книги / Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях
..pdf62 Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрой
сх = 0,3164 ‘Re?z\ |
|
Re, <10*; |
|
cXi = 0,0032 + 0,221 *ReТ0,237, |
Re,)10s; |
||
- |
; < |
___ 4 -a.I -V |
|
s, |
|||
И. |
|
||
Выражение для функции силового межфазного взаимо действия, обусловленной только поверхностным трением, с учётом поправки на вдув еь [30,58]:
т, = *, ■С,, • Pi' • |«, - "уI |
Y ■ |
(2.40) |
|
i = (в,w, s, h, с, р); |
j = (2,3,4,5, с), |
|
|
где |
|
|
|
А ___ . о - |
8 ’У |
Р " |
|
Е ь = ехр{В)-\' |
Pi* И, - |
U j |
|
Коэффициент сопротивления для частиц металлизированной фазы ii-p; j=5) определяется по следующим формулам:
24 |
4 |
Re <700; |
с. = |
Re0:33 ’ |
|
Re_ |
|
|
c,r = 4,3-{lg Rer)-\ |
Rep>700; |
|
Re
'Ц.
Выражения для функций теплового межфазного взаимодействия при i-(e,w,s,h,c); j = (2,3,4,с):
конвективная составляющая (вынужденная конвекция)
? ,,= V < v ( 7 ; - r ;) |
(2-41) |
||
где |
|
Г |
Л0,73 |
|
|
||
ак = 0,044 •— • Re |
*/V |
• 1- |
р; |
Рг _ |
-ц. |
’ |
|
|
X. |
|
|
лучистая составляющая
2.2. ФММ газовой динамики в каморе и стволе орудия |
63 |
, —st • <х, • (7j Tj) |
(2.42) |
|
% |
||
|
где
°Ч =
После воспламенения горящей поверхности функции теплового межфазного взаимодействия обнуляются - горящая поверхность “экранирует” теплообмен.
Функция теплового потока лучистой энергии вдоль по газовой фазе в приближении объёмного высвечивания (учитывая излучение и пренебрегая поглощением):
q^=4-n-p;-v'fK',Brdv, (2.43)
где Klv- коэффициент поглощения с учётом вынужденного испускания, Bv- функция Планка. Заменяя в (2.43) интегрирование по частоте суммированием, получим:
q,.=4-n-P:-V-^(Kl-B,-&v} (2.44)
где
к!. = к.. • 1-ехр |
К- V |
|
|
|
|
* .-г, |
|
К =0,012 -£ - |
|
||
2 -It, -v3 |
|
|
|
с; |
ехр' |
К ' V 4 |
-1 |
Здесь: It, - постоянная Планка, к, - постоянная Больцмана, с, -
скорость света.
Переменная температура поверхности каморы и ствола артиллерийского орудия Тс определяется по приближённой методике Р.Е. Соркина [290].
Противодавление, создаваемое бегущей по воздуху впереди снаряда ударной волной, определяется по:
к + 1 „ •> |
/Л |
Рпр = Ро+ “ Г— Р| |
(2.45) |
64 |
Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрела |
2.2.3. Метод крупных частиц для расчёта многофазного течения
Задачу (2.28-2.45) будем решать методом крупных частиц [71, 81, 85, 343 и др.]. Заметим, что многие задачи механики многофазных сред решались методом крупных частиц [87, 92, 99, 108,160,202,293 и др.].
1. Следуя [81], дадим вначале формальное описание метода. Основная его идея состоит в расщеплении по физическим процессам исходной нестационарной системы уравнений (в нашем случае - это система (2.28-2.31)), записанной в форме законов сохранения. Среда здесь моделируется системой из жидких (крупных) частиц, совпадающих в данный момент времени с ячейками эйлеровой (неподвижной в пространстве) сетки. Весь процесс вычислений состоит из многократного повторения шагов по времени.
Расчёт каждого временного шага (вычислительного цикла) в свою очередь разбивается на три этапа:
эйлеров этап, когда пренебрегаем всеми эффектами, связанными с перемещением элементарной ячейки (потока массы через границы ячеек нет), и учитываем эффекты ускорения гетерогенной смеси лишь за счёт сил давления; здесь для крупной частицы определяются промежуточные значения искомых параметров потока лагранжев этап, где при движении гетерогенной смеси
вычисляются потоки массы, импульса и энергии через границы эйлеровых ячеек; заключительный этап —определяются в новый момент времени
окончательные |
значения |
газодинамических |
параметров |
|
гетерогенного |
потока |
'¥{pg,pp,pi,a,\JLXO;k,cp,ui,Jj^i), где |
||
/=1,2,3,4,5; j=2,3,4,5, |
на |
основе законов сохранения массы, |
||
импульса и энергии для каждой ячейки и всей системы в целом на фиксированной расчётной сетке.
2. Перейдём к изложению используемой конечно разностной схемы метода. Рассмотрим все этапы вычислительного цикла в отдельности. Область интегрирования (см. рис.2.1)
2.2. ФММ газовой динамики в каморе и стволе орудия |
65 |
|
покрывается фиксированной |
в пространстве расчётной сеткой с |
|
шагом Ах. Значения целых |
<«» вдоль оси ОХ обозначают центр |
|
ячейки. |
|
|
Эйлеров этап. На этом этапе расчёта изменяются лишь величины, относящиеся к ячейке в целом, а многокомпонентная гетерогенная смесь предполагается заторможенной. Поэтому конвективные члены, типа отбрасываются. Кроме
того, расходно-приходные комплексы и функции взаимодействия, входящие в правые части уравнений (2.28-2.31), зануляются.
Тогда имеем:
(2.46)
Аппроксимируя уравнения (2.46) в момент времени t" и разрешая их относительно искомых величин и1,и,,и5,Е1,Е2,Е4,Е5, получим следующие соотношения для «/» ячейки (крупной частицы):
66 |
Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрела |
[g.Vfoi, fco 5 - [а,Урц, ]''_о 5 __ Дг
Ах
... k v p L . s - k i 'p L . ,
д*
... k v p l ^ - k v p t .
UЛ •
Дх
[ a ^ L j - M p i b L i Дх
f -к"
At
i>; - к"
Дг (э;; -V/
At
Iр Г -И "’
где величины с дробными индексами, относящиеся к границам ячеек, определяются следующим образом, например:
Интегральные составляющие в (2.47) вычисляются по методу Симпсона [40].
Лагранжев этап. На данном этапе вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку. Здесь находятся за время At потоки массы, импульса и энергии через границы эйлеровых ячеек для каждой фазы гетерогенной смеси.
Соотношения, например, на правой границе “Г ячейки для определения потоков массы, импульса и энергии в общем случае запишутся в виде:
• V й |
-(о" |
и х |
f c . v w L = р ;£<+о.з К/+0,5 |
Vi+0,5 |
|
ср = 1 ,а ,р Д ,а ;
|
\|/ = |
k ,c p,u v Ex; |
|
(2.48) |
|||
м," • (о,У£У |
|
= |
и " |
• о м |
• V " |
• |
S /+ 0.5* |
\ Г 2 г Ъ/,+0.5 |
|
и 2, |
г 2 („ , |
*i+0,5 |
|
||
%= U 2,E2;
2.2. ФММ газовой динамит в каморе и стволе орудия |
67 |
-«ft* 'itu -« L ,>
C = l, D p ,u s , J s >Ё з ‘
Конкретный выбор записи потоковых формул (2.48) имеет большое значение, так как сильно влияет на устойчивость и точность вычислений. Для увеличения устойчивости и точности метода будем учитывать направление движения потока на границе ячейки и использовать формулы только первого порядка точности.
Итак, имеем:
р " |
- у л - |
ф |
, |
• Я/ |
1 |
’ 1 |
*/.0,5 ’ |
L ,.,=• о" |
-V" -с о " |
• « " |
|
|
|
™ |
“ '..05* |
<р = 1, я , р Д , а ;
и!1
N40.5
и"
*140,3
IV о V О
|
|
р " |
• v" • « ; |
, |
||
<p,r a . L |
= |
• |
Pi |
1 |
*/40,3 9 |
|
р ; . , |
- к , |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
( P l ^ , L . 5 |
= |
|
|
к - |
|
|
ко"1„, |
•V"к «+1 -ш"T / + I |
-и* |
||||
|
|
\\f = k ,c p,u l,E l; |
||||
• (P3V IL , = |
-Рз, -v ," |
- 41; |
||||
« L (р Л , = |
|
|
•V " |
•к " ; |
||
|
|
- v - с - |
||||
<p5v?i?5 )L.5 = |
|
|
1 |
-*#40.5 |
||
|
|
С |
|
* и " |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ь/+1 |
и ЗМ Л > |
|
|
|
|
|
1 1 |
$ |
Е $ . |
и, >0;
и, <0;
»,* , 20,-
*140 3
<0; (2.49)
N40.3
Ч = у J 2 , Ё . ;
к— 1, У 4 , Е ^ /
^•N40 5 > 0 ; ■N40.3 < 0 ;
Сущность описанного приёма расчёта потоков массы, импульса и энергии заключается в рациональном управлении величиной аппроксимационной вязкости конечно-разностной схемы метода крупных частиц.
На лагранжевом этапе метода вычисляются расходно приходные комплексы и функции межфазного взаимодействия (2.35-2.44), входящие в правые части уравнений (2.28-2.31), с учётом изменения параметров потока на эйлеровом этапе.
Заключительный этап. Здесь происходит перерас пределение массы, импульса и энергии по пространству и
68 Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрела
определяются окончательные поля эйлеровых параметров многокомпонентного многофазного гомогенно-гетегогенного потока на фиксированной сетке в момент времени t n+l = t" +At . Уравнения этого этапа представляют собой законы сохранения массы, импульса и энергии, записанные с учётом промежуточных значений параметров потока и наличием расходно-приходных комплексов и функций межфазного взаимодействия, которые определены на эйлеровом и лагранжевом этапах метода.
Система исходных уравнений (2.28-2.31) примет следующий вид:
уравнения неразрывности (сохранения массы) |
|
|
|||||||
|
э < р /) |
a£,„v“i) |
|
+ G - + cv + G >+ G - |
|
||||
э(рИ |
a(p„v5.) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
—G , + G„„ + G. —Gn„ - Gn... —Gn„ - G„,. - Gn.; |
|||||||
dt |
dx |
|
pk |
' pe ' ^ |
d |
v"' Oe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d(p„V<l>) |
|
|
P .= P 8 + P .; |
|
|
|
|||
э(ргУфй.) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- Ф* *GSk + Фв *Gge + Фи, • Ggw+ cps -Gs +<p* • Gh; |
|||||||
~ д Г +~ а Г ~ =ч’* " >“ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(p = (a ,p L X a ) ; |
|
|
|
|||
dfayy) t d f |
a |
V |
y |
i |
„ |
.... |
^ |
^ , |
|
— jjj— |
+ ----jjjj------ |
|
G* + Vee |
|
+ |
+ |
G* + |
||
V* *GA+ |
■Grf - VJJ, • (G0e + G0„. + G0j + G0/, + G 0c); |
|
|||||||
|
9(paV) |
I И |
Э(р2У)_ |
'G, -G tf +G0e + G0tt.; |
(2.50) |
||||
|
_ |
|
“ |
||||||
|
dt |
|
dx |
|
|
|
On* |
|
|
|
|
|
a(p,v) |
G. + G , |
; |
|
|
||
|
|
|
d t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3<p5v) |
a(psv«5) |
|
|
|
|
||
|
|
~~dt~+ |
dx------ G" |
“ G" |
|
|
|||
|
э(р,и>,) |
a(p,vD,«5) |
|
Gpw-Dp |
|
||||
|
Э/ |
|
3JC |
-^ ,,0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнения сохранения импульса
2.2. ФММ газовой динамит в каморе и стволе орудия |
69 |
Э(р,Уи, ) , Э(р,Уи,ц,) _
dt |
dx |
|
|
|
~ ~ Х в |
X » ~ X s ~ X l , ~ X c ~ X p + % s ' G d + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и4• Gh+ и2 • (fre+ Ggw)- и, • (G0e+ G0„, + G0j + G0/f + G0c) |
|||||||||||
|
f \• |
|
|
T/, ^ |
— |
|
I |
|
|
(2.51) |
|
|
i |
p,VWx |
= / k + |
^ . K |
|||||||
|
|
- |
|
|
dt |
|
|||||
a (p 5v « 5) |
|
a (p 5VM5M5) |
|
|
|
_ |
|
||||
“ S - |
+ |
|
— |
5 Г " |
" T' + “2 |
|
■“* ,G- ; |
|
|||
уравнения сохранения внутренней удельной энергии |
|||||||||||
a(p,vj2) |
, |
_ |
d(p,vj,) |
|
, |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Л - ( о . + с . > |
|
|
|||
|
|
|
Э (р ,У Л ) _ |
4b+chs~J^'Gs; |
(2.52) |
||||||
|
|
|
|
||||||||
a(p,vj, ) |
|
d t |
a(P,vj<)_ |
|
|
|
|||||
|
- |
|
|
|
|||||||
— d t— + 4----Эх— ~ q a |
+ q,h ~ J * ' G,>’ |
|
|||||||||
уравнение сохранения полной удельной энергии смеси |
|||||||||||
Э(р,У£,) |
Э ^У Ё,) |
Э(р,У/,) Э ^ £ 4) Э(р,УЁ.) |
|||||||||
Э/ |
|
|
Э/ |
|
|
Э< |
|
Э( |
Э< |
||
^ V £ f t J + ~ |
э ^ У £ г) ( - |
э^ |
уё^ |
эМ |
д ,) , (2 53) |
||||||
Эх |
|
|
2 |
|
dx |
|
dx |
dx |
|
||
J k ' G k + { J e - J 2 )* |
^ |
' G g* + J P* * |
- J 2 ' G » + |
||||||||
(js ~ J3)’ |
(Л _ *^4 )' Gh* C^rf ~ ^5)’ Gd ~Яке ~Як ~Як* |
||||||||||
Аппроксимируя уравнения (2.50-2.53) на новом временном |
|||||||||||
слое t"+l=t"+At |
и |
разрешая |
их |
относительно |
искомых |
||||||
параметров потока получим следующие разностные соотношения
для |
ячейки (крупной частицы): |
|
|
|
|
|
|
уравнения неразрывности (сохранения массы) |
|
||||
|
|
У," |
|
|
д* |
+ |
|
р Г = р |
у;11+1 |
Ах |
|
v;»+1 |
|
|
(G ™+ G " + G " + G " + G ;)- |
Af |
|
|||
|
V/,+1; |
|
||||
|
V Л |
s»f |
If |
ft// |
|
|
70 |
|
|
Глава 2. Моделирование артиллерийского |
|
|||||
Vp, |
КД |
y_,.+i |
Дд- |
1 //-0.5 |
»+i |
|
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
v; |
|
|
|
(у—»f» |
, |
/~Ч1 , п |
/~гп |
/~*п |
/~*п |
II |
/~11| \ |
А / |
|
, я^+ ^ /ч + ^ , |
^<ч |
G0„. |
Цц |
G0ft( |
G0cJ-- |
n+1' |
||
|
|
|
р Г |
= р Г |
+ р Г ' |
|
|
|
|
,,+i = |
„ >_PIr £r,—-у,"« |
|
|
|
|
At |
|||
Vl |
Y' D |
|
r /1+1 |
|
Ал: |
|
o "+1 -V."*1 |
||
|
-V" |
|
|
||||||
|
Ks, |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ф. - с * |
+ ф. -G ;, |
+ ф,, -с г% + ф, -G ;; +<p, •G ;;> |
||||||
At
P ''+1 -v ;1+1’
Ф = а ,ц Д , а ;
ш"1=ш" |
Р“. • V " |
( |
р | L.5 - (р|Ууй| L.S |
Af |
||
' |
' |
p r '- v ; .’" 1 |
А х |
|
|
|
|
(ф й -с;, +V „ - с ; + v>, -G"n + v , -G ; + Vi -G” + v „ -G ;J- |
|||||
|
7^r% ,> , |
- v * |
• [°о., + Go"„, + G0; |
+ G i; |
+ G ; )■ |
|
|
P ‘, |
* Y i |
|
|
|
|
|
|
At |
|
|
|
(2.5^ |
|
p;;+1- v r l ’ |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
V = k , c p ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p ^ L . - f p ^ L , , |
At |
|
|
p!‘ |
p2' |
v;."' |
----------- .. |
||
|
|
(G . > G ; - G I , - G ; J . ^ ; |
|
|
||
|
|
рГ =Pl |
f |
y i |
|
|
|
|
|
|
|
||
р Г = P. .I L _ s . . (P ^ L , - (р Л , |
дг |
Г г . r „ ч |
||||
2.2. ФММ газовой динамики в каморе и стволе орудия |
71 |
Г„ . _ г |
у; (P№ L , - ( P.№ L , д, |
/ . |
|
|
ч д, |
|||||
р '. |
Р -’. V,"*1 |
|
^ ---------------- |
|
|
|
|
|||
0 „ . , = D . |
p ; , - v ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
л |
р Г •v,."+l |
|
Дх |
|
рГ1-К"+1 |
||||
|
|
|
|
|
Д/ |
|
|
|
|
|
|
(O PO -G ; . . - D ; - G ; ) - . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
р ; ,+| • v y ,+1 |
|
|
|
|
|
уравнения сохранения импульса |
|
|
|
|
|
|||||
^1/ |
^*1 |
p;;-v;w |
|
|
|
|
д* |
|
||
.-/1+1 I/W+1 |
|
д* |
|
11+1 |
т///+1 |
|||||
|
|
р Г Ч " +‘ |
|
|
‘р 'Г - |
к |
|
|||
|
(<+<,+т;,+т;;+т;+т;)- |
Д/ |
+ |
|
|
|
||||
|
рГ‘ - К " |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
At |
|
|
|
|
|
[г?5" - с * + ,7 " - с ;+ « - .(о ;;+ о ;,)] |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
p;;+,* v rl |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
At |
|
|
|
|
«■ •(G ; + |
G ; , , + G ; , + G 0; + |
G ; ) - /1+ т/ /1+19 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
l |
РГ ’ Vi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iCl = u" +± |
|
|
|
|
(2.55) |
||
|
|
|
|
|
Jp,VWx |
|
|
|
|
|
|
_ ~ я |
Р д / К " |
( p № |
» S )",0,5 ~ |
( P 5 ^ 5 » 5 |
)/-0.5 |
A f |
[ |
||
M5, |
W5, |
и+1 _ y |
»+l |
|
Д х |
|
|
рГ1-VT1 |
||
|
|
г^5у |
i |
|
|
|
At |
|||
|
|
Д/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Pi |
~ « + l |
■+&•<?„- ъ - ч ) - p,,+. |
' |
|
|
||||
|
|
РГ-Ч-’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения сохранения внутренней удельной энергии |
|
|
||||||||
, |
|
P: -V; |
... |
(p2w ; ) ;« - ( P /W X * |
|
|
||||
' Г ='= . • |
^ = |
г - |
“ * ---------------£ |
|
р г |
|
- v r |
|||
f o + + * .
p"-v;." / „
|
11+1 T/H+l * |
)• рг -ки - Ji ■t o +a*.)•■p r - v ; . |
|
n\ |
At |
At____ ,n.r «..______ |
|
J Г |
= J l ' 0 « + t # у Н + Г + ( & * + Qh , У p / H l . y r « + 1 |
3 ( |
* , |
p « + I . у M l ' |
r*3, |
Yi |
m* |