- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
8.4. Нелинейные задачи оптимизации
Большинство практических задач оптимизации приводит к
нелинейным целевым функциям и ограничениям.
Для решения нелинейных задач оптимизации предложено достаточно много алгоритмов, но ни один из этих алгоритмов не имеет по отношению к другим таких преимуществ, чтобы его можно было считать универсальным средством решения (как в линейном программировании - симплекс-метод). Это связано с тем, что при решении нелинейных задач оптимизации может получиться много локальных экстремумов (см. рис.8.1), из которых надо выбирать глобальный. Во многих практических задачах для определения того, при каких условиях локальное оптимальное решение является также и глобальным, оказываются полезными такие понятия, как выпуклость и вогнутость функций и множеств.
8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
Множество Q называется выпуклым в «-мерном пространстве, если для любой пары точек ai и сь, принадлежащих этому множеству, отрезок прямой, соединяющей их, также полностью принадлежит этому множеству. На рис.8.15 множество является
выпуклым, а множество Q2 - невыпуклым.
Примерами выпуклых плоских тел являются: любой правильный многоугольник, круг, круговой сектор, сегмент. Пространственные выпуклые
тела: шар, конус, призма, пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник.
Рис.8.15. Выпуклое и невыпуклое множества
Выпуклые функции играют большую роль во многих вопросах оптимизации в связи с тем, что всякий локальный минимум выпуклой функции является одновременно и глобальным.
Функцию назовем выпуклой книзу, если она определена на выпуклом множестве и значение ее в любой промежуточной точке
любого отрезка [AT x2]eQ связано со значениями на концах отрезка неравенством
Z(x,) < (1 - V ) Z ( A , ) + vZ(x2), где 0 < v < 1 (8.88) На рис.8.16 поясняется свойство выпуклости функции одного переменного: график функции проходит всегда не выше
отрезка прямой, соединяющей вершины любой пары ее ординат.
Рис.8.16. Пример выпуклой функции |
Рис.8.17. К поиску глобального |
|
экстремума |
Если целевая функция линейна, а допустимая ооласть выпукла й |, то существует единственный глобальный минимум на границе области (на рис.8.17 точка А). Если же допустимая область — невыпуклое множество, то на границе могут иметь место локальные экстремумы. И если строить алгоритм движения вдоль невыпуклой границы допустимой области £22 к оптимальной системе, то можно попасть в точку локального минимума (точка Ь), не отличая ее от глобального минимума (точка В). Сходимость такого метода часто нельзя обосновать.
8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
По ряду признаков методы поиска экстремума могут быть отнесены к тому или иному классу.
В зависимости от типа искомого экстремума различают методы глобальной и локальной оптимизации.
-В зависимости от того, как при поиске экстремума функции учитываются ограничения на переменные, различают методы безусловной и условной оптимизации.
-В зависимости от количества управляемых параметров
целевой функции различают методы одномерного и многомерного поиска.
Методы поиска глобального экстремума в настоящее время являются предметом интенсивных исследований. Надежные и одновременно экономичные методы поиска глобального экстремума в настоящее время неизвестны.
Надежным, но крайне неэкономичным методом глобального поиска является метод сканирования (или метод
сеток). При его применении область определения Z(X) в пространстве управляемых параметров разбивается на к подобластей, в центре каждой из которых вычисляется значение целевой функции. Если функция зависит от п параметров, то необходимо выполнить к? вариантов расчетов. Чтобы получить достоверную картину поведения гиперповерхности отклика целевой функции, необходимо сканировать допустимую область с достаточно малым шагом. Поэтому даже для сравнительно несложных задач потери машинного времени на поиск становятся очень большими.
Этот недостаток характерен и для методов случайного поиска глобального экстремума Однако затраты ресурсов на случайный поиск можно сделать приемлемыми, если не предъявлять высоких требований к надежности определения экстремума. Чаще всего данный метод применяют для задач, содержащих не более.трех управляемых переменных.
Большинство используемых методов, как правило, являются методами локального поиска. На практике предположение о том, что локальный экстремум является глобальным, может быть проверено путем использования нескольких начальных векторов (точек). Но даже если в каждом из этих случаев получится одно и то же локальное решение, в общем случае нельзя показать, что это решение обязательно является глобальным оптимумом. К счастью для задач, соответствующих реальным физическим процессам,
целевая функция обычно является ’'хорошей” и обладает единственным экстремумом. Поэтому для большинства практических целей использование численных процедур, дающих локальный экстремум, не является большим недостатком.
Наиболее многочисленную группу методов локального поиска составляют методы безусловной оптимизации. Некоторое представление о широко применяемых методах этой группы дает рис. 8.18.
В зависимости от порядка используемых производных
целевой функции по управляемым параметрам методы безусловной оптимизации делят на методы нулевого, первого и второго порядков.
Вметодах нулевого порядка (прямых методах) информация
опроизводных не используется.
Для методов первого порядка необходимо вычислять как значение целевой функции, так и ее первые частные производные
{градиентные методы).
В методах второго порядка организация поиска экстремума ведется с учетом значений целевой функции, ее первых и вторых производных.
Одномерный поиск может рассматриваться как самостоятельная задача, если аргументом целевой функции является один параметр Z=Z(x).
Этот же поиск может использоваться в качестве части процедуры многомерной оптимизации (когда количество управляемых параметров два и более) в тех случаях, когда необходимо найти оптимальный шаг в выбранном направлении.
Часто задачи условной оптимизации преобразуют в задачи
безусловной оптимизации с помощью методов Лагранжа или
штрафных функций. После этого к ним можно применять методы безусловной оптимизации.