книги / Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях

течениями, областями больших и малых градиентов по параметрам и пр.

В большинстве случаев для рассматриваемого класса задач лабораторный эксперимент трудно осуществим, так как требует для полного моделирования практически натурных условий. При теоретических исследованиях здесь мы имеем дело с весьма сложными математическими моделями, решение которых без привлечения численных методов (например, аналитически) практически невозможно. Нестационарность, многомерность и существенная нелинейность рассматриваемых явлений и процессов такова, что численные подходы (численное моделирование) в данном случае представляют практически единственное средство для их достаточно полного теоретического исследования [13,92 и др.].

Остановимся подробнее на предмете численного математического моделирования, рассмотрим в чём его сущность. В докторской диссертации Ю.М. Давыдова (- М.: ВЦ АН СССР,

1981) под численным математическим моделированием понимается определение свойств и характеристик рас­ сматриваемого явления, процесса или состояния путём решения на вычислительных машинах (в частности, на ЭВМ) замкнутой системы уравнений, представляющей собой математическую вычислительную модель. Важно так «сконструировать» модель, чтобы она достаточно точно отражала характерные свойства рас­ сматриваемого явления или процесса. При этом могут быть опущены второстепенные и несущественные свойства. Тогда приближённая математическая модель будет более компактной и доступной для исследования.

Сформулируем основные этапы численного моделирования (решения) в общем случае любой прикладной задачи на ЭВМ:

конструирование физической модели исследуемого процесса; математическая постановка задачи (написание исходной системы дифференциальных или интегральных уравнений); выбор метода численного интегрирования; разработка вычислительного алгоритма; программирование и формальная отладка программы;

методическая отладка алгоритма и программы (проверка работы программного продукта на конкретных тестовых задачах, сравнение с экспериментальными данными);

серийные расчёты, накопление опыта, оценка эффективности программного продукта.

В связи с появлением ЭВМ большой мощности значительно повысился интерес исследователей к различным численным методам и подходам, реализация которых граничит с проведением вычислительного (численного) эксперимента. Основной чертой методов вычислительного эксперимента, отличающих их от обычных методов численного моделирования, является системный подход к решению поставленной задачи. Он предполагает глубокую взаимосвязь всех составляющих частей численного математического моделирования, структурирован­ ность и иерархическое построение моделей, алгоритмов и программ, подчинённых решению основной задачи [118, 205, 314, и др.].

Определим кратко, следуя докторской диссертации Ю.М. Давыдова (- М.: ВЦ АН СССР, 1981) а также [118, 119], основные этапы вычислительного эксперимента. Параллельно для сравнения проведём аналогию с физическим экспериментом.

Вначале на основе глубокого анализа исследуемого физического объекта (например, реактивного двигателя) дается его по возможности подробное математическое описание - выбирается в общем случае дифференциальная или интегральная мате­ матическая модель. В физическом эксперименте этому этапу соответствует анализ и выбор схемы эксперимента, уточнение элементов конструкции и самой экспериментальной установки.

Затем для выбранного дифференциального или интегрального оператора составляется разностная схема, исследуются вопросы её сходимости, устойчивости и т.д. В натурном эксперименте на этом этапе осуществляется конструирование, изготовление экспериментальной установки и её отладка.

В результате мы получаем средство для исследования (работающую программу для ЭВМ или экспериментальную установку) интересующего нас явления или процесса. С помощью этих средств проводится собственно эксперимент: расчёт на ЭВМ или серия замеров.

Следующим этапом является детальный анализ полу­ ченных результатов, вследствие чего делаются уточнения в программе расчёта или конструкции экспериментальной установки. Такая обратная связь позволяет совершенствовать

методологию как вычислительного, так и натурного экспе­ риментов.

Численное моделирование особенно важно там, где не совсем ясна физическая картина изучаемого явления, не познан до конца внутренний механизм взаимодействия [92]. В процессе численного эксперимента происходит, по существу, уточнение исходной физической модели. Путём расчётов на ЭВМ различных вариантов алгоритма ведётся накопление фактов, что в итоге даёт возможность произвести отбор наиболее реальных и вероятных ситуаций.

При изучении явлений и процессов, протекающих при срабатывании реальных технических систем (активных и реактивных двигателей в частности), имеют место сложные до-, транс- и сверхзвуковые течения, большие перепады давления, высокие температуры и т.д., которые приводят в ряде конкретных случаев к нестационарным эффектам глубоко нелинейной природы. В этих случаях чрезвычайно затруднено исследование явления или процесса в лабораторных и натурных условиях, так как для подобия между натурой и моделью уже недостаточно удовлетворить лишь классическим критериям подобия - равенствам чисел Маха и Рейнольдса для модели и натуры [92, 208]. Требуется также равенство абсолютных давлений и абсолютных температур, что возможно лишь при условии равенства размеров модели и натурного объекта [86, 92]. Всё это свидетельствует о больших технических сложностях и существенной дороговизне эксперимента. Сюда также следует отнести тот факт, что данные опытных измерений носят обычно весьма ограниченный характер.

Активное использование методов численного моде­ лирования позволяет резко сократить сроки научноисследовательских и опытно - конструкторских разработок. В тех случаях, когда физический (лабораторный или натурный) эксперимент трудно осуществить за ограниченный промежуток времени, численное моделирование служит практически единственным инструментом исследования.

Однако при этом ни в коей мере не должно занижаться принципиально важное значение физических или натурных экспериментов. Опыт является важным элементом исследования. Его результаты могут подтвердить или скорректировать, уточнить

18 Глава 1. Анализ и постановка задач

результаты решения при использовании теоретического подхода [3,24, 157, 165,252,311,318,319,329,331 идр.].

В общем случае для рассматриваемого класса задач при численном математическом моделировании мы имеем дело с нелинейными системами дифференциальных уравнений смешанного эллиптико - гиперболического или эллиптикопараболического типа [226, 302-305]. В общем случае эти системы уравнений имеют подвижные граничные условия. Граничные условия ставятся на поверхностях или линиях, которые сами определяются в процессе вычислений. Причём область изменения искомых функций настолько широка, что обычные методы аналитического исследования (линеаризация уравнений, разложение в ряды, выделение малого параметра и т.д.) здесь не подходят для получения полного решения задачи.

До настоящего времени, например, для подавляющего большиства задач газовой динамики не только не доказано никаких математических теорем существования и единственности, но даже часто нет уверенности в том, что такие теоремы могут быть получены [80, 92 и др.]. Сама математическая постановка задачи, как правило, в точном смысле не сформулирована, а даётся только физическая постановка, что далеко не одно и тоже. Математические (аналитические) трудности изучения такого типа проблем напрямую связаны с нелинейностью уравнений и большим числом независимых переменных. Таким образом, численный эксперимент для рассматриваемого класса прикладных задач приобретает в настоящее время практически равные права с традиционным физическим экспериментом.

Однако кажущаяся простота проведения численного эксперимента таит в себе значительные трудности, связанные с построением соответствующей математической модели - численного алгоритма решения задачи. Опыт показывает, что определяющими условиями успеха численного эксперимента являются удачно выбранные физическая и математическая модели явления или процесса, численный метод решения соот­ ветствующей математической задачи и способ реализации алгоритма на ЭВМ [92, 118, 119, 121, 205]. При этом наиболее подходящим является тот метод численного решения, который в определённом смысле адекватен рассматриваемому явлению или процессу.

Выбор и построение соответствующего оптимального для рассматриваемой задачи численного метода решения является одним из центральных моментов теоретического исследования. В обозримом будущем не столько мощности ЭВМ, сколько разработка рациональных моделей будет определять эффек­ тивность внедрения вычислительного эксперимента в различные области науки и техники и в область двигателестроения в частности [92].

В заключение остановимся на оценке точности получаемых результатов при численном моделировании. Оценка точности численного решения сформулированной дифференциальной (или интегральной) прикладной задачи должна производиться чисто математически без привлечения данных физического экспе­ римента. Последними можно пользоваться для качественных сравнений, количественное же сравнение расчёта с экспериментом должно давать информацию о том, насколько принятая физикоматематическая модель близка к реальным условиям.

На всех этапах исследования математическая теория, физический эксперимент и численный эксперимент на ЭВМ должны применяться совместно и согласовано. Всякое противопоставление здесь неуместно и бессмысленно. Только творческое объединение «сильных сторон» и методологий различных инструментов познания может привести к успеху при решении конкретных нестационарных и нелинейных прикладных задач, в том числе задач современного двигателестроения.

1.2. Обзор методов численного решения задач двигателестроения

Существует достаточно много численных подходов, которые применяются для решения (численного интегрирования) дифференциальных уравнений в частных производных. Отметим некоторые из них.

Метод характеристик. Этот метод является одним из наиболее старых. Он был предложен ещё в середине XVIII века российским академиком Л. Эйлером; термин «характеристика» был введён в том же XVIII веке французским учёным Г. Монжем. Численная реализация метода характеристик производилась на механических арифмометрах типа «Феликс», затем на

электромеханических вычислительных машинах типа «Мерседес» и «Рейнметалл». «Эпоха расцвета» метода характеристик приходится на 1950-е годы в связи с появлением ЭВМ первого поколения - ламповых электронных вычислительных машин типа «Стрела», БЭСМ-1 и др., хотя попытки реанимации этого старого подхода предпринимались и позднее (например, при разработке так называемого сеточно-характеристического метода). Метод характеристик применим только для решения уравнений гиперболического типа [51, 84, 175, 176, 212, 213, 233, 267, 316, 325, 327, 328]. Это один из традиционных методов решения задач гиперболического типа. Решение здесь ищется с помощью характеристической сетки, которая выстраивается в процессе счёта [175, 325]. Могут использоваться и такие схемы метода, в которых расчёт ведётся по слоям, ограниченным фиксированными линиями. Разрабатывались характеристические подходы и для решения пространственных задач [212,213,327].

Метод характеристик позволяет точно определить положение вторичных ударных волн внутри поля течения в местах пересечения (слипания) характеристик одного семейства. Однако в задачах со сложной волновой структурой появляются трудности при расчёте. Кроме того, в процессе вычислений может наблюдаться значительная деформация расчётной сетки. Поэтому методом характеристик целесообразно рассчитывать такие гиперболические задачи, в которых число контактных разрывов невелико (например, установившиеся сверхзвуковые задачи газовой динамики).

Метод интегральных соотношений. Был предложен академиком А.А. Дородницыным в 1953 году [77]. В этом методе [123, 124, 326, 328 и др.] область интегрирования разбивается на полосы с помощью кривых линий, форма которых определяется видом границ этой области. Система уравнений в частных производных, записанная в дивергентной форме, интегрируется поперёк полос, а затем подынтегральные функции представляются определёнными интерполяционными выражениями. Полученная в результате аппроксимирующая система обыкновенных диф­ ференциальных уравнений интегрируется численно. Основная трудность здесь состоит в разрешении краевой задачи для системы высокого порядка. Метод интегральных соотношений пред­ назначен для эллиптических уравнений.

Конечно-разностные методы. Так обобщённо называется достаточно широкий класс разностных схем. Это название в ряде случаев не совсем корректно, так как в принципе все численные методы, реализуемые на электронных цифровых (т.е. дискретных, а не аналоговых) вычислительных машинах, используют конечные разности (в том числе упомянутые выше метод характеристик и метод интегральных соотношений и т.п.). Конечно-разностные численные подходы используются для решения нелинейных уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов [13, 19, 20, 54, 88, 163, 164, 170, 205, 214, 216, 217, 265, 266, 268, 271, 276-279 и др.]. Область интегрирования здесь раз­ бивается на расчётные ячейки (узлы) с помощью некоторой (как правило прямоугольной) фиксированной сетки. Производные функции по всем направлениям заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений. Приёмы построения разностных уравнений - самые разнообразные. Используются как явные, так и неявные разностные схемы. Много внимания уделяется исследованию свойств разностных уравнений (точность аппроксимации, условия устойчивости, диссипативные эффекты схем и т.п.). Главное достоинство конечно-разностных методов - относительная простота численных алгоритмов.

В отличие от методов, в которых используется выделение разрывов и других особенностей, часть конечно-разностных методов, называемых методами сквозного счёта, даёт воз­ можность проводить сквозной счёт через ударные волны и другие особенности путём «размазывания» разрывов решений на несколько расчётных узлов [265, 364 и др.]. При этом они в целом позволяют с достаточной для практики точностью установить распределение параметров в расчётной области.

Наиболее простыми конечно-разностными методами, применявшимися ранее для решения в основном газодина­ мических задач, являются методы В. В. Русанова [20, 271] и Лакса [265, 354]. Применение их ограничено в связи с тем, что точность решения задач по алгоритмам этих методов зависит от правильного выбора числа Куранта. Кроме того, устойчивость численного решения обеспечивается введением искусственной вязкости, которая оказывает дополнительное негативное влияние на точность вычислений. Из методов, использующих искус­ ственную вязкость, можно также отметить методы Лакса - Вендроффа [265, 355] и Мак-Кормака [170, 214, 356]. Они нашли