Чтобы сделать наглядным окончание итерационного процесса, т.е. определить номер итерации, для которой выполнится условие \b- а\ < в , воспользуемся Условным форматированием,
Использование Условного форматирования наглядно демонстрирует ход итерационного процесса. Из рис.3.10 видно, что за приближенное решение нашего уравнения (3.18) с заданной точностью г =0,1 принимается 3-я итерация, т.е. х*» 4,469.
3.4.1.Решение нелинейных уравнений
сиспользованием надстройки «Подбор параметра»
Решение нелинейных уравнений можно реализовать в приложении Excel с использованием надстройки Подбор параметра.
Найдем корни уравнения (3.18), рассмотренного выше.
За нулевое приближение решения уравнения, как это видно из рис.3.9, можно принять хо=4 или хо=4,5.
Последовательность действий
1.Заготовим таблицу, как показано на рис.3.11. Введем в ячейку А2 значение нулевого приближения корня, х0=4.
2.Значение ячейки В2 будет изменяться в процессе решения (подбора параметра). Первоначально введем туда значение д’о, т.е. 4.
3.Введем в ячейку С2 формулу левой части уравнения (3.18), т.е. C2=B2-TAN(B2).
4.Зададим команду: меню Сервис\Подбор параметра.
5.В появившемся окне Подбор параметра сделаем установки, как показано на рис.3.11.
При п= 1 информация об интерполируемой функции y=f(x) задается в двух точках: (хо, Уо) и (х\, yi), и многочлен Лагранжа имеет вид
i , W = — |
J o + — |
З'Г |
(4.8 6) |
* о — x i |
х \ ~ |
х о |
|
Для п= 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной
таблице |
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
Хо |
Х[ |
Х2 |
|
|
|
|
у. |
Уо |
У\ |
У2 |
|
|
|
и имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
г (х)_ (х -Х уУ х -ь ) |
| |
( х - ъ Х х -ь ) |
, (х-*б)(х-*) |
(4.8 |
в) |
||
(*0 ~*l)0b - Ъ ) |
0 |
(*1 |
_JC2) |
' (*2- -XbX*2 ~*i) 2 |
|||
|
|
||||||
Приближенные равенства |
|
|
|
|
|||
/(* )* £ ,(* ), |
f { x ) * L 2{x) |
|
|
||||
называются соответственно формулами линейной и квадратичной интерполяции.
■ Пример 4.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей:
Xi |
i |
2 |
3 |
5 |
yi |
i |
5 |
14 |
81 |
Решение: Подставляем исходные данные в формулу (4.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:
J< ’ 0-2Х1-ЗХ1-5) +5'(2-1Х2-ЗХ2-5)+М —(3 —1)(3—2)(3—5) +
+81.(*-1Хж~2Х*-3)= жз _ 2х2+3:с- 1. (5- 1)(5- 2)(5- 3)
Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х=4:
. |
(4-2)(4-3)(4-5) |
(4-1)(4-3)(4-5) |И |
(4-1)(4-2)(4-5) |
^ ’ |
' (1 —2)(1—3)(1—5) |
(2 - 1)(2- 3)(2 - 5) |
(3-1)(3-2)(3-5) |
|
+81 • (4 1)(4—2)(4 —3) _ 43 |
|
|
|
|
(5—1)(5—2)(5 —3) |
|
|
Далее, при изучении метода конечных элементов мы еще |
||
обратимся к интерполяционным полиномам Лагранжа. |
|||
|
Известны и другие |
формулы интерполяции, например, |
|
интерполяционная формула Ньютона [9, 12], применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита [9].
4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
При решении некоторых практических задач (например, в методе конечных элементов) более целесообразно бывает использовать в качестве узловых параметров не только значения самой функции, но и значения ее производных. Т.е. интерполяционный полином должен удовлетворять условиям непрерывности, как самой функции, так и ее производных до порядка т-1 включительно (где тя-порядок полинома) В этом случае в качестве аппроксимирующих полиномов вместо полиномов Лагранжа используют полиномы Эрмита.
Рассмотрим задачу интерполирования функции y=f(х) в общей постановке. Пусть функция y=f(x) задана в п узлах отрезка [а, Ъ ] и пусть в этих же точках известны производные этой
функции, т.е. на отрезке [а, Ъ] заданы: |
|
|
|
Значения: |
У\>У\ |
в узле х\, |
|
Значения: |
Уп’Уп |
в узле хп, |
|
Задача ставится следующим образом: построить многочлен |
|||
Н(х) максимальной степени 2и-1, такой, при котором |
|
||
# (* ,) = )>,; |
Н \х ,) = у], |
г = 1,2,.., и. |
(4.10) |