обобщение процедур методов Якоби и Гаусса ~ Зейделя, но с ускорением сходимости.

К ним относятся: метод последовательной верхней релаксации; метод Ричардсона, а также градиентные методы:

метод сопряженных градиентов; сопряженный метод Ньютона [12, 14, 26] и др.

В последнее время в современных программных комплексах итерационные методы применяют, в основном, для уточнения решения, полученного с помощью прямых методов, т.е. комбинируя их.

2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

АХ = В,

где det А О, В Ф 0. Матрица А и вектор правой части В во многих случаях задаются приближенно. Причины погрешностей могут быть самыми разными - от ошибок округления при вводе чисел в машину до ошибок измерения, если система связана с обработкой экспериментальных данных. Ошибки вносит также вычислительный процесс (ошибки округления). Естественно встает вопрос, как все это влияет на точность полученного решения. Чтобы на него ответить, надо познакомиться с особой характеристикой матриц, которую называют обусловленностью [30].

d Обусловленность характеризует устойчивость решения системы относительно исходных данных. Говорят, что задача, модель или вычисление плохо обусловлены, если они чувствительны к ошибкам или неопределенности исходных данных.

Прежде всего оговорим различие между плохо обусловленной задачей и плохо обусловленными вычислениями.

Если задача плохо обусловлена, то никакие усилия, потраченные на организацию изощренных вычислений, не могут дать правильный ответ, исключая случайность. С плохо обусловленными задачами можно столкнуться при расчетах стержневых систем методами строительной механики, например,

■при расчете рам методом перемещений, если два узла соединены очень жесткой частью конструкции;

или при расчете конструкции методом сил, если выбрать основную систему так, что перемещение в устраняемой связи, соответствующее приложенной в ней паре нагрузок, равно или меньше перемещений в других устраненных связях от этой же нагрузки.

Все плохо обусловленные вычисления являются результатом применения численно неустойчивых алгоритмов. Например, метод исключения Гаусса без выбора главного элемента может обладать таким недостатком.

Замечено, что матрицы со случайно сгенерированными элементами отличаются обычно хорошим поведением, а матрицы, элементы которых получены по каким-то закономерностям, бывают плохо обусловленными. У плохо обусловленной матрицы обратная матрица является неустойчивой, т.е. элементы обратной матрицы значительно изменяются при малом изменении элементов исходной матрицы. Это происходит вследствие наличия малых разностей больших величин.

■Пример 2.7. Плохо обусловленная система:

Решение этой системы Х1=х2=х3=х^=\. Если изменить правые части на 0,1

1,32

изменится при этом и обратная матрица.

Следует отметить, что чем больше порядок системы, тем сильнее влияние небольшой погрешности коэффициентов.

Обусловленность матрицы (системы) является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее количественно. Существует несколько способов оценки обусловленности.

Например, обусловленность матрицы (системы) можно оценить с помощью величины, называемой мерой обусловленности р(А) по формуле

правой части уравнения, а величина ||Ax||/||x|| - относительную

ошибку в решении, вызванную этим возмущением.

Число //(А), часто обозначаемое cond А (от английского слова с0иЛ7/оле^-«обусловленный»), служит также коэффициентом роста относительных погрешностей при неточном задании элементов матрицы А.

Чем больше ju(A) ,тем сильнее сказывается на решении линейной системы ошибка в исходных данных. Если число р(А) велико, то система считается плохо обусловленной. Говорить о том, «что такое хорошо, а что такое плохо» в отрыве от контекста решаемой задачи почти бессмысленно, так как здесь могут играть роль размерность задачи, точность, с которой должно быть найдено ее решение, точность представления чисел в ЭВМ и т.п. Однако можно дать оценку снизу меры обусловленности. Число обусловленности р(А) не может быть меньше 1. Матрица, а соответственно и система, будет хорошо обусловленной, если /и(А) стремится к единице.

И еще один способ оценки обусловленности: матрица считается плохо обусловленной, если модуль ее определителя существенно меньше какой-либо из норм Mamputfbi.

■Пример 2.8._ Оценим обусловленность матриц А и В:

Решение:

Обратные матрицы равны:

0,1 0,026 -0,0055 -0,0243

0,026 0,1346 0,0243 -0,0187 -0,0055 0,00243 0,2054 -0,1013 -0,0243 -0,0187 -0,1013 0,3067

||4 = max {5, 11, 10, 7}=11; | 4 “‘ = тах {0,1558; 0,2036; 0,3851; 0,451}=0,451;

р(А)=11x0,451=4,961, то есть р(А) невелика и матрица А хорошо обусловлена,

||i?| = max {21,21,21,1} =21; Щ\~' =ш ах {8421,421,21, 1}=8421

р(В) =21x8421=176841, то есть величина р(В) очень большая и матрица В плохо обусловлена.

■Пример 2.9. Рассмотрим три варианта основной системы метода сил для трехпролетной неразрезной балки (рис.2.1).

f1

ТГ сТ Г 1

Рис.2.1. Основные системы для неразрезной балки

В методе сил важным критерием оценки выбранной основной системы является обусловленность коэффициентов системы канонических уравнений. Запишем матрицы податливости и значения меры обусловленности для этих вариантов (табл. 2.1).