книги / Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях
..pdf52 |
|
Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрела |
|||||
|
|
Ат-у- t AT -Y,-(CO- Q |
|
||||
А = ___________Ау2 |
|
2 - Ау,_____________; |
|||||
|
2 • Ах • у? |
, |
Ах • у? Ах • у, • (ш - |
£) |
|||
|
1 + -------^ — |
Аы • |
------^ ---------- ---------- — |
||||
|
|
Ау,2 |
|
Ду,2 |
2-Ау, |
|
|
Г/ + Дх-д, - Т " + |
• |
Ах-у2 |
Ах-у,*(а>-£) |
||||
|
2 ’ Ау, |
||||||
|
|
|
|
_ |
Ау,2 |
||
|
1+ 2-Лт-у? _ |
Д-1 |
Ах-у2 |
Ах •у, •(ш— £) |
|||
|
1 + |
А 2 |
Ду2 |
2 -Д * |
|
||
|
|
А* |
|
|
|||
Для |
нахождения значений |
Д |
и В, |
при i = l,M |
|||
воспользуемся граничными условиями. |
|
|
|||||
При |
i=M (у, = l) - Т'*х=Т0. Из (2.18) имеем: |
||||||
|
|
Aw =0; |
Вм =Г0. |
|
(2.19) |
||
При |
i=l |
(у,= 0) |
будем использовать второе граничное |
||||
условие. Из (2.15) имеем: |
|
|
|
|
|
||
a r, |
. |
(2'20) |
х>х*, — |
= --(а 5 d>Ts +а6 ш - а 7 - q j |
|
ЧУ1 |
|
|
Для (2.20) необходима аппроксимация первой производной |
||
ЭГ*/Эу, разностным |
соотношением. Для увеличения |
точности |
аппроксимации при наличие существенно нелинейного источника
T (rt ), максимальное значение которого достигается |
на |
границе |
||
( у, = 0), воспользуемся следующей |
процедурой. |
Разложим |
||
функцию Г*(у,,х) в ряд Тейлора |
в окрестности точки |
(0,т) с |
||
точностью до |
|
|
|
|
Г ,0 ’1.т )= Г ,( О ,т ) + ^ - Л + ^ - . ^ . + о ( у ? ) |
|
|
||
Эу, |
|
Эу, 2 |
|
|
Положим у, = Ду,, х = х + Ах. Тогда: |
|
|
||
ТГ' = т /“ + у * -Д у , |
Эу, |
2 |
|
(2.21) |
Эу, |
|
|
||
2.1. ФММ зажигания и горения порохового заряда |
53 |
Выразим из (2.15) д2Тк/ду2, подставим в (2.21) и, разрешая (2.21) относительно первой производной, получим:
|
|
j+1 |
Т1» |
|
( |
q n i+ \ |
___ r p j |
|
|
Л 2 |
ДУГ |
*1 |
М |
■ar X J |
|||
|
|
1 \ |
2-S2 |
Ат |
||||
|
|
|
|
(2.22) |
||||
Ъг |
|
|
|
|
Ay,2-((0 - Q |
|||
|
|
|
АУ, |
|
||||
|
|
|
|
|
2-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Yi = %• |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (2.22) в (2.20) для случая |
т < т, (порох ешё не |
|||||||
горит со= 0 ), имеем: |
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
Г/+1 = Л ,Т 2у+,+В„ |
(2.23) |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
А =' |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
■+ -гг- • f Ау, + ау;2 V |
||||||
|
1+ |
А*2 |
||||||
|
|
2 - ^ - А т |
I |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Л |
__ _______ ( г ' |
+ Дх • а |
■Ч " )+ Я< |
• ДУ, + Л*' |
|||||
2 - 5 г -Дт |
V ' |
|
' |
|
|
\ |
|
|
А = |
|
|
Ау,2 |
|
Ау, + Ау,2 \ |
|||
|
|
1+ |
£ |
|||||
|
|
2 •£2 • Ат |
|
|
|
|||
Подставляя (2.22) в (2.20) для случая |
т > т ,, имеем: |
|||||||
|
|
|
Г/+1 =Ar T2JH+Bit |
(2.24) |
||||
где |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
А = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
Ау,2 |
я5 - со |
Ду, |
Ау2-((0 -р |
||||
|
1+^ 1 Г ^ + — |
|
|
2-$ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д = |
|
|
|
|
|
|
|
2-4 |
1+ |
Ау,2 |
д, -со |
|
Ау,2-(о )-0 |
||||
|
АУ, |
|||||||
|
|
|
£ |
|
|
2-4 |
||
|
2 • £2 • Ат |
|
|
|
||||
3. Уравнение химической кинетики системы (2.15) будем аппроксимировать по следующей конечно-разностной схеме.
54 Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрела
До воспламенения, то есть для |
т < т , при |
со=0, |
|||||||
уравнение имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
^ = |
|
'(Тк) |
|
|
|
(2.25) |
|
|
|
ОТ |
|
|
|
|
|
|
Для аппроксимации (2.25) воспользуемся схемой Эйлера: |
|
||||||||
|
РГ -Р/ |
а, • ¥ /; |
|
|
|
|
|
||
|
|
Дт |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда, с учётом граничных условий, |
|
|
|
|
|||||
|
|
РГ =Р/ +Ат■л3■'¥/; |
|
|
(2.26) |
||||
|
|
|
р;;‘=о. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
После воспламенения, |
то |
есть |
для |
т > т , , |
уравнение |
||||
химической кинетики |
|
эр |
|
|
|
|
|
||
|
|
эр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эт |
Г |
Эу, |
|
|
|
|
|
аппроксимируем по четырёхточечной схеме вида: |
|
|
|||||||
te + рг )- (fc,+р/) |
|
(р/:,1- рг )+к , - р/) , |
.т ,. |
||||||
2 - Дт |
|
|
У |
|
|
2-Ду, |
|
|
3 |
|
|
|
1 < / < М - 1 . |
|
|
|
|
||
Разрешив |
|
последнее |
равенство относительно |
Р/+1 |
|||||
получим: |
|
р/*'=а р |
|
|
|
|
(2.27) |
||
где |
|
|
|
|
|
||||
|
|
уI - со* Дт |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Л?! |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
А, |
у, |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
• со • Дт |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Лу, |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у, • СО• Дт |
|
|
|
|
|
||
В,=Р/< |
Ау, |
|
р/ + 2 • Дт • а3 • W/ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/+1 |
у, - со-Дт |
|
у, • со• Дт |
|
|
|||
|
|
Ау, |
+ 1 |
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ау, |
|
|
|||
Скорость |
горения |
пороха |
со |
определяется |
из |
(2.27) с |
|||
учётом граничных условий |
|
|
|
|
|
|
|||
2.2. ФММ газовой динамики в каморе и стволе орудия |
55 |
РГ'=Р / =Р.;
Pi*‘=Pi=o
итерационным способом с помощью метода секущих [173].
4. Выбор шага интегрирования. Используемые конечно разностные схемы метода относятся к классу абсолютно устойчивых схем (исключение составляет явная схема Эйлера - уравнение химической кинетики при т < т , ). Поэтому выбор шагов интегрирования по пространственной координате и времени здесь связан, в первую очередь, с точностью получаемого результата. Удовлетворительная точность расчёта достигается при М=40 (М - число расчётных точек) и £ = 1,65 (коэффициент преобразования пространства).
В заключение раздела отметим, что сформулированная выше физико-математическая модель зажигания и горения заряда твёрдого топлива (пороха) является активным граничным условием для газодинамической задачи.
2.2. Физико-математическая модель газовой динамики в каморе и стволе орудия
2.2.1. Физическая модель
Физическую модель для описания газодинамических процессов, протекающих в каморе и стволе артиллерийского орудия при выстреле, будем излагать по одному из вариантов принципиальной компоновочной схемы артиллерийского выстре ла, представленной на рис.2.1.
При зажигании пиропатроном навески воспламенителя (п.1), расположенной у дна камеры сгорания (камора + ствол - п.2), продукты сгорания воспламенительного состава (газ и твёрдые частицы) поступают в свободный объём камеры и постепенно прогревают нижний полузаряд (набор цилиндрических пороховых трубок - п.З), находящийся в сгораемой гильзе (полый цилиндр - п.4).
2.2. ФММ газовой динамики в каморе и стволе орудия |
57 |
зажигает её и, далее, они совместно прогревают и постепенно воспламеняют последующие сечения верхнего полузаряда, дополнительного заряда и. верхней сгораемой гильзы. В это время за счёт перепада давления начинают своё движение снаряд (п.9) и дополнительный заряд, который жестко закреплён на снаряде (конструктивное ограничение). Продолжая распространяться по камере сгорания, смесь продуктов сгорания зажигает навеску воспламенителя, расположенную у дна снаряда (п.10), и они совместно полностью зажигают верхний полузаряд, допол нительный заряд и верхнюю сгораемую гильзу.
Несгоревшие твёрдые частицы металла (продукты сгорания нижнего и верхнего полузарядов) при движении по камере догорают, превращаясь в супермелкодисперсный окисел, который находится в тепловом и динамическом равновесии с газом.
Снаряд и дополнительный заряд интенсивно набирают скорость движения и отходят от верхнего полузаряда. Верхний полузаряд начинает своё движение и движется вслед снаряда как единый пакет трубок, но с меньшей скоростью. Верхняя сгораемая гильза в силу своего конструктивного исполнения горит, но в движении не участвует. Нижний полузаряд движется вслед верхнего полузаряда, но с ещё меньшей скоростью. Совместное движение элементов заряда рассматривается до вылета снаряда из ствола орудия.
В процессе движения будем учитывать обмен массой, импульсом и энергией участников движения - газовой смеси продуктов сгорания, несгоревших частей полузарядов, сгораемых гильз и дополнительного заряда, несгоревших твёрдых частиц металла, камеры сгорания и снаряда.
2.2.2. Математическая модель
Для описания газовой динамики в каморе и стволе артиллерийского орудия будем использовать разработанные Х.А. Рахматулиным и Р.И. Нигматулиным подходы механики сплошных многофазных сред [188,230, 231, 261-263].
Гомогенную смесь воздуха, продуктов сгорания инициа тора (пиропатрона) и воспламенителей (газ + твёрдые частицы), газообразных продуктов сгорания нижнего полузаряда и нижней
58 |
Глава 2. Моделирование артиллерийского выстрела |
сгораемой гильзы, верхнего полузаряда и верхней сгораемой гильзы, а также дополнительного заряда назовём первой фазой. Несгоревшую часть нижнего и верхнего полузарядов и воспламенителей - второй фазой. Несгоревшую часть нижней и верхней сгораемых гильз - третьей фазой. Несгоревшую часть дополнительного заряда - четвёртой фазой. Несгоревшие твёрдые частицы металла в продуктах сгорания полузаряда - пятой фазой.
Первую, вторую, третью, четвёртую и пятую фазы будем считать гетерогенной смесью со своими температурами и скоростями движения. В такой системе каждая фаза занимает часть объёма смеси: а , , а , , а 3, а 4, а 5 . Движение их рас сматривается как движение взаимопроникающих и взаимо действующих сред.
Кроме того, для моделируемой задачи примем следующие допущения: - движение фаз рассматривается в квазидвухмерной постановке (с учётом изменения площади поперечного сечения каморы и ствола орудия); - каждый полузаряд с навесками воспламенителя перемещается единым пакетом и имеет свою скорость движения; - сгораемые гильзы в движении не участвуют; - дополнительный заряд перемещается совместно со снарядом и имеет его скорость движения; - не учитываются агломерация и дробление твёрдой металлизированной фазы; - попадая в газовый поток, частица металла мгновенно зажигается; - процесс сжигания частиц металла идет до образования супермелкодисперсного окисла, находящегося в тепловом и динамическом равновесии с газом.
С учётом перечисленных выше допущений система уравнений для многокомпонентного многофазного гомогенно - гетерогенного реагирующего потока в каморе и стволе артиллерийского орудия запишется в виде (размерный и безразмерный вид системы уравнений совпадают):
уравнения неразрывности (сохранения массы)
Pi -Р * + Р р»'
7 2. ФММ газовой динамики в каморе и стволе орудия |
|
|
|
59 |
||||||||||||||
Э ( ^ р ) + |
|
|
|
|
, G <I + ч>„- а |
, + < Р ,-с ^ + Ф , |
G ,+ Ф „-G,,: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
<p = (a,p,X,cc); |
|
|
|
|
|
|
||||||
i M |
|
+ t e ) - ¥ - .0 , + ¥ . . c > + ¥ . . e , r + ¥ , . c . + |
||||||||||||||||
V/, |
• G„ + \j/rf |
• Gd - |
|
|
• (G0s + G0w + G0s + G0/I |
|
+ G0c) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¥ = ( ^ ^ } |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a (P2^) |
|
^(p2V)_ |
|
|
|
|
|
|
r . |
(2.28) |
||||||
|
|
|
Э/ |
+ M, — |
|
------- -G e - |
G„, + G0e + G0w, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Э(р,У) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Э/ |
~ |
G |
s |
+ |
G 0s >' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
9 ( P .V ) ,„ Э(р4У )_ |
~G* |
G“ ' |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
эГ" |
|
‘ ""a* |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Э(р,У) |
|
8(p,V«s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
~ д Г +~ |
х— |
|
G” ~ Gj’ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
8(P 5V D J |
Э(р5г а ,%) |
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
----- ----- + ------ -------- |
= U„ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
'pnQ •<G p w ~ D |
p |
G |
|
d > |
|
|||||||||
|
|
|
at |
|
|
|
ox |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения сохранения импульса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Э(р,Ум,) |
|
Э(ру щ щ ) |
|
, |
|
Эр |
- т , |
- |
т„ - |
х, - |
|
_ |
|
|||||
---- ^ |
|
|
; -------+ ОС, • V • —- - |
тЛ |
|
тс |
|
|||||||||||
d t |
|
|
ох |
|
|
|
|
ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 5 ' G d |
М4 * |
U2 ' (р » |
G g» ) ~ |
|
|
|
|
||||||||
/■ |
|
|
ui ‘ (С09 + С?0и, + G0s + G0h + G0c),' |
|
|
|
(2.29) |
|||||||||||
|
- ^ - = [a 2V > l - [ a 2V p l+ J |
|
d(a2y) |
|
|
|
ix; |
|||||||||||
j p 2Vdx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
J |
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||
^ 0 |
dt |
|
|
|
|
|
|
OL |
|
|
|
|
|
|
||||
Э(р5Ум5) [ |
Э(р5Уи5и5) |
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dt |
|
|
dx |
+ CC<• V • — = T„ + «2 *G/m- “ И5 • Gd> |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
s ' r ' ^ |
|
/ |
p |
|
|
|
|
|
|
|||||
уравнения сохранения внутренней удельной энергии |
|
|||||||||||||||||
Э(р,К/,) |
+и2 • |
Э(р,К/,) |
|
L |
|
|
^ |
^ |
|
г |
|
(г J. г |
\ |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
= q kt + Яы + Яы +^ - Л • |
|
+ G*Л |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ^ |
|
|
= <7*,+ ?» -•/з-G,; |
|
|
|
|
(2.30) |
|||||
dt
6 0 |
Глава 2. Моделирование артиллерийского выгп^г^ |
|||
М |
+ , . э(р ^ ) = - + |
, с . |
||
Э/ |
^ |
дх |
“kh^ "ih |
J4 |
Э(р5У75) | |
Э(р5УУаид) _ |
JpW'GPW- J$ 'G<n |
||
dt |
|
дх |
||
|
" ри' ,ж |
|
||
уравнение сохранения полной удельной энергии смеси
3(p,yg,) | Э(р;УЕ;) t Э(рзу/з) ( Э(р4УЕ4) t Э(р,УЕ,) :
Э/ |
Э/ |
|
Э/ |
|
Э/ |
Э/ |
|
Э(р,УЕ,«,) , |
Э(р,те2) , |
Э(р4УЕ4) , Э(р,УЕ,И,) . |
|||||
Эл: |
2 |
Эл |
|
|
Эл: |
Эл |
(2.31) |
Э(а,УРи,) |
|
Э(а;УР) |
Э(а4УР) Э(а,УРи5) |
||||
|
|
||||||
Эл |
- |
Эл |
|
|
Эл |
Эл |
~ |
Л • С1 + (л - Л )■ G, + J^ |
|
- J, ■G , + |
|
||||
C^J ~ Л >G, |
(Л ~ *Л)’(*/! + (jd“ Js)-Gd~<74с ~~(lic~Qio> |
||||||
уравнение состояния гомогенной смеси газов |
|
|
|||||
p = (k -i)-p; |
( |
2 \ |
1 |
|
|
||
е'1- й |
|
|
(2.32) |
||||
|
|
|
|||||
уравнение движения снаряда с дополнительным зарядом |
|||||||
|
+ Щ, |
= ]pdSрпр• Sc; |
|
(2.33) |
|||
|
|
|
Jo |
|
|
|
|
дополнительные соотношения |
|
|
|
|
|||
|
|
м3 =0; и4=исн.; |
|
|
|||
а, + а 2 + а3 + а4 + а5 = 1; |
р, = а,- • р"; |
|
|||||
|
|
i = (l,23,4,5> |
|
|
(2.34) |
||
V = V ( x , t } |
S j = S j ( x ,t ) ; |
j = ( e ,w ,s ,h ,c ,p ) : |
|
||||
Е * = Л + ^ ; |
П = — ; |
* = (2,3,4,5) |
|
||||
Расходно-приходные комплексы и функции межфазного взаимодействия, входящие в правые части уравнений (2.28-2.31), являются разрывными функциями пространственной координаты и времени. Точки разрыва функций по координате определяются начальным расположением инициатора (пиропатрона), воспламе нителей, полузарядов, сгораемых гильз, дополнительного заряда и снаряда, а также закономерностями их последующего движения.
2.2. ФММ газовой динамики в каморе и стволе орудия |
61 |
Разрывность функций по времени связывается с моментом воспламенения или погасания соответствующей точки соот ветствующего элемента заряда артиллерийского выстрела.
Правые части уравнений (2.28-2.31) имеют следующий вид. Приход продуктов сгорания с поверхности горения инициатора, воспламенителя и полузаряда:
|
G,, = w |
, -Р]: |
|
G „ = ( l - v ) - G , ; |
G „ = v G „ - |
(2.35) |
|
|
i = (&,«, и")- |
j = (k,2) |
|
Приход продуктов сгорания с поверхности горения |
|||
сгораемой гильзы, |
дополнительного заряда и |
частиц |
|
металлизированной фазы: |
|
|
|
G,=sr v(i • р '; |
i = (s,h,p}• |
(2.36) |
|
|
у = (З А 5 > |
l = (s,h,d) |
|
|
|
||
Скорость горения vt инициатора и воспламенителя
(i=k,e) определяется по известным экспериментальным зависимостям:
V * = v p \ |
(2.37) |
Скорость горения полузаряда, сгораемой гильзы и дополнительного заряда (i-w,s,h) вычисляется по (2.1-2.12). Скорость горения металлизированной фазы (i=p) определяется по уравнению выгорания [259]:
dDp _ |
1 |
а 0-9 |
|
dt |
670 • b (юб • Dp |
’ |
|
Ь = 2, |
р<2,5Мпа |
(2.38) |
|
Ь = 1,5, |
р)2,5Мпа. |
|
|
Массовая скорость осаждения накалённых частиц из продуктов сгорания инициатора, воспламенителя и метал лизированной фазы на поверхность элементов заряда (до момента зажигания) и камеры сгорания:
I
Got =*,• -ся |
8*' |
(2.39) |
|
i = (e,w,s,h,c); ; = (2,5Дс)
где