книги / Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях

202 Глава 4. Моделирование акустической неустойчивости в РДТТ

Для поперечной прогонки (вдоль оси ОХ) преобразуем

^^ '0 - 0 ,5 ) - b r '?‘y

P:,.;40L5

После определения по (4.16-4.17) поля давления из первых двух уравнений системы (4.14) вычисляются компоненты скорости газового потока и" ,v, ^. И далее из уравнения сохранения полной

удельной энергии системы (4.12) определяется Е” . Напомним,

что в рассматриваемой неявной реализации эйлерова этапа метода крупных частиц параметры второй фазы не вычисляются.

Лагранжев этап. На данном этапе метода вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку. Здесь за время At находятся потоки массы, импульса и энергии через границы эйлеровых ячеек для каждой фазы гетерогенной смеси.

Потоковые формулы могут быть записаны различным образом [78, 92]. Выбор формы записи этих величин имеет важное значение, так как сильно влияет на устойчивость и точность расчёта. В данной версии лагранжева этапа будем определять потоки массы, импульса и энергии по следующим параме­ трическим формулам первого порядка точности [78]:

неявной реализации эйлерова этапа метода крупных частиц в (4.20-4.21) параметры u2,v2,E2 необходимо заменить на -

U 2,V2, E 2.

На лагранжевом этапе метода вычисляются также приходные комплексы и функции силового и теплового межфазного взаимодействия (4.5-4.9), входящие в правые части уравнений (4.1-4.3), с учётом изменения параметров потока на эйлеровом этапе.

Заключительный этап. Здесь происходит пере­ распределение массы, импульса и энергии по пространству и определяются окончательные поля эйлеровых параметров двухфазного гетерогенного потока на фиксированной сетке в

204 Глава 4. Моделирование акустической неустойчивости в РДТТ

момент времени r"+i = t" + At. Уравнения этого этапа пред­ ставляют собой законы сохранения массы, импульса и энергии, записанные с учётом промежуточных значений параметров потока и наличием приходных комплексов и функций межфазного взаимодействия, которые определены на эйлеровом и лагранжевом этапах метода.

Исходная система дифференциальных уравнений (4.1-4.3) примет следующий вид:

-уравнения неразрывности (сохранения массы)

^± + div(p2W2)=Gp,;

-уравнения сохранения импульса по осям координат

+div(ptil,W, )= -т, +wx-а ,.;

+div(p:s2W2)= т ,+ W, -G,,,;

+div(p272V/2)= Tr + lVr ■G „ ;

-уравнения сохранения удельной энергии

““ + div(p2J 2V/2)=q + J r„- Gp,„;

+ '^ Р ф ) + div(pj} ^ )+ dlv( W 2)= (4.24)

' Ggw+ Jpw*Gpw,

где для осесимметричного случая -

ox r or

Ф = ( р „ р ,н „ р ,у , , р 2/ г ,Р ,Ё ,)

i = (1,2)

Аппроксимируя уравнения (4.22-4.24) на новом временном слое tn+l = tn + At и разрешая их относительно искомых величин

206 Глава 4. Моделирование акустической неустойчивости в РДТТ

При неявной реализации эйлерова этапа метода крупных частиц в соотношениях (4.22-4.24) и (4.25-27) параметры t" временного слоя u2,v2,E2 необходимо заменить на - u2,v2,E2.

Алгоритмически сначала вычисляются параметры второй фазы - фазы частиц, а затем параметры первой - газовой фазы. Далее посредством пересчёта по уравнению состояния (4.4) вычисляется давление продуктов сгорания.

Для повышения точности вычислений в схему метода при расчёте давления, согласно [92], вводится поправка, допол­ нительно обеспечивающая (уточняющая) баланс по внутренней удельной энергии газовой фазы. Таким образом для газовой фазы гетерогенной смеси выполняется условие полной консер­ вативности конечно-разностной схемы метода. Выражение для вычисления давления примет следующий вид:

На этом, выполнением третьего (заключительного) этапа, заканчивается вычислительный цикл метода крупных частиц.

2. Постановка граничных и начальных условий. При численном моделировании колебательного процесса (низко­ частотной акустической неустойчивости) в ракетном двигателе на твёрдом топливе необходимо предусмотреть, чтобы генерируемые потоком продуктов сгорания возмущения оставались в расчётной области (камере сгорания) и не уходили из неё через открытые границы. По этой причине при постановке граничных условий стенки камеры сгорания двигателя, поверхность горения твёрдотопливного заряда и стенки сопла должны рассматриваться как непроницаемые для возмущений границы.

На нерегулярной криволинейной границе ВС (поверхности горения заряда твёрдого топлива, см. рис.4.2) ставятся условия непротекания как для газовой фазы, так и для фазы частиц гетерогенной смеси. Параметры течения в фиктивном слое ячеек «а» (рис.4.3) с учётом расщепления (параметры ф) здесь

определяются по следующим зависимостям:

На регулярной границе DE (выходном сечении сопла, где реализуется околозвуковая или сверхзвуковая скорость потока, см. рис.4.2) и в прилегающем слое фиктивных ячеек «а» (рис.4.3)

210 Глава 4. Моделирование акустической неустойчивости в РЛТТ

параметры течения с учётом расщепления (параметры ф) определяются путём экстраполяции вниз по потоку.

На регулярных границах EF (ось симметрии двигателя), FG и GH (корпус воспламенительного устройства) и АН (переднее днище двигателя) (см. рис.4.2) выставляются условия непротекания для газовой фазы и условия протекания для фазы частиц гетерогенной смеси. Параметры течения в фиктивном слое ячеек «а» (рис.4.3) с учётом расщепления (параметры ф) определяются здесь по известным зависимостям.

При неявной реализации эйлерова этапа метода крупных частиц в соотношениях (4.29-4.30) параметры u2,v2,E2 не определяются.

Приход с поверхности горения заряда твёрдого топлива (граница ВС, см. рис.4.2) осуществляется путём «впрыска» в расчётные ячейки типа «с» (рис.4.3), геометрически располо­ женные на поверхности горения заряда, продуктов сгорания с заданными параметрами. Параметры «впрыска» определяются по известным параметрам торможения двигателя.

Начальные условия для расчёта процесса течения в ракетном двигателе на твёрдом топливе выставлялись поэтапно по следующей схеме. Вначале по газодинамическим функциям определялись параметры квазидвухмерного однофазного равно­ весного течения в камере и сопле двигателя с «эффективным» показателем адиабаты ке, определённым с учётом наличия твёрдой фазы в потоке продуктов сгорания. Затем выполнялся расчёт осесимметричного однофазного равновесного течения в двигателе. И, наконец, на базе последнего осуществлялся расчёт осесимметричного двухфазного неравновесного течения в камере сгорания и сопле ракетного двигателя.

3. Устойчивость конечно-разностной схемы метода крупных частиц. Приведённые выше разностные схемы метода крупных частиц являются многослойными, а разносные уравнения (4.11, 4.16, 4.17, 4.25-4.30) - существенно нелинейными с пере­ менными коэффициентами. Для анализа таких схем обычно используется эвристический подход, основанный на рассмотрении параболической формы их дифференциальных приближений [80, 88, 333]. В этом подходе оценивается знак коэффициентов

приближения, содержащих частные производные второго порядка по пространственным переменным. Эти коэффициенты обычно группируются в виде матрицы - т.н. матрицы аппроксимационной вязкости. Положительность детерминанта матрицы аппрок­ симационной вязкости (часто рассматриваются след матрицы или диагональные элементы матрицы) - условие устойчивости исследуемой конечно-разностной схемы.

Для рассматриваемой задачи о нестационарном пуль­ сирующем течении в ракетном двигателе на твёрдом топливе наиболее критичные с точки зрения устойчивости вычисления являются зоны торможения потока в районе переднего и заднего днищ (рис.4.1). Здесь в ряде расчётов при малой амплитуде колебаний давления в камере сгорания наблюдаются обширные районы течения со скоростями потока М < 0,05. При таких

режимах течения целесообразно применение неявной конечно­ разностной схемы на эйлеровом этапе метода крупных частиц [75, 78,205].

Выпишем, согласно [75, 205], для близкого одномерного однофазного аналога используемой выше неявной разностной схемы метода (4.16, 4.17, 4.25-4.30) (при параметре beta = 0, см. выражения (4.18, 4.19)) диагональные элементы матрицы аппроксимационной вязкости. Будем считать, что поток течёт слева направо. Для противоположного направления потока