§ 55. Самоіндукція. Енергія магнітного поля

Явище самоіндукції виникає в тому випадку, коли магнітний потік, що змінюється з часом і викликає ЕРС індукції, створюється струмом в самому контурі. Якщо струм в замкнутому контурі з якихось причин змінюється, то змінюється і магнітне поле цього струму, а, отже, і власний магнітний потік, що пронизує контур. У контурі виникає ЕРС самоіндукції, яка згідно з правилом Ленца перешкоджає зміні струму в контурі.

Власний магнітний потік Φ, що пронизує контур або котушку із струмом, пропорційний силі струму

Φ = LI. (3.65)

Коефіцієнт пропорційності L в цій формулі називається коефіцієнтом самоіндукції або індуктивністю котушки. Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб (Гн = 1Вб/1А).

В якості прикладу розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N витків, площу перерізу S і довжину l. Магнітне поле соленоїда визначається формулою (3.57)

B = μ₀In,

де I - струм в соленоїді, n = N/l - число витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує усі N витків соленоїда, дорівнює

Φ = B·S·N = μ₀n²SlI. Φ = B·S·N = μ0n2SlI.

Отже, індуктивність соленоїда становить:

L = μ₀n²Sl = μ₀n²V,

де V = Sl - об'єм соленоїда, в якому зосереджено магнітне поле. Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він справедливий тільки для досить довгих котушок. Якщо соленоїд заповнений речовиною з магнітною проникністю μ, то при заданій силі струму I індукція магнітного поля зростає по модулю в μ раз; тому індуктивність котушки з сердечником також збільшується в μ раз:

Lμ = μL = μ₀μn²V. (3.66)

ЕРС самоіндукції, що виникає в котушці з постійним значенням індуктивності, згідно з формулою Фарадея становить:

. (3.67)

ЕРС самоіндукції прямо пропорційна індуктивності котушки і швидкості зміни сили струму в ній.

Енергія магнітного поля

Магнітне поле має енергію. Подібно до того, як в зарядженому конденсаторі є запас електричної енергії, в котушці, по витках якої протікає струм, є запас магнітної енергії. Якщо включити електричну лампу паралельно котушці з великою індуктивністю в електричне коло постійного струму, то при розмиканні ключа спостерігається короткочасний спалах лампи (рис. 3.56). Струм в колі виникає під дією ЕРС самоіндукції. Джерелом енергії, що виділяється при цьому в електричному колі, є магнітне поле котушки.

Рисунок 3.56.

Із закону збереження енергії виходить, що уся енергія, запасена в котушці, виділиться у вигляді джоулевого тепла. Якщо позначити черезR повний опір кола, то за час dt виділиться кількість теплоти:

dQ = I²Rdt. Сила струму в колі дорівнює ,

тоді вираз для dQ можна записати у виді:

dQ = - LIdI.

У цьому виразі dI < 0; струм в колі поступово убуває від початкового значення I₀ до нуля. Повну кількість теплоти, що виділилася в колі, можна отримати, проінтегрувавши вираз межах від I₀ до 0. Це дає

. (3.68)

Цю формулу можна отримати графічним методом. На рисунку 3.57 представлений графік залежність магнітного потоку Φ(I) від струму I. Повна кількість теплоти, що виділилася, визначається площею трикутника.

Рисунок 3.57.

Таким чином, енергія W_м магнітного поля котушки з індуктивністю L дорівнює:

. (3.69)

Застосуємо отриманий вираз для енергії котушки до довгого соленоїда з магнітним сердечником. Використовуючи приведені вище формули для коефіцієнта самоіндукціїL_μ соленоїда і для магнітної індукції B, що створюється струмом I, можна отримати:

, (3.70)

деV - об'єм соленоїда. Цей вираз показує, що магнітна енергія локалізована не у витках котушки, по яких протікає струм, а розосереджена у всьому об’ємі, в якому створено магнітне поле. Фізична величина рівна енергії магнітного поля в одиниці об'єму, називається об'ємною густиною магнітної енергії.

. (3.71)

Дж. Максвелл показав, що вираз для об'ємної густини магнітної енергії (3.71), виведене тут для випадку довгого соленоїда, справедливий для будь-яких магнітних полів.

Приклад розв’язку задачі :

Квадратна дротяна рамка із стороною а=5см і опором R=10 мОм знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією В=40 мТл. Нормаль до площини рамки складає кут 30˚ з лініями магнітної індукції. Визначити заряд, який пройде по рамці, якщо магнітне поле вимкнути.

Розв’язок:

При виключенні магнітного поля відбувається зміна магнітного потоку. Внаслідок цього в рамці виникає ЕРС індукції. Згідно із законом електромагнітної індукції

ЕРС індукції викличе в рамці індукційний струм, миттєве значення якого можна визначити за законом ОмаI_i=ε_i /R. Тоді

Оскільки миттєве значення сили індукційного струму I_i=dq/dt, можна отримати:

Заряд знайдемо, проінтегрувавши останній вираз:

Оскільки при вимкненому полі магнітний потік дорівнює нулю

За визначенням магнітного потоку маємо Ф₁=ВScosα

У нашому випадку рамка квадратна (S=a²) тоді

Перевірка розмірності :

Обчислення:

Завдання:

1. Що називається потоком вектора індукції магнітного поля? У яких одиницях він вимірюється?

2. Сформулюйте закон електромагнітної індукції.

3. Що є причиною виникнення ЕРС індукції в замкнутому контурі?

4. Вивести вираз ЕРС індукції в плоскій рамці, що рівномірно обертається в однорідному магнітному полі.

5. У чому полягає явище самоіндукції?

6. Що таке індуктивність? У яких одиницях вимірюється індуктивність? Від чого залежить індуктивність контуру?

7. Які речовини називаються діамагнетиками, феромагнетики і парамагнетиками?

8. Які феромагнетики називаються магнітомягкими і магнітожорсткими, де вони застосовуються?

9. Знайти індуктивність соленоїда, в якому рівномірна зміна струму на 2 А за 0,25с збуджує ЕРС самоіндукції 20 мВ.( 0,0025 Гн).

10. Яка швидкість зміни струму в контурі, індуктивністю 1 Гн, якщо в ній виникає ЕРС. самоіндукції 10 В. (10 А/С).

11. Коротка котушка, що містить 1000 витків дроту, рівномірно обертається з частотою 10 оборотів в секунду відносно осі, що лежить в площині котушки і перпендикулярно лініям індукції магнітного поля з індукцією 0,04 Тл. Визначити миттєве значення ЕРС індукції для тих моментів часу, коли площина котушки складає кут 60˚ з лініями магнітного поля. Площа котушки дорівнює 100 см². (21,35 В).

12. Кільце з алюмінієвого дроту поміщене в магнітне поле перпендикулярно лініям магнітної індукції. Діаметр кільця 20 см, діаметр дроту рівний 1мм. Визначити швидкість зміни магнітного поля, якщо в кільці виникає індукційний струм 0,5 А. Питомий опір алюмінію 26 нОм·м (0,33 Тл/с).

13. Дротяний виток діаметром 5 см і опором 0,02 Ом знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією 0,3 Тл. Площина витка складає кут 30˚з лініями індукції. Який заряд протече по витку при виключенні магнітного поля?( 0,015 Кл).