8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Обычный метод классического математического анализа для решения задач на условный экстремум не применим для решения

задач ЛП. Линейная форма (8.51), определенная в области Z), достигает своего экстремума на границе (в вершинах) этой области, т.е. в точках , в которых частные производные могут быть отличны от нуля.

С другой стороны, поскольку экстремум функции цели (8.51) достигается в вершинах многоугольника, то, казалось бы, достаточным вычислить значение функции цели во всех вершинах многоугольника, а затем найти ту из них, в которой функция достигает своего минимума или максимума. Но такой путь решения задач ЛП, даже с относительно небольшим числом ограничений и неизвестных параметров, практически неосуществим, т.к. процесс отыскания вершин весьма трудоемкий, а число вершин может оказаться астрономически большим.

Поэтому надо найти способ перехода от данной вершины к лучшей, а от нее - к еще лучшей. Кроме того, сюда же надо добавить какие-то условия существования оптимального решения для данной задачи.

В этом и заключается суть метода последовательного улучшения плана для решения задачи ЛП, который называется симплекс-методом [17, 23] и наиболее широко применяется в настоящее время.

Опишем идею симплекс-метода.

Пусть данная задача ЛП является задачей минимизации и имеет непустое множество допустимых решений (многогранная

область D с конечным числом вершин). Тогда каким-либо способом (они существуют) найдем какую-нибудь вершину

области D и все ребра, выходящие из этой вершины. Пойдем по одному из ребер, вдоль которого функция цели убывает. Достигаем следующей вершины, находим выходящие из нее ребра и повторяем процесс. Когда мы доберемся до вершины такой, что

вдоль всех выходящих из нее ребер функция возрастает то эта вершина и дает оптимальное решение, т.е в этой вершине и достигается минимум.

Поскольку функция цели линейна, а многогранник допустимых решений выпуклый, то этот процесс всегда сходится к решению задачи ЛП и сходится за конечное число шагов.

Реализация симплекс-метода унифицирована, все вычисления проводятся с помощью специального вида таблиц (симплекс-таблиц). С другой стороны, метод хорошо программируется и в настоящее время существуют всевозможные пакеты прикладных программ, включающие и реализацию симплекс-метода.

Широкое распространение электронных таблиц, таких, например, как Microsoft Excel, позволяет эффективно решать всевозможные задачи ЛП.

8.3.5. Применение моделей ЛП в задачах управления производством

Имеется много данных об успешном использовании моделей ЛП в различных задачах управления. Рассмотрим некоторые схемы таких задач.

Основной формой деятельности любого предприятия является производство тех или иных видов продукции. При этом в процессе производства предприятие потребляет (расходует) определенные виды ресурсов {труд, сырье, оборудование, денежные средства, природные ресурсы и т.п.). Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы их рационального распределения.

Если предприятие выпускает продукцию нескольких видов с использованием одних и тех же ресурсов (например, оборудование, трудовые ресурсы), то администрация должна решить, какое количество продукции каждого вида следует производить. Принятое решение будет направлено на удовлетворение определенной цели администрации (например, получить

максимальную прибыль или минимизировать затраты производства). Для удовлетворения этой цели администрация располагает управляющими переменными решения (например,

количество продукции каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени).

Задача об оптимальном плане выпуска продукции

Постановка задачи Предприятие выпускает п видов продукции, на которую употребляет т видов сырья. Расход / -го вида сырья на единицу j -го вида продукции составляет аи единиц. Известно, что на каждой единице продукции у-го вида предприятие получает прибыль с, Требуется определить, сколько единиц каждого вида продукции

должно изготовить предприятие (оптимальный план выпуска продукции), чтобы обеспечить максимальную прибыль. При этом следует учесть, что запасов сырья каждого ( /-го) вида имеется 6,.

В качестве управляемых параметров в данной задаче можно взять объемы выпуска соответствуюгцего вида продукции

X = О ,, х2

Математической моделью данной задачи является следующая задача линейного программирования:

найти максимум целевой функции (линейной формы):

Решение такой задачи позволит руководителю определить оптимальные объемы выпуска, выявить те виды продукции, выпускать которые в данных условиях нецелесообразно, а возможно, и сделать вывод об изменении номенклатуры.

п л а н и р о ва н и я п р о и зв о д с т в а .

Цех производит два вида продукции (продукт1 и продукт2) стоимостью соответственно 5 у.е. и 5,5 у.е. (уел. единиц). На производстве действуют ограничения по ресурсам: сырье; трудовые затраты; транспортные расходы (аренда машины для вывоза продукции). Расход каждого ресурса на изготовление того и другого продукта, количество ресурса в распоряжении цеха приведены в таблице:

Рассчитать, какое количество каждого продукта нужно изготовить, чтобы прибыль была максимальной.

В качестве проектных параметров хи х2 выберем оптимальные объемы производства обоих продуктов.

Решение задачи с использованием электронных таблиц Excel получено в подразделе 8.5.