- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
I \
Т\"_° / I
а
Простейший элемент имеет два узла, по одному на каждом конце - линейный элемент (рис.7.2,а).
Используют элементы и более высокого порядка: трехузловой - квадратичный
б(рис.7.2,б), четырехузловой -
кубический (рис.7.2,в).
Рис. 7.2. Некоторые одномерные конечные элементы
Одномерный элемент может быть и криволинейным, но длина дуги при этом должна входить в уравнения, определяющие элементы.
Двухмерные конечные элементы.
Для построения дискретной модели двухмерной области используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники.
Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (рис.7.3,о,б). Толщина элемента может быть постоянной или являться функцией координат.
Квадратичные (7.3 в) и кубические (7.3 г) элементы могут иметь как прямолинейные, так и криволинейные стороны или те и другие. Возможность моделирования криволинейных границ
гдостигается добавлением узлов в середину сторон элементов.
Разные элементы (7.3 д) могут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют
одинаковое число узлов на стороне.
Рис. 7.3. Двухмерные конечные элементы
Трехмерные конечные элементы.
Наиболее часто используемыми трехмерными элементами являются параллелепипед и тетраэдр (рис. 7.4, а и б). В обоих случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами (плоскостями), тогда как элементы более высокого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности (рис.7.4.в).
$ Под «конечным элементом» принято понимать не просто малую область тела, а область тела в совокупности с заданными в ней апппоксимипуюгиими (Ынкииями.
Выше отмечалось, что в качестве аппроксимирующих функций элементов чаще всего используются полиномы.
На выбор вида этих функций влияет множество факторов, а именно: геометрическая форма элемента; число узлов в элементе; число неизвестных параметров в узле (число степеней свободы узла).
Одномерные, двухмерные и трехмерные элементы в зависимости от степени используемого интерполяционного полинома называются симплекс-, комплексили мультиплексэлементами.
Полиномы симплекс-элементов содержат константы и линейные члены. Число коэффициентов в таком полиноме на единицу больше размерности координатного пространства.
Симплексэлементы:
2
а
Рис.7.5. Симплекс-элементы:
а) - одномерный;
б) - двухм ерны й;
в) - трехмерный.
Интерполяционный полином (р = а, + а 2х (7.3)
представляет собой симплексную функцию для одномерного линейного
элемента (рис.7.5,а).
Полином ср = а, + <х2х +а 3у |
(7.4) |
представляет симплексную функцию для
двухмерного треугольного элемента (рис.7.5,б). Он линеен по х и у и
содержит три |
коэффициента, т.к. |
|
треугольник имеет 3 узла. |
|
|
Интерполяционный |
полином |
для |
тетраэдра (рис. 7.5,в) имеет вид |
|
|
Ф = а, + а 2х + а Зу + а 4z |
(7.5) |
|
Главное отличие комплекс-элемента состоит в том что в нем, как правило, кроме граничных имеются дополнительные внутренние узлы. Число узлов больше величины размерности координатного пространства плюс единица.
Комплекс-элементы:
а
м
Л
б к Рис.7.6. Комплекс-элементы:
а - одномерный; б - двухмерный.
Интерполяционный |
полином |
для |
||
одномерного |
комплекс-элемента |
|||
(рис.7.6,а) имеет вид |
|
|
||
|
Ф = а, + а 2х + <х3х 2 |
(7.6) |
||
Для |
двухмерного |
треугольного |
||
комплекс-элемента |
|
(рис.7.6,б) |
||
полином |
|
|
|
|
(р = ах+а2х+аъу+а4х2 +а5ху+а6у2 |
(7.7) |
|||
Это соотношение включает шесть коэффициентов, поэтому данный элемент должен иметь шесть узлов.
Для мультиплекс-элементов также используются полиномы, содержащие члены высокого порядка, но границы элементов при этом должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому. Прямоугольный элемент (рис.7.7) - пример мультиплекс-элемента.
Мультиплекс-элементы:
/о- |
—ок |
Интерполяционнный |
полином для |
|
|
|
прямоугольного |
элемента |
с |
|
|
четырьмя узлами: |
|
|
|
|
(р = а, + а 2х + а 3у + а 4ху |
(7.8) |
|
Рис.7.7. Мультиплекс-элемент
Комплекс- и мультиплекс-элементы обычно применяются в тех задачах, где имеют место градиенты искомых величин, причем в мультиплекс-элементах градиенты искомых величин меняются линейно вдоль одного из координатных направлений.
Прежде чем рассмотреть другие виды конечных элементов, рассмотрим, как определяются коэффициенты интерполяционных полиномов (или аппроксимирующих функций).
7.2.2. Определение аппроксимирующей функции элемента
Определить аппроксимирующую функцию элемента - это значит найти ее коэффициенты. Аппроксимирующая функция должна быть согласована с соответствующим элементом таким образом, чтобы ее коэффициенты ос\ определялись однозначно.
Для получения этих коэффициентов в отдельном элементе применимы два подхода: в одном из них используются
обобщенные координаты, а в другом - интерполяционные формулы. Первый подход удобен для простых элементов, использующих полные полиномы невысокого порядка. Второй - в случае более слоясных элементов.