книги / Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях
..pdf152 |
Глава 3. Моделирование нестационарного течения в ТВЦ |
На входе (граница АВ, смотри рис.3.1) и выходе (граница CD) из расчётной области используются «отражающие» граничные условия.
На входе задаются фиксированными распределение полного давления Р, , полной температуры Т„ и угла набегающего потока Р :
n |
P 'W |
= const; |
|
Pt = р + |
-------- |
|
|
Т, = Г + ------- |
W2 |
= const; |
(3.12) |
2-с_
Р= const.
Кроме того, используется экстраполяция левого инварианта Римана [208] изнутри расчётной области:
|
RM -W |
2 -а |
(3.13) |
|
|
к-1 |
|||
где а - скорость звука. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На выходе экстраполируются угол выхода |
потока |
Р, |
||
энтропийная функция |
S и правый инвариант Римана [208] |
и |
||
фиксируется распределение статического давления: |
|
|
||
S |
|
1-а |
|
|
RM=W +------ ; |
(3.14) |
|||
|
|
к -1 |
||
р = const.
Для уменьшения влияния внешних граничных условий на параметры течения внутри расчётной области граница на входе в расчётную область отодвигается от профиля на расстояние ~ 0,75 шага решётки статора 0,75 • tc , граница на выходе - на расстояние
~ 2 шагов решетки ротора 2-tp.
На границах AD и ВС обеспечиваются условия периодичности параметров потока.
Для описания граничных условий на профиле рис.3.2 вдоль профиля вводятся слои фиктивных ячеек и применяется, пред ложенный Ю.М. Давыдовым, аппарат дробных ячеек [72,92] **.v
vДавыдов Ю.М. Метод дробных ячеек. - Авторское свидетельство на метод №2М/1968. / Приоритет от 1968. - М.: Сертификационный центр методов, алгоритмов и программ, 1993.
3.1. ФММ iwoueccci течения в турбине |
153 |
Используются расчётные формулы только для целых ячеек. Газодинамические параметры в ячейке «Ь» определяются путём «взвешивания» - суммирование производится по тем ячейкам «/»,
часть площади Si которых попало в ячейку «Ь».
Параметры течения в фиктивной ячейке «а» на профиле соплового аппарата с учётом расщепления (параметры ф) определяются по следующим зависимостям:
<P-=X (v<P<) |
Ф=Р>&Ё; |
|
||
i |
|
|
г |
|
иа - 2 к , |
• (u i |
' cos2Y + V, • sin2y)} |
|
|
|
l |
|
|
|
v„=S |
к |
• (- v/ •cos2Y + И, *Sin2y)} |
(3.15) |
|
i |
|
|
|
|
иa =2i 1*, ' fe |
'cos2Y + v, • sin2y)} |
|
||
Va = 2 |
к |
• (“ v, • cos2y + u. • sin2y)] |
|
|
i |
|
|
|
|
Параметры течения в фиктивной ячейке «а» на профиле рабочего колеса с учётом расщепления (параметры ф)
определяются по:
154 Глава 3. Моделирование нестаиионарного течения в TRiy
|
Ф„ = £ К |
' Ф,) |
Ф=Р.Е; |
£ si = 1> |
||
|
|
i |
|
|
|
I |
иа= X |
[5ь, ‘ (м, ' cos 2у + v, '« « 2у)]- vr • sin 2у; |
|||||
|
i |
|
|
|
|
|
vfl= 2 [ s 6( |
• ( - V, • cos2y + иi • sin2y)]+ vr • (cos2y + 1); |
|||||
~ |
V* |
|
(l - (Зи )• (и(. • cos2у + vf *sin2у)+ |
|||
и. = 2/ / |
V |
|
• (к. • cos2у + V, • sin2у) |
|||
|
1 + S |
k |
*P«) |
(uc -u c)-vr -sin2y; |
||
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
|
|
|
(l- Pv )• (- v(. • cos2y + M. • sin2y)+ |
|||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
P»-' (“ vf • cos2y + щ • sin2y) |
||
|
1+Z fe , •&) |
(ve - vc)+ vr • (cos2y +1); |
||||
Ё. = £ k |
|
|
+P, • f i . l + f i - S f c . • P . ) l - f e - E ') |
|||
где vr - |
скорость |
вращения ротора, |
Р„*Р,.,Ре - параметры |
|||
конечно-разностной |
схемы. |
Значения |
Р„,Р,,,Ре выбираются из |
|||
условия обеспечения устойчивого счёта. В данной работе значения параметров конечно-разностной схемы принимались равными
P#.Pv»P,=l-
Для повышения точности описания граничных условий особенно на узких входной и выходной кромках профиля (при дефиците ячеек сетки) и, при необходимости, на профиле в целом применяется процедура маркирования расчётных ячеек. Расчётная ячейка становится фиктивной, если не менее 50% её площади лежит на теле профиля.
Начальные условия для расчёта течения в ступени турбины ставятся следующим образом. Для зоны статора - расчёт обтекания профиля в абсолютном движении потока, для зоны ротора - расчёт обтекания профиля в относительном движении потока. Далее поле скоростей для зоны ротора переводится в абсолютное движение и для ступени в целом выполнялся расчёт на установление (до циклически повторяемого поля течения).
3. Устойчивость конечно-разностной схемы метода. Для устойчивости вычислительного процесса необходимо, чтобы возникающие при расчёте малые возмущения затухали с течением времени. Приведённые выше разностные схемы метода крупных частиц являются многослойными, а разносные уравнения (3.6, 3.10, 3.11, 3.15, 3.16) - существенно нелинейными с переменными коэффициентами.
Для анализа таких схем обычно используется эври стический подход, основанный на рассмотрении параболической формы их дифференциальных приближений [80, 88, 333 и др.]. В этом подходе оценивается знак коэффициентов диффузии atj у
диссипативных членов дифференциального приближения, содержащих частные производные второго порядка по пространственным переменным. Эти коэффициенты обычно группируются в виде матрицы - так называемой матрицы аппроксимационной вязкости. Положительность детерминанта матрицы аппроксимационной вязкости (часто рассматриваются только след матрицы или диагональные элементы матрицы) является условием устойчивости исследуемой конечно-разностной схемы.
Для рассматриваемой задачи о процессе нестационарного течения в турбине высокого давления наиболее критичными с точки зрения устойчивости вычисления являются: зона входа потока в первую ступень турбины (низкие скорости потока) и зона вокруг подвижного профиля ротора как первой, так и второй ступени турбины (влияние движения профиля).
Согласно трактовке лагранжева этапа метода крупных частиц каждая проекция конвективных членов исходной системы дифференциальных уравнений на координатную ось может аппроксимироваться независимо. Это позволяет при анализе свойств разностной схемы ограничиваться одной координатой [80,
88].
Выпишем, согласно [80], для одномерного аналога используемой выше конечно-разностной схемы метода (3.6, 3.7, 3.8, 3.10) диагональные элементы матрицы аппроксимационной вязкости. Будем считать, что поток течёт слева направо. Для противоположного направления потока достаточно поменять Ад: на -Д х\
156 Глава 3. Моделирование нестаиионарного течения в TRq
Итак, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
аи = i |
■м • Дх - |
• м, • Д г |
+ ~ ( р р - и 2)-At; |
|
||||||||
|
а „ = |
—- р - и - Д х ------ р - м |
- Д г ---------м - р |
’Ах |
■> |
+ |
|||||||
|
|
1 |
Л |
|
1 |
|
|
А ■* |
3 |
|
* |
|
|
|
22 |
2 |
Н |
|
2 |
|
' |
|
4 |
|
' |
|
(3.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Лт+и-Р^р -Р, + PJ |
-их)-Ьхг + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
At; |
|
|
|
2 |
- 3 - р - м 2 - р |
- р р ~ ~ P J + « 2 |
' P i |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Л |
1 |
|
|
Л 2 |
1 |
|
|
А 2 |
|
|
я„ = — -р-м -Д с----- р-м |
- А х |
------м-р |
-Дс - |
|
|
||||||||
33 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
~ |
P j |
•и,-Д*2-|-(и -/?„ |
- J x |
+ U ‘ p pj |
- р х ) - А х 2 + |
|||||||
|
2 |
—р • м” + Pj • |
|
|
Д*; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ч |
|
p ;J |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Эи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11, |
|
Рр, |
Э2Р |
|
|
|
|
|||
|
|
|
= — ’ |
|
ЭрЭ/ |
|
|
|
|
||||
и так далее. |
|
|
|
Эл:’ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
а22>0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Условие |
м„>0, |
м33 >0 |
из (3.17) рассматривалось |
||||||||||
в качестве критерия устойчивости выбранной конечно-разностной схемы метода для внутренних ячеек расчётной области (см. рис.3.1) и в том числе для зоны входа потока в первую ступень турбины высокого давления.
Для зоны течения вокруг подвижного профиля ротора турбины условия устойчивости иные. Здесь необходимо учитывать влияние подвижной границы на устойчивость вычислений. В качестве первого приближения можно воспользоваться одномерной постановкой граничных условий на подвижном профиле. Выпишем, согласно [80, 88, 112], диагональные элементы матрицы аппроксимационной вязкости для подвижной границы в одномерном случае.
Пусть поток течёт слева направо и толкает подвижную границу.
Тогда имеем:
?■/. ФММ процесса течения в турбине |
|
|
|
|
|
157 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
h |
|
|
- Ах' |
, |
1 |
P . - i |
|
|
At |
|
|||
а„ =м„ --------м |
|
|
. |
' р |
|
, |
и |
|
со • |
|||||
MI ~ ии |
7Г |
-л |
|
|
|
а |
|
• Ах" + |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
-1 |
л |
|
2 |
р |
||
|
|
|
Ах |
2 • h +1 |
|
|
|
, |
|
|
||||
«22=Р-«Я*—------------ Р'мх 'Ах* + |
|
|
||||||||||||
( |
■> |
|
|
|
|
, |
|
\ |
Ах2 |
At |
|
(3.18) |
||
{ - “ „ ■ P JJ |
*«X + P J |
' u . |
r |
) |
~ |
+ y ° |
V |
|||||||
Ax |
Л |
|
|
|
. |
, |
|
|
|
Ax2 |
|
|
||
а зз = P ' U„ |
|
2* P ' M- |
|
~ P j -мд |
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A r |
|
1 P£ - l |
|
|
|
л ’ |
А * |
|
|||
‘C 'P // |
*«,* |
|
2 |
|
4 |
а £ -1 |
|
р-м, -Ах' + — -со£, |
||||||
|
|
|
|
|
|
Ля* |
|
|||||||
где мЛскорость движения подвижной границы, |
h- |
линейный |
||||||||||||
относительный размер граничной ячейки в потоке. В (3.18) приняты следующие обозначения:
а Ф = “ Еi (* ‘ } |
Р Ф = Е/ (*2 -s?} |
Ф = Р >и>Е>* |
|
% =(2'X i~1)’Pp-^> |
|
|
|
со,, = -3 • р • и2 - р -Pp-Pj - —+ ( 3 - 4 -%2)'Pj чг„; |
|
||
|
Р |
|
|
р-и; •fl + 2-— 1 |
( 2 . ZJ - 1 ) - £ + £ + 2 - X 4 -«„! |
||
P J |
L |
P |
J |
где sf - весовые параметры, вектор % = tc1,%2,%3,%4} |
опреде |
||
ляется той или иной аппроксимацией граничных условий разностными соотношениями.
Если поток течёт справа налево и подвижная граница толкает поток, то имеем:
|
Ax |
/ i - l |
|
. , |
l P |
P""l |
.и .Av- |
At |
|
«П =\ип |
■+ — — |
|
|
|
|
_ .ц ,р) |
|||
и„ - Ах* - —•— — -•«, - Ах2 |
+ — *0).; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 а р -1 |
|
|
|
|
|
I |
I |
Ax |
2’h -3 |
|
. , |
|
|
«22= Р - К \ ~ |
+ ~~4---- р ,“* ’ДяГ + |
|
|||||||
|
/ |
|
1 |
|
|
\ |
Ах2 |
At |
|
|
( |
- K |
' P |
J J •U X + P |
J |
— |
+ Y ’C0«; |
||
(3.19)
158 Глава 3. Моделирование нестационарного течения в TR17[
. |
I |
Ах |
|
h - 1 |
|
. |
, |
|
Ах2 |
|
«зз = р * К |
г |
у |
+ — |
‘ Р * “ т *Л х " ~ Р } , _ 4 ~ + |
|
|||||
, |
|
•иг |
Ах2 |
1 |
Р£ - 1 |
|
А , |
At |
a>F. |
|
и;.-р„ |
-----------------------2 |
4 а Е- l |
|
р-м„ •Ах~ |
+ — |
|||||
" JJ |
|
|
|
* |
2 |
£ |
||||
Условие |
|
а„>0, а22>0, |
а33> |
0 |
из (3.18,3.19) |
в первом |
||||
приближении рассматривалось в качестве критерия устойчивости для подвижной границы расчётной области - зоны течения вокруг профиля ротора.
Для уточнения параметров выбранной конечно-разностной схемы метода (3.16), аппроксимирующей подвижные граничные условия на профиле ротора в двумерной плоской постановке, дополнительно проводились тестовые расчёты. Результаты тестовых расчётов окончательно определили параметры выбран ной схемы.
3.2. Комплекс прикладных программ PLUTON
На базе разработанной физико-математической модели процесса нестационарного течения в турбине высокого давления газотурбинного реактивного двигателя создан комплекс прикладных программ PLUTON, который является дальнейшим развитием пакета прикладных программ КРУЧА [79]. Комплекс создан по классической технологии разработки сложного программного продукта, предложенной и описанной в [118, 119]. Комплекс PLUTON состоит из двух основных расчётных модулей: - модуль HURON - расчёт координатных функций и весовых коэф фициентов для описания граничных условий на криволинейном профиле (статора и ротора); - модуль PLUTON - газодинамический расчёт течения в ступени турбины высокого давления.
Рассмотрим каждый расчётный модуль в отдельности и весь комплекс прикладных программ в целом.
3.2.1. Расчётный модуль HURON
Расчётный модуль HURON позволяет аналитически описывать геометрию единичного профиля (статора или ротора) и
3.2. Комплекс прикладных программ PLUTON |
159 |
определять набор параметров (координатных функций и весовых коэффициентов) для расчёта граничных условий на криво линейном профиле.
Принципиальная блок-схема алгоритма расчёта пред ставлена на рис.3.3.
Описание используемых идентификаторов
Ввод координат единичного профиля
Ввод точностных констант и специальных расчётных параметров
Аналитическое описание геометрии единичного профиля
Цикл (движение вдоль профиля):______________________________
Определение координат центра граничной ячейки (с - ячейки)
Вычисление координат центра фиктивной ячейки (а - ячейки)
Определение нормали к профилю из центра фиктивной ячейки
Вычисление координат вершины углов а - ячейки
Вычисление координат центра b - ячейки
Вычисление координат вершины углов b - ячейки
Вычисление координат точек пересечения расчётной сетки и граней b - ячейки
Вычисление номеров (I,J) расчётных ячеек, в которые попали вершины
_______________________ углов b - ячейки______________________
Вычисление номеров (I,J) расчётных ячеек, в которые попали части b - ячейки
Вычисление весовых коэффициентов для каждой части Ъ- ячейки Окончание цикла.____________________________________
________________ Проверка результата расчёта_______________
Рис.3.3. Блок-схема расчётного модуля HURON.
160 |
Глава 3. Моделирование нестационарного течения в ТВЦ |
Дадим формальное изложение приведённой блок-схемы. Блок-схема начинается с описания используемых идентифи каторов. Описание используемых идентификаторов включает в себя описание по типу значения и форме представления основных расчётных параметров (весовых коэффициентов и координатных функций), а также внутренних параметров расчётного модуля (промежуточных параметров расчёта, точностных констант, параметров основной расчётной сетки и пр. переменных).
После описания используемых идентификаторов в расчётный модуль вводятся координаты единичного профиля, привязанные к расчётной сетке области интегрирования (см. рис.3.1). Координаты вводятся дискретно в общем случае с произвольным шагом вдоль профиля. Шаг ввода координат сгущается при увеличении кривизны профиля.
Далее производится ввод точностных констант и специальных расчётных параметров (таких, как: точность наложения координатной сетки на расчётное пространство, точность определения угла наклона касательной к криво линейному профилю лопатки, расчётные шаги по координатам и пр.).
По заданным координатам аналитически описывается (аппроксимируется) единичный профиль (его образующая). В силу существенного изменения кривизны профиля в районе носка (как входного, так и выходного) аппроксимация производится по следующему правилу: отдельно спинка и отдельно корытце профиля описываются кубическим сплайном, входной и выходной носок профиля описываются окружностью.
После аналитического описания геометрии единичного профиля организуется цикл последовательного перебора граничных ячеек вокруг профиля. Ячейка является граничной, если она одновременно частично принадлежит потоку и частично профилю.
По индексному номеру граничной ячейки производится определение координат положения её геометрического центра и количества граничащих с ней фиктивных ячеек (а - ячеек, см. рис.3.2). Все последующие операции выполняются для каждой из фиктивных ячеек в отдельности.
Производится вычисление координат центра фиктивной а - ячейки, примыкающей к граничной ячейке. Из центра фиктивной ячейки опускается нормаль к профилю. В точке пересечения
3.2. Комплекс прикладных программ PLUTON |
161 |
нормали и кривой единичного профиля строится касательная. По координатам геометрического центра вычисляются координаты вершины углов а - ячейки.
Далее симметрично относительно касательной к кривой единичного профиля в точке пересечения нормали, опущенной на кривую из центра а - ячейки, выстраивается b - ячейка (см. рис.3.2). Вычисляются координаты центра b - ячейки. Опре деляются координаты вершины углов b - ячейки.
По геометрическим параметрам b - ячейки и по используемой в расчёте координатной сетке вычисляются координаты их (b - ячейки и сетки) точек пересечения. Определяются порядковые номера (I,J) расчётных ячеек, в которые попали вершины углов b - ячейки. Производится вычисление порядковых номеров (I,J) расчётных ячеек (координатных функций), в которые попали части b - ячейки. Определяются весовые коэффициенты для каждой части b - ячейки.
В заключении осуществляется проверка результатов расчёта: сумма весовых коэффициентов для каждой части b - ячейки должна быть равна единице с точностью до ошибки их определения (заданной точностной константы).
По изложенному выше алгоритму создана программа расчёта на ЭВМ координатных функций и весовых коэффициентов для вычисления граничных условий на криволинейном профиле - расчётный модуль HURON. Модуль написан на алгоритмическом языке программирования С (GNU С) для рабочей станции “Indigo- 2 “ фирмы SG с операционной системой Linux [254] и может быть использован для расчётов на рабочей станции с операционной системой Microsoft Windows NT Workstation 4.0 [249].
Расчётный модуль HURON реализован в форме выполняемой функции. При его составлении использовались приёмы и методы структурного программирования.
3.2.2. Расчётный модуль PLUTON
Расчётный модуль PLUTON позволяет определять полный комплекс газодинамических параметров, описывающих течение в ступени турбины высокого давления газотурбинного двигателя с учётом движения лопаток ротора турбины.