D —область, |
являющаяся |
общей |
частью |
двух |
кругов |
||||||||||
|
|
|
|
и r2+j/2< l)}(. |
|
|
прямыми у = х, у = 0 и х = 1. |
|||||||||
3528. |
D —область, ограниченная |
|||||||||||||||
3529. |
D —меньший |
из |
двух |
сегментов, |
на |
которые |
прямая |
|||||||||
х + у = |
2 |
рассекает |
круг х2 -j- у1==s 4. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3530. |
D —внутренняя |
часть |
правой |
петли |
лемнискаты Бер |
|||||||||||
нулли |
(х2 + у2)2 = а2 (х2— у2). |
|
|
|
|
|
|
|
у ^ 0 , |
|||||||
3531. |
D —область, |
определенная |
неравенствами x;s=0, |
|||||||||||||
(х2+ |
у2)3с |
4а2х2у2. |
|
|
двойные |
интегралы |
преобразовать к по |
|||||||||
В |
задачах |
3532— 3535 |
||||||||||||||
лярным |
координатам: |
|
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
К |
VR‘ -X ‘ |
|
|
|
|
|
|
V'lRy—y1 |
|
||||
3532. |
J |
dx |
J |
/ (х, у) dy. |
|
3533. |
$ dy |
j |
/ (x, |
у) dx. |
0 |
0 |
R/2 |
0 |
2 1 8 ГЛ. XII, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
|
|
|
R |
V R 2 - * |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3534. |
$ 4 * |
$ |
/ (*2 + У2) dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
V«*— |
|
|
|
||
|
|
|
R / V 1 + й* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8535. |
|
j |
* j j ( £ ) < i y + |
|
|
|
f |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
О |
о |
|
|
|
Я / / 1 |
+ « ! |
|
О |
|
|
|
||
В |
задачах 3536— 3540 с помощью перехода к полярным коор |
||||||||||||||||
динатам вычислить двойные |
интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R |
YR1—х» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3536. |
$ dx |
J |
In (1 + х2 + |
у2) dy. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3537. |
$ $ / |
|
|
dx dy, |
где |
область |
D |
определяется |
нера- |
||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
y^ Q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
венствами х* + У2;®£1» xSsQ , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3538. |
^ ( h — 2x — 3y)dxdy, |
где |
D —круг х2+ у 2*^1Р. |
|
|||||||||||||
3539. \ \ У R2 — x* — у2 dx dy, где D — круг |
x2 - f |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3540. |
^ J |
arctg у |
dx dy, где |
D — часть |
кольца |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
х2 + 1 / ^ |
1, |
x2+ |
f ^ |
9, |
|
|
|
?/<xVr3. |
|
|
||||
3541. |
|
Показать, исходя из геометрических соображений, что |
|||||||||||||||
если |
декартовы |
координаты |
|
преобразовать |
по |
формулам |
х = |
||||||||||
= а р costp, |
«/ = 5psin ф |
(а |
и Ь —постоянные), то |
элементом пло |
|||||||||||||
щади будет |
|
|
|
da = abpdpd(p. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В задачах 3542—3544, используя результат |
предыдущей за |
||||||||||||||||
дачи |
и выбрав |
подходящим образом а |
и Ь, преобразовать двой |
||||||||||||||
ные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3542. |
$$/(* . y)dxdy, |
где |
|
область |
D |
ограничена |
эллипсом |
||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3543. |
\\f(x, |
у) dx dy, где |
D — область, |
ограниченная линией |
|||||||||||||
(*2 + |
f )2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3544. |
£ |* f(^/~4 —^ |
|
dx dy, где D —часть эллиптического |
||||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кольца, |
ограниченная |
эллипсами ^ |
|
|
1, |
^ |
^ = |
1 |
и ле |
||||||||
жащая |
в |
перром квадранте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ 3. ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ |
|
|
|
2 t9 |
||||||||||||||
3545. |
Вычислить |
|
интеграл |
|
tydxdy, |
|
где £>— область, |
огра- |
||||||||||||||
ниченная эллипсом |
х? . |
& |
|
и |
лежащая |
в |
первом |
квадранте. |
||||||||||||||
^ + |
|
|
|
|||||||||||||||||||
3546. |
Вычислить интеграл $ \ V xydxdy, где D —область, огра- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ниченная линией |
|
|
|
|
|
~ |
и лежащая в первом квадранте. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Т р о й н о й и н т е г р а л |
|
|
|
|
|
|||||||||||
В |
задачах |
3547— 3551 |
перейти |
в |
|
тройном |
интеграле |
|||||||||||||||
Ш / ( * . у, z) dxdydz |
к |
цилиндрическим |
координатам р, |
ср, г |
||||||||||||||||||
а |
|
|
г/ = р sin ф, |
2= 2) |
или |
сферическим координатам р, б, |
||||||||||||||||
(x= p coscp , |
||||||||||||||||||||||
<р ('JC= р cos ф sin 6, |
г/ = |
р sin ф sin 0, |
|
г = |
pcosQ) |
и расставить |
пре |
|||||||||||||||
делы интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3547. |
Я — область, |
находящаяся в первом октанте и ограничен |
||||||||||||||||||||
ная |
цилиндром |
зР+ tf — R2 и |
плоскостями |
2= 0, |
2 = 1 , |
у — х и |
||||||||||||||||
y = x V 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3548. |
Я — область, |
ограниченная цилиндром х2+ у2 = 2х, |
пло |
|||||||||||||||||||
скостью |
2= 0 |
и параболоидом z — x2 + y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3549. |
Я — часть |
шара |
д^+ ^ + г 2^ / ? 2, |
лежащая |
в |
первом |
||||||||||||||||
октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
з |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3550. Я — часть |
шара |
|
|
|
|
|
лежащая |
внутри ци |
||||||||||||||
линдра (х24- у2)2= R2 (х2— г/2) |
(х ^ О ). |
х2-\-у*-Yг* ^ |
R2 |
|
х2+ |
|||||||||||||||||
3551. Я —общая |
часть |
двух |
шаров |
и |
||||||||||||||||||
+ y2 + ( z - R ) 2^ R 2. |
|
|
|
|
|
|
|
интегралы с помощью пере |
||||||||||||||
В задачах 3552—3556 вычислить |
||||||||||||||||||||||
хода |
к цилиндрическим |
или |
к сферическим координатам: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
Y l —x* |
|
а |
|
|
|
|
2 |
У2х— х* |
а _ _ _ _ |
|
||||||||
3552. \dx |
|
5 |
dy\dz. |
|
3553. |
^dx |
$ |
|
|
dy\zV x2-\-tj*dz. |
||||||||||||
|
|
0 |
|
У«а—х2 |
|
0 |
|
|
___ |
|
о |
о |
в |
|
|
|
|
|||||
|
|
Я |
|
|
|
У Нг—х2—у‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3554. |
J |
dx |
J |
|
|
dy |
|
$ |
|
(х2+ if) dz. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
— л |
|
|
|
— _______0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
Y i - |
X1 |
У 1 —хг—y'a |
___________ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3555. |
\dx |
\ |
dy |
|
|
$ |
У x2 + y2 + z2 dz. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3556. ^l\(x2 + y2)dxdydzt |
где |
область |
Я |
определяется |
нера |
|||||||||||||||||
венствами 2^ |
0, |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
d x d y d z --------- ^ |
рде |
й _ |
ш а р |
х 2 + у г + |
г г ^ |
и |
|
|||||||||
3557 •ш У ^ + у 2+ ( г - 2)2‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3558. |
|
|
|
|
dxdydz |
|
, |
где |
Я — цилиндр |
х%+ |
|
1, |
||||||||||
ф У jp + jP + k - * )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220 ГЛ. XII, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§4. Применение двойных и тройных интегралов
Об ъ е м т е л а . 1
Взадачах 3559—3596 найти двойным интегрированием объ емы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в усло вия задач параметры считаются положительными):
3559. Плоскостями координат, плоскостями х = 4 я <f=4 и параболоидом вращения z = x2 + tf-{-1.
3560. Плоскостями координат, плоскостями х = а, у = Ь и
эллиптическим параболоидом 2= ^ + ^ -
3561. Плоскостью ~ - + у + ^- = 1 и координатными плоско
стями (пирамида). |
|
у —0, |
2= 0, 3x+i/ = 6, |
|
|
|
|
3562. |
Плоскостями |
3x + 2i/= 12 |
и |
||||
x-\-y-\-z = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
3563. |
Параболоидом вращения z = х2 + у2, координатными пло |
||||||
скостями |
и плоскостью х + у = 1. |
|
|
|
|||
3564. |
Параболоидом |
вращения г — х2-\-\^ и плоскостями г = 0, |
|||||
у = 1, у = 2х и у = 6 —х. |
|
у = 2 У х и плоскостями г = 0 |
|
||||
3565. |
Цилиндрами |
у = У х , |
и |
||||
x + z = 6. |
Координатными плоскостями, плоскостью 2х-\-Зу—12= 0 |
||||||
3566. |
|||||||
и цилиндром г — ф/2. |
2= 9 — 1/®, |
|
|
|
|
||
3567. |
Цилиндром |
координатными |
плоскостями |
и |
|||
плоскостью 3.с + 4«/= 12 |
(i/SsO). |
|
|
|
|||
3568. |
Цилиндром |
2= 4 — х2, |
координатными |
плоскостями |
и |
||
плоскостью 2x + y = i |
(ДС5гО). |
|
|
|
|
||
3569. |
Цилиндром 2i/ = x, плоскостями -£ + у |
+ 4- = |
1 и г = 0. |
||||
3570. |
Круглым цилиндром радиуса г, осью которого |
служит |
ось ординат, координатными плоскостями и плоскостью ~ + -| -= 1.
3571. |
Эллиптическим цилиндром Х^“- + i/®= 1, плоскостями |
2 = |
|||
е= 12 — 3* —4у И 2 = 1 . |
х2+ у2 = R2 и x2 + z2 = R2. |
|
|||
3572. |
Цилиндрами |
|
|||
3573. |
Цилиндрами |
х2 |
|
|
|
2 = 4 — 1/®, у = у и плоскостью 2= 0. |
|
||||
3574. |
Цилиндрами |
л^э |
и плоскостью |
2= 0 |
|
x2-\-y2 = R2, г = ^ |
|||||
(х ^ 0 ). |
Гиперболическим параболоидом z = х2 — у2 и плоскостями |
||||
3575. |
|||||
2 = 0, |
А’= 3. |
|
г = ху, цилиндром yt=> |
||
3576. |
Гиперболическим параболоидом |
||||
= У х |
и плоскостями |
x - f у = 2, у = 0 и 2 = 0. |
|