Для одной и той же механической задачи можно сформулировать как задачу Коши, так и краевую задачу.

и Например, задачу о свободных колебаниях одномассовой системы (6.9) можно представить и как краевую задачу. В этом случае одно из дополнительных условий будет состоять в задании, например, перемещения по истечении некоторого промежутка времени:

Для уравнений и систем высокого порядка (п > 2), где число дополнительных условий больше двух, постановки краевых условий могут быть более разнообразны. При этом возможны случаи, когда часть дополнительных условий задана на внутренних точках отрезка [а,6,] или промежутка времени. Их нередко называют внутренними краевыми условиями. Сами дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций в одной точке (или даже в разных точках) [26, 34].

6.2. Дифференциальные уравнения в частных

производных в расчетах строительных объектов

Дифференциальные уравнения в частных производных составляют в настоящее время одно из наиболее быстро развивающихся направлений численного анализа. Проектирование многих технических объектов связано с необходимостью анализа прочности и разнообразных физических процессов, математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в частных производных.

6.2.1.Классификация уравнений и типы задач

Дифференциальные уравнения с частными производными представляет собой дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями более чем одной независимой переменной.

Такими уравнениями описываются, например, задачи о

распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей и газов и т.п.;

волновое уравнение (параболического типа)

д2и _ р дги

(6.18)

~дх2 ~'Ё~д?Г'

К таким уравнениям сводятся задачи динамики, например, задачи о поперечных колебаниях стержня, струны или газа.

Уравнение (6.15) имеет множество решений. Для получения единственного (частного) решения необходимо задать дополнительные условия путем фиксирования некоторых произвольных "параметров" Но, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, такими "параметрами" в общем решении будут не постоянные интегрирования, а произвольные функции. Число таких функций равно порядку дифференциального уравнения.

В зависимости от вида дополнительных условий решают одну из следующих задач:

задачу Коши, в которой одной из независимых переменных является время. При этом в начальный момент времени задаются некоторые условия относительно искомой непрерывной функции и ее производных - начальные условия Граничные условия при этом не задаются, так как задача решается в неограниченном пространстве;

краевую задачу, где решение ищется в некоторой области с определенными границами, на которых и задаются граничные {краевые) условия относительно искомой функции и ее производных;

смешанную {нестационарную) краевую задачу, в которой ставятся как граничные, так и начальные условия.

Наиболее распространенными краевыми условиями в практических задачах являются граничные условия первого,

второго и третьего рода, иногда называемые граничными условиями Дирихле, Неймана и Коши соответственно.

В случае граничных условий Дирихле (первого рода) на границе S задаются значения зависимой переменной (искомой функции):

Примерами граничных условий Дирихле могут быть силы или перемещения, приложенных к поверхности тела или температуры для теплопроводящей среды.

В случае граничных условий Неймана (второго рода) на границе задается нормальная производная зависимой переменной или значения производных по пространственным координатам от искомой функции, например,

гдер - заданная явно функция точки, а п - нормаль к S.

Граничными условиями Коши (третьего рода) называются условия, в которых зависимая переменная и ее нормальная производная связаны на границе зависимостью вида

где р и q - известные функции точки на границе S.

Таким образом, рассмотренные граничные условия включают зависимую переменную и (или) ее первую производную.

Таких граничных условий для задачи, описываемой уравнением (6.15), должно быть два: для частей границы Si и S2. Объединение 5/ и S2образует полную границу.

Исходное дифференциальное уравнение вместе с краевыми условиями (как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений) называется краевой задачей и представляет собой математическую модель исследуемого объекта.

Краевые задачи, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, весьма многочисленны и

разнообразны. Одной из важнейших задач проектирования является исследование напряженно-деформированного состояния

элементов строительных конструкций и связанные с ним расчеты на прочность. В градостроительстве при проектировании системы водоснабжения городов необходим анализ течения грунтовых вод. Знание температурных полей необходимо для вычисления количества теплоты, подводимой к телу или отводимой от него. Кроме того, температурные поля влияют на распределение напряжений в конструкциях.

Математическая модель любой из этих задач может быть получена из общего квазигармонического уравнения,

описывающего разнообразные физические явления в неизотропной среде, т.е. такой среде, свойства которой различны в разных направлениях:

где x,y,z пространственные координаты; <p(x,y,z) - искомая непрерывная функция; kx, ку, kz - коэффициенты; R - внешнее воздействие.

Приведем примеры некоторых прикладных задач, представляющих практический интерес для специалистов строительной отрасли.

Хх, Ху, Xz - коэффициенты теплопроводности в направлениях х, у и z соответственно.

В изотропной среде ЯЛ= Яу= к2 и уравнение (6.23) сводится к уравнению, которое называется уравнением Пуассона:

Если член R(x,y,z), характеризующий источник, обращается в нуль, то уравнение (6.24) становится уравнением Лапласа:

Задачи, описываемые уравнением Лапласа с краевыми условиями Дирихле, обычно называют краевыми задачами

Дирихле.

■ Пример 6.8. Плоская задача теории упругости (например, растяжение пластины или сжатие стеновой панели - плоско-напряженное

а при R(x,y,z)= - 2G0, уравнение (6.22) сводится к уравнению Пуассона, описывающему кручение упругого стержня некругового сечения

В этих случаях функция ф является функцией напряжений, G - упругая характеристика материала, 0 - угол закручивания сечения стержня. Напряжения сдвига, вызванные внешним крутящим усилием, получаются дифференцированием ф по х ну.

■ Пример 6.9. Периодические волновые явления типа свободных колебаний обычно описываются уравнением, называемым уравнением Гельмгольца [34],

где ф —скалярная переменная, кх, ку, к2 - свойства среды в направлениях главных координатных осей х, у и соответственно, (о - частота колебаний.

Для однородной и изотропной среды кх= ку= Az=Const. В этом случае к можно ввести в частотный параметр со и, уравнение Гельмгольца записать в простой форме

■ Пример 6.10. Дифференциальное уравнение для ограниченного потока грунтовых вод также содержится в уравнении (6.22) и имеет вид

Здесь коэффициенты кх и ку определяют проницаемость почвы, Q - источник (или сток) воды, а функция ср - пьезометрический напор.

Другой важный класс физических задач представляют задачи, учитывающие изменение искомых величин во времени, т.е. нестационарные задачи (динамическое поведение различных конструкций, явления переноса тепла, течения грунтовых вод и т.д.). Уравнение (6.22) при этом включает член, содержащий частную производную по времени,

При этом коэффициенты уравнения могут изменяться со временем. Если численное решение задачи в дальнейшем рассматривать для каждого фиксированного момента времени, то параметр R(x,y,z) в

Ягп

формуле (6.22) можно заменить разностью Q - X — и уравнение dt

(6.32) будет идентично (6.22) для каждой точки временного интервала.

Аналитическое решение большинства практических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, с помощью аналитических методов весьма проблематично. В основном решение их получают численными методами. Выбор численного метода определяют тип дифференциального уравнения и вид

дополнительных условий. Рассмотрение численных методов начнем с обыкновенных дифференциальных уравнений.