книги / Численное моделирование нестационарных переходных процессов в активных и реактивных двигателях
..pdf
4.1. ФММ процесса течения в двигателе |
193 |
воспламенительного состава (газ + твёрдые частицы) распрост раняются по свободному объёму камеры сгорания (п.2) и постепенно зажигают поверхность горения заряда твёрдого топлива (п.З). Давление в камере сгорания (п.2) постепенно поднимается. При достижении определённого уровня давления вскрывается заглушка, предварительно размещённая в сопловом блоке двигателя (п.4), и продукты сгорания заряда твёрдого топлива (газ + твёрдые частицы) начинают истекать из сопла.
После полного зажигания поверхности горения заряда (п.З) и завершения переходных (волновых) процессов в камере сгорания (п.2), связанных с воспламенительным периодом, ракетный двигатель на твёрдом топливе выходит на расчётный (маршевый) режим работы. Расчётный режим работы двигателя харак теризуется относительной стабилизацией уровня давления в камере сгорания.
При достижении определённого момента времени (по мере выгорания твёрдотопливного заряда и, следовательно, изменения геометрии камеры сгорания) расчётный режим работы двигателя нарушается. Давление в камере сгорания начинает пульсировать - формируется устойчивый низкочастотный периодически повто ряющийся колебательный процесс, возникают автоколебания.
4.1.2. Математическая модель
Механике многофазных сред посвящён ряд монографий [24, 92, 101, 230, 231, 256, 261-263, 296, 306, 318, 338 и др.]. В настоящей работе для математического описания процесса течения в камере сгорания и сопле ракетного двигателя на твёрдом топливе будем использовать подходы механики сплошных многофазных сред, разработанные Х.А. Рахматулиным и Р.И. Нигматулиным [230, 231, 261-263].
Газообразные продукты сгорания твёрдого топлива назовём первой фазой. Твёрдые сгоревшие частицы (окисел алюминия) - второй фазой. Первую и вторую фазы будем считать гетерогенной смесью со своими температурами и скоростями движения. В такой системе каждая фаза занимает часть объёма смеси: a ,( l - a ) . Движение их рассматривается как движение взаимопроникающих и взаимодействующих сред.
194______Глава 4. Моделирование акустической неустойчивости в РДТТ
Дополнительно для моделируемой задачи примем следующие допущения: - с пространственной точки зрения будем изучать процесс течения в двухмерной осесимметричной постановке; - будем рассматривать газообразные продукты сгорания как идеальный полностью прореагировавший газ; - дожигание металлизированной твёрдой фазы (частиц алюминия) в камере сгорания двигателя не учитывается; - не учитываются также агломерация и дробление сгоревшей твёрдой фазы (окисел алюминия) в процессе движения по камере сгорания и соплу.
С учётом перечисленных выше допущений система уравнений гетерогенного потока в камере сгорания и сопле реактивного (рагетного) двигателя на твёрдом топливе запишется в виде:
уравнения неразрывности (сохранения массы)
(4Л)
Эр.
уравнения сохранения импульса по осям координат
(4.2)
уравнения сохранения удельном 1мергии
Ж ! + |
+ Л у (р Л w )+ d/v(p,£2W ,)+ |
(4.3) |
ot at
div{apWi)+ div[(1 - a)p\V2]=Jgw■Ggw+ Jpw• Gpw,
где для осесимметричного случая -
Э х |
г |
d r |
4.1. ФММ проиесса течения в двигателе |
195 |
Вид системы (4.1- 4.3) одинаков как для размерных, так и для безразмерных величин. В дальнейшем пользоваться будем последними, взяв в качестве характерных параметров, например, параметры торможения для данного двигателя. Плотность р,
отнесём к р ,; скорость (в проекциях по координатным осям)
ui,vi - |
к скорости звука при параметрах торможения |
а,; давление |
|
р |
- к |
р ,- а 2; удельную энергию Зг,Е. - к я2; линейные |
|
величины - к характерному размеру камеры сгорания |
L ; время t |
||
к |
L |
|
|
Для замыкания системы дифференциальных уравнений (4.1-4.3) будем использовать уравнение состояния в виде
(4.4)
у
Правые части уравнений (4.1-4.3) имеют следующий вид. Приход продуктов сгорания с поверхности горения заряда твёрдого топлива:
(4.5)
где скорость горения твёрдого топлива - vk определяется по известной экспериментальной зависимости
Скорость (в проекциях на координатные оси) поступления продуктов сгорания (газ + твёрдые частицы) с поверхности горения заряда твёрдого топлива в камеру двигателя определяется по зависимостям:
(4.6)
196 Глава 4. Моделирование акустической неустойчивости в РЛТТ
где у - угол между касательной к поверхности горения и
положительным направлением оси ОХ.
Теплотворная способность продуктов сгорания (газ +
твёрдые частицы) твёрдого топлива определяется как: |
|
|||
( |
Т. |
1 |
|
|
|
|
|||
Ср~~к |
jfc-1 |
(4.7) |
||
|
||||
Jpw=c2 Т,.
Выражение для функции силового межфазного взаимодействия, обусловленной только поверхностным трением, определяется по:
тх = n-n-d2p -р? -с, -|и, —М2| - (и,
j (4.8)
тг = n - n - d p2 -р; • с т -|v, -V2|-(v, -v 2)--.
Коэффициент сопротивления в (4.8), например сх, вычисляется
как:
24 |
4 |
Re< 700; |
с, = — + |
|
|
Re Re0-33’ |
|
|
сх = 4,3-(lgRe)'2, |
Re >700; |
|
Vi
Выражения для cx и cr аналогичны по структуре записи.
Выражение для функции теплового межфазного
взаимодействия, обусловленной вынужденной |
конвекцией, |
определяется по: |
|
q = n-n'dp-\-Nu-{T{ -Т2), |
(4.9) |
где |
|
Nu = 2 + 0,6 -Re0S-Pr0333; |
|
Re _ Рr\W i-W 2\.dp |
|
Pi |
|
Pr _ CP -9I |
|
К
4.1. ФММ процесса течения в двигателе |
197 |
4.1.3. Метод крупных частиц для расчёта низкочастотного пульсирующего течения
Систему уравнений (4.1-4.3) будем интегрировать численно с помощью метода крупных частиц [81,92,343 и др.].
1. В рамках рассматриваемой задачи, следуя [81], рассмотрим все этапы вычислительного цикла метода в отдельности. Область интегрирования ABCDEFGH рис. 4.2 (см.
также рис. 4.1) покрывается фиксированной в пространстве (эйлеровой) равномерной ортогональной расчётной сеткой с ячейками АххАг. Значения целых чисел « i » (вдоль оси ОХ) и « j» (вдоль оси OR) обозначают центр ячейки.
Рис.4.2. Область интегрирования.
Эйлеров этап. На этом этапе расчёта изменяются величины, относящиеся к ячейке в целом, а исследуемая среда (гетерогенная смесь газа и твёрдых частиц) предполагается заторможенной. Поэтому конвективные члены вида *#v(jp.<pWf), где ф = (l, u.t,v(.,У,,Ej), / = (l,2), соответствующие эффектам пере
мещения, в системе (4.1-4.3) отбрасываются. Кроме того, приходные комплексы и функции силового и теплового межфазного взаимодействия, входящие в правые части уравнений, зануляются. Уравнения неразрывности (4.1), в частности, упрощаются до тривиальных. Поэтому в оставшихся уравнениях системы р, можно вынести из-под знака дифференциала и разрешить (4.1-4.3) относительно временных производных от
Тогда имеем:
198 Глава 4. Моделирование акустической неустойчивости в РДТТ
d ll.
|
|
P ' - 1 |
T |
и |
х |
* |
/ |
= |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
OX |
|
|
|
|||
|
|
|
Ov, |
|
|
|
|
d p |
|
Л |
|
|
|
Р ' ' Э |
1 |
и |
х |
* |
|
= |
0 ; |
|
|
|
|
Н |
|
o r |
|
|
|
||||
|
|
|
Эм, |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
П |
- |
2 4 - 1 |
1 - « ) • £ - |
|
||||||
|
P: |
dr |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Pj |
d r +(1 |
|
|
|
|
(4.10) |
||||
|
M;? |
+ v;*) |
|
||||||||
|
|
£ „ = Л |
|
|
|
||||||
|
|
+ —---- |
|
|
|
||||||
р, • -г 1-+ р, • -г-2-+ div(ap\Vl)+ <#v[(l - a)/?W, ]=0. |
|||||||||||
at |
‘ |
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
t" уравнения |
Аппроксимируем |
на |
момент |
|
времени |
|||||||
системы (4.10) явной параметрической конечно-разностной схемой, предложенной в работе [78]. Разрешая (4.10) относительно искомых величин, получим следующие разностные уравнения первого порядка точности по времени и второго порядка точности
по пространству для ячейки (крупной частицы) |
« i,j |
»: |
|||||||||||
и, |
|
|
|
п " |
— |
п |
" |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
Pl+OSJ |
|
Pi-0.5,j |
Ы |
|
|
|
||||
—и. —CL..'--------------------------; |
|
|
|||||||||||
|
|
i,, |
|
'.J |
fa |
|
|
|
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J'/ |
|
|
|
~n |
_ |
v « |
- |
(X? . Pi-J+0-5 |
~ Pi.j-0.5 |
A t _ |
|
||||||
l ‘ |
i |
l I.J |
|
'- J |
A |
- |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ar |
|
|
1.IJ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
и," =и" |
- |
(l - |
a ”. |
P.i+.05J |
fa |
Pi-°-5-j .A |
n |
L . |
|||||
-<.J |
|
|
\ |
'-j> |
|
|
|
|
|
|
• |
||
ii JfOS |
1 "V-*4, |
- a " \ |
Pi.j+0.5 |
Pi.j-0.5 |
||
|
|
|
w i |
|
Ar |
|
|
|
|
|
|
||
|
E* |
—J2 |
и,2 |
+ v,2 |
||
|
+ |
2 |
2‘ J ; |
|||
|
|
|
2i.i’ |
|
|
|
F" |
= F" |
—(pn _ |
c« |
) ^2'./ |
||
*'.y |
-4 , |
1 4 ; |
£ 2|, |
— |
||
p
Ar
p i
(4.11)
4.1. ФММ проиесса течения в двигателе |
|
|
199 |
|||||
a |
i+0.5.j |
' Pi+0.5.j |
ai-O.SJ ‘ Pi-0.5.j ‘ |
/ At |
|
|
||
|
|
|
Ax |
|
|
p" |
|
|
j |
' a .:,.oi ~P I J M S ' \ |
~ 0 |
~ *)' а мo.)- ' film ; ' |
|
Д/ |
|||
|
|
|
( j - 0 |
$ ) - A r |
|
p;^ |
|
|
|
~ |
P)'u c s .j |
' u 2 l,et l |
~ |
~ |
Pt)'-as.y * |
, |
Д/ |
|
|
|
|
д* |
|
|
'к 7 ~ |
|
|
|
|
|
C/-as)-Ar |
|
|
' P: |
|
В(4.11) приняты следующие обозначения:
л, „я
|
„ |
_ Av + A>i.y. |
М WIJI. |
||
|
А '/ + 0 . 5 , j |
“ |
^ |
’ |
|
|
м,” = (l - |
alfa)'ii"t + д//а • и£ ; |
|||
|
v,"y= (l - *$0* v"y+ «//a • v,;‘, |
||||
где alfa |
- сеточный параметр, значение которого изменялось в |
||||
пределах |
alfa = (0...10) |
|
|
|
|
В ряде случаев для повышения устойчивости вычислений эйлерова этапа метода крупных частиц (особенно в расчётных зонах с малыми скоростями движения потока и большой скоростью звука ~ М <ОД) целесообразно использовать неявные конечно-разностные схемы [75,78].
Для упрощения обычно достаточно громоздкой реализации неявной разностной схемы несколько видоизменим исходную систему дифференциальных уравнений (4.1-4.3). Исключим из неё члены, содержащие выражение (l—ос). Это касается уравнений сохранения импульса для второй фазы и уравнения сохранения полной удельной энергии гетерогенной смеси. Такое исключение правомерно, так как твёрдая фаза частиц занимает малый объём - (l- a )= l(T 3.
С учётом предложенных изменений система диф ференциальных уравнений эйлерова этапа метода примет следующий вид:
200 Глава 4. Моделирование акустической неустойчивости в РДТТ
Эм,
Pi* |
+ а |
~ = 0; |
|
"эГ |
Эх |
|
|
Pi* |
+ а - — = 0; |
(4.12) |
|
dt |
Эг |
|
|
р , • + а • div(p\Vl)=0. at
Заменим в системе (4.12) уравнение для полной удельной энергии на уравнение для внутренней удельной энергии и с помощью уравнения состояния (4.4) выразим последнее через давление.
Получим:
|
|
|
|
Эи, |
Эр |
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
Р, • ^ " + <Х*Т1 = 0; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
at |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эу, |
Эр |
Л |
|
|
(4.13) |
||
|
|
|
p' i r + a f |
=0; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
^ |
+ (k - 1)* р • div(yVl)=0. |
|
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аппроксимируем систему уравнений (4.13) в момент |
|||||||||||
времени t" |
неявным образом |
с использованием |
центральных |
||||||||
конечных разностей [75]. Получим следующую систему: |
|||||||||||
|
|
,7” |
_. и” |
|
|
П |
|
|
=0; |
|
|
|
п |
b . j |
1i.J |
, |
1 |
P i + 0 |
. 5 . j |
P |
I - 0 . 5 . 7 |
|
|
|
P*, |
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v ” |
—vn |
|
a « |
PiJ+0-5 |
— |
|
|
|
|
|
. |
V |
X,1 |
■[ |
Pi.j-O-S _ Q. |
|
|||||
|
1,J |
|
AtA |
|
U |
|
|
A r |
|
|
(4.14) |
|
|
|
Pis - |
Pis |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
At |
L+ M |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
иi |
—M,H |
7-v," |
- (y - lV v /' |
|
0. |
||||||
|
ч+аз.у______д/-оз.у . |
|
ч.лси |
w |
7 |
!/.у-й |
= |
||||
|
|
Ax |
|
|
|
(y -0 ,5 )-Ar |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Затем |
выразим |
|
|
из, |
соответственно, первого и |
||||||
второго уравнения и подствавим в третье уравнение системы (4.14). В итоге получим уравнение, записанное относительно неизвестных пока величин р ":
л 1 ФММ проиесса течения в двигатепр |
201 |
|
• L A |
, J-K ,., - 0 - t i - v L |
+ |
|
Ax |
(j - 0,5)- Ar |
||
|
a i+0.5J ' (Pi+lJ ~ P iJ ) |
a i-0.5.j " (P iJ ~ P i-lj ) |
(4.15) |
P" |
P" |
|
~ l*+0.5J |
KWl.y |
|
} - < , ™ -fey, - p i ) |
O'- о-«о»,•fe - ?,v.)' |
p ;,,y+aj |
P",, |
Полученное уравнение для давления (4.15) решается методом продольно-поперечной прогонки [278, 279]. Допол нительно для разрешения нелинейности в (4.15) используется процедура итераций по давлению р п.
Для продольной прогонки (вдоль оси 0R) преобразуем
выражение (4.15) к следующему виду: |
|
|
(4.16) |
||
где |
A j - R H - C r K i+ B r K ^ - F p |
||||
|
|
|
а" |
|
|
А .= ( к - 1) |
О-О -А* |
р; |
|
||
ZJf |
|
||||
' |
К ’ |
0'-О,5)-Дг2 |
Гы |
P l |
|
|
|
0'-о,5)-дг |
' |
|
|
|
|
Су. = 1 + Aj + Вj; |
|
|
|
F)= P lj-(k -l)-& -P u |
» L „ |
, ; Ч . „ - 0 - 1) '< - |
|||
Ах |
|
(;-0,5)-A r |
|
||
|
|
|
|
||
A/3 |
|
- ( p ^ - p h ) |
J -(P " U- |
P ». I ) |
|
( * - ! ) • |
■PiJ' |
. П |
|
Р |
|
Ах3 |
|
/♦аз.у |
|
n Va3.y |
|