Сила пружності. Закон Гука

При деформації тіла виникає сила, яка прагне відновити колишні розміри і форму тіла. Ця сила виникає внаслідок електромагнітної взаємодії між атомами і молекулами речовини. Її називають силою пружності. Простим видом деформації є деформація розтягування або стискання (рис. 1.14).

Рисунок. 1.14.

При малих деформаціях (|x| << l) сила пружності пропорційна деформації тіла і спрямована убік, протилежний до напряму переміщення часток тіла при деформації:

F_x = F_пр = - kx . (1.24)

Це співвідношення виражає експериментально встановлений закон Гука. Коефіцієнт k називається жорсткістю тіла. Одиницею жорсткості являється (Н/м). Коефіцієнт жорсткості залежить від форми і розмірів тіла, а також від матеріалу.

§ 8. Закон збереження імпульсу

У природі усі тіла взаємодіють один з одним. Проте у ряді випадків взаємодія з деякими тілами наскільки незначна, що її можна не враховувати. Наприклад, розглядаючи взаємодію ноги футболіста і футбольного м'яча, можна не враховувати сил тяжіння м'яча до глядачів, що сидять на трибунах, оскільки ці сили виключно малі і не чинять ніякого впливу на удар ноги футболіста по м'ячу.

При розрахунку траєкторій польоту космічних кораблів в Сонячній системі можна не враховувати сили тяжіння корабля до далеких зірок, оскільки вони малі в порівнянні з силами тяжіння до Сонця і інших планет сонячної системи.

Наведені приклади говорять про те, що в деяких випадках можна не розглядати взаємодії, вплив яких несуттєвий. Для цього у фізиці введено поняття ізольованої системи.

Ізольованою, або замкнутою, називають систему тіл, що взаємодіють тільки між собою і не взаємодіють з тілами що не входять в цю систему.

Сили, з якими взаємодіють тіла, що входять в замкнуту систему називаються внутрішніми.

Розглянемо механічну систему, що складається з n тіл.

На матеріальні точки або тіла механічної системи діють сили двоякого походження. По-перше, кожне тіло взаємодіє з іншими тілами системи. Сили такого походження називаються внутрішніми силами системи. По-друге, на тіла механічної системи діють сторонні сили , що не входять в цю систему тіл. Такі сили називають зовнішніми.

За третім законом Ньютона, якщо яке-небудь тіло А діє на тіло В з деякою силою, тіло В діє на тіло А з рівною, але протилежно спрямованою силою. Тому усі внутрішні сили механічної системи попарно рівні і протилежні.

Геометрична сума внутрішніх сил механічної системи дорівнює нулю.

Напишемо рівняння, що виражає другий закон Ньютона, для кожного з n тіл механічної системи. Рівнодійну прикладених до цього тіла внутрішніх сил позначимо вектором , рівнодійну прикладених до нього зовнішніх сил - вектором

.........

Складемо за правилом складання вектори, що стоять в лівих і правих частинах рівнянь.

В правій частині рівняння знаходиться сума внутрішніх сил,але вона дорівнює нулю, оскільки усі ці сили попарно рівні за величиною і протилежні по напряму. Залишаються лише зовнішні сили. Тому отримуємо:

За відсутності зовнішніх сил виходить, що

, чи ,

де - результуючий імпульс системи.

Звідси витікає, що імпульс не повинен мінятися з часом.

. (1.25)

Це надзвичайно важливий результат: якщо до системи не прикладені зовнішні сили, повний імпульс системи зберігається з часом. Таке формулювання виражає закон збереження імпульсу. Цей закон виконується не лише в класичній фізиці, але і в явищах, що вивчаються в квантовій механіці.

Закон збереження імпульсу у багатьох випадках дозволяє знаходити швидкості взаємодіючих тіл навіть тоді, коли значення діючих сил невідомі. Розглянемо деякі приклади.

При стрільбі з гармати виникає віддача - снаряд рухається вперед, а гармата - відкочується назад. Снаряд і гармата - два взаємодіючі тіла. Швидкість, яку отримує гармата при віддачі, залежить тільки від швидкості снаряда і відношення мас (рис. 1.15а). Якщо швидкості гармати і снаряда позначити через V і v, а їх маси через М і m, то на підставі закону збереження імпульсу можна записати

.

Рисунок .1.15а. Рисунок.1.15 б.

На принципі віддачі заснований реактивний рух. У ракеті при згоранні палива гази, нагріті до високої температури, викидаються з сопла з великою швидкістю відносно ракети (рис 1.15 б). Позначимо масу викинутих газів черезm, а масу ракети після витікання газів через M. Тоді для замкнутої системи "Ракета + гази" можна записати на підставі закону збереження імпульсу (по аналогії із завданням про постріл з гармати) :

.

де V - швидкість ракети після витікання газів, v - швидкість газів.

Тут передбачалося, що початкова швидкість ракети дорівнювала нулю.

Отримана формула для швидкості ракети справедлива лише за умови, що уся маса згорілого палива викидається з ракети одночасно. Насправді витікання відбувається поступово впродовж усього часу прискореного руху ракети. Кожна наступна порція газу викидається з ракети, яка вже придбала деяку швидкість. Для отримання точної формули процес витікання газу з сопла ракети треба розглядати детальніше.

Приклад розв’язку задачі.

Вагон масою 25 т рухається із швидкістю 2 м/с і стикається з нерухомим вагоном масою 15т. Чому дорівнює швидкість загального руху вагонів після того, як спрацює автозчеп?

Аналіз умови.

Для розв’язку задачі істотно важливо, що тертя можна не враховувати: це дозволяє нам розглядати систему вагонів як ізольовану і застосувати закон збереження імпульсу. Взаємодією вважатимемо зіткнення вагонів.

Дано: До взаємодії рухався тільки перший вагон. Тому ім-

m₁=25m пульс системи дорівнює імпульсу першого вагона: .

m₂=15m Після зчеплення обидва вагони почали рухатись разом.

v₁=2м/с Імпульс системи дорівнює:

v=? По закону збереження імпульсур₁=р₂

Направимо вісь ОХ вздовж залізничної колії по напряму руху першого вагона, закон збереження імпульсу можна записати через проекції швидкостей: m₁v_1x=(m₁₊m₂)v_x, але v_1x=v_1, v_x=v, тоді отримаємо: m₁v_x=(m₁₊m₂)v, звідки v=m₁v₁/(m₁+m₂) , v=(25m·2м/с)/25т+15т)=1,25 м/с.

4. На відстані l= 1 м від берега озера знаходиться човен довжиною L= 2,5 м, повернутий носом до берега. Човен нерухомий. Людина, яка знаходиться на носі човна переходить на корму. Чи дійде при цьому човен до берега? Маса човна М= 150 кг, а маса людини т=50 кг?

v

u

l L

Аналіз умови. Човен і людину можна розглядати як ізольовану систему тіл, так, як тертя човна об воду мале, а сила тяжіння не впливає на рух човна. Тому в даному випадку можна застосувати закон збереження імпульсу.

Розв’язок. Зв’яжемо систему відліку з берегом , а напрям осі ОХ співпадаючим з напрямом руху людини.

Відстань, що пройде човен до берега в результаті переміщення людини по човну дорівнює s=ut, де и – швидкість човна, t- час його руху.

Для знаходження швидкості човна використаємо закон збереження імпульсу:

, а в скалярному вигляді ,звідки, швидкість руху людини по човну v=L/t підставимо в формулу шляху, пройденого човном і отримаємо: .

Розрахунки.

М=150 кг т=50 кг S=(50кг·2,5м)/(150 кг +50 кг)≈0,6 м L=2,5м Відповідь: так, як S‹l, то човен до берега не дійде. l=1м S-?

Питання і задачі :

1. Що називають інерцією? Наведіть приклади прояву інерції в побуті і техніці.

2. Що прийнято за одиницю маси? Які одиниці маси ви ще знаєте?

3. Наведіть приклад, з якого видно, як порівнюють маси тіл по придбаних ними швидкостях.

4. Чому камінь, кинутий в горизонтальному напрямі, не летить прямолінійно? Довести, що траєкторією каменю буде парабола.

5. Яку силу називають силою тяжіння? Як залежить сила тяжіння від маси тіла?

6. Що називають вагою тіла? Чим відрізняється вага тіла від сили тяжіння? Що таке невагомість?

7. Наведіть приклади використання відцентрових сил.

8. Що називається механічною системою? Які системи є замкнутими?

9. У чому полягає закон збереження імпульсу? У яких системах відліку він виконується?

10. На баржу, прив'язану до берега тросом, діє сила течії води, рівна 400 Н, і сила тиску вітру, що дме з берега, рівна 300 Н. З якою силою натягнутий трос, якщо баржа знаходиться в рівновазі?(500 Н.)

11. До точки твердого тіла прикладені дві рівні сили по 10 Н кожна, діючі під кутом 90° одна до одної. Визначити величину рівнодійної сили.(14,1 Н).

12. Вертикальну силу величиною 4 Н розкласти на дві складові, одна з яких є горизонтальною і рівною 3 Н. Визначити величину другої складової.(5 Н).

13. Розрахуйте прискорення вільного падіння тіла на висоті рівною радіусу Землі.(2,45).

14. Якої маси потяг може вести тепловоз з прискоренням, рівним 0,1 м/с², при коефіцієнті опору 0,005, якщо він розвиває максимальне тягове зусилля 300 кН? g =10 м/с².(2000000 кг).

15. Через скільки часу зупиниться автомобіль масою 1000кг, що рухається із швидкістю 72км/год, якщо вимкнути двигун? Середня сила опору руху рівна 200Н.(100 с).

16. Вичислити масу Землі. Радіус Землі дорівнює 6400 км.(6·10²⁴ кг).

17. Знайти силу тяжіння між двома космічними кораблями, які знаходяться на відстані 10м. Маси кораблів однакові і дорівнюють 10 т. (6,67·10^-5 Н).

18. У ліфті встановлені пружинні ваги, до яких підвішений вантаж масою 1 кг Що показуватимуть ваги, якщо ліфт почне рухатися вгору з прискоренням 2м/с²? (12 Н).

19. Літак описує петлю Нестерова радіусом 80 м Яка має бути найменша швидкість літака, щоб льотчик не відірвався від сидіння у верхній частині петлі? (28,3 м/с).

20. Вагон масою 25 т рухається із швидкістю 2 м/с і стикається з платформою масою 15 т, яка рухається назустріч вагону із швидкістю 1,5 м/с. У момент зіткнення вагон і платформа зчіплюються. Чому дорівнює швидкість руху вагону і платформи після зіткнення?(0,6825 м/с).

21. Тіло масою 2 кг рухається із швидкістю 3 м/с і наздоганяє тіло такої ж маси, яке рухається із швидкістю 2 м/с. Вважаючи удар центральним і не пружним, визначити швидкість загального руху тіл.(2,5 м/с).

22. Кулька масою 100 г, що рухається із швидкістю 5 м/с ударяється нормально об стінку і пружно відскакує від неї. Знайти імпульс сили, отриманий стінкою під час удару.(1 Н·с).

23. Кулька масою 200 г, що рухається із швидкістю 10 м/с ударяється об стінку під кутом 30˚ до поверхні і пружно відскакує від неї. Знайти імпульс сили, отриманий стінкою під час удару. (2 Н·с).

24. На залізничній платформі встановлена безвідкатна гармата, з якої зроблений постріл уздовж платформи під кутом 45˚ до горизонту. Маса платформи з гарматою 20 т, маса снаряда 10 кг, швидкість снаряда після пострілу 1000м/с. Яку швидкість придбає платформа відразу після пострілу?(0,35 м/с).