Кубическому сплайну (4.11) соответствует простая механическая аналогия - уравнение изогнутой оси стержня, проходящего под воздействием сосредоточенных сил через заданные точки.

4.3. Среднеквадратичное приближение функций

Среднеквадратичное приближение функций - это другой подход к получению аналитических выражений функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо приближенный характер. Эти данные содержат погрешности измерительной аппаратуры, погрешности условий эксперимента, случайные ошибки и пр.

Предположим, что при обработке результатов какого-либо эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=/(х) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 4.1 значений у, ( 7 = 1 , 2 , полученных в ходе эксперимента.

Таблица 4.1

Если аналитическое выражение функции y=f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию у=<р(х), значения которой при x=xh возможно, мало отличалось бы от опытных данных у и ( / = 1 , Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией у=(р(х) на отрезке [льл,,]:

Аппроксимирующая функция у=ср(х) называется

эмпирической формулой или уравнением регрессии.

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма

велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (4.17) найдено, то можно:

просчитать значение у для любого х е [х,, х п]

(интерполяция); сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне

отрезка [ * | , х„ ] (экстраполяция); выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимой точности представления.

Геометрически задача построения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L: у~Ц>(х) «возможно ближе» примыкающей к системе экспериментальных точек М, (х„ yj, 1=1,2,..,п, заданной табл. 4.1 (рис.4.3).

Рис. 4.3. Геометрический смысл задачи среднеквадратичного приближения.

При нахождении уравнения регрессии интерполяционный подход заведомо является неудачным, т.к. не требуется, чтобы значения эмпирической функции (pfo) совпадали с

экспериментальными значениями у, .Достаточно, чтобы разность их [ф(xt)-yi\ » была мала в известном смысле.

Построение уравнения регрессии (эмпирической функции) состоит из 2 этапов:

1)выбора общего вида уравнения регрессии,

2)определения его параметров.

Удачный выбор уравнения регрессии во многом зависит от опыта экспериментатора, исследующего какой-либо процесс, явление.

Часто в качестве уравнения регрессии выбирают полином

методом наименьших квадратов (МНК), который широко используется при изучении какой-либо закономерности на основе наблюдений или экспериментов.

Разработка этого метода связана с именами математиков прошлого - К.Гаусса и АЛежандра.

4.3.1. Метод наименьших квадратов

Допустим, что результаты эксперимента представлены в виде табл. 4.1. И уравнение регрессии записывается в виде (4.18), т.е. зависит от (/п+1) параметра а0, а ,, а2,..., ат:

Аг=0

Эти параметры и определяют расположение графика эмпирической формулы относительно экспериментальных точек М, (xh yj, /=1,2,..,и (рис.4.3). Однако эти параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график

уравнения регрессии был расположен как можно ближе к системе экспериментальных точек.

Введем понятие отклонения значения уравнения регрессии (4.19) от табличного значения у, для дс,-

S { а О > а 1 1 а 2 >” • й ш )

Используя необходимые условия экстремума функции

нескольких переменных, получим так называемую нормальную систему для определения неизвестных коэффициентов

Для аппроксимирующей функции (4.19) система (4.22) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных а0, ах, а 2,..., а т

Если т>п, то существует бесконечно много многочленов (4.19), минимизирующих функцию (4.21). Если т=п-1, то существует только один многочлен (4.19), минимизирующий функцию (4.21). Будем считать, что т<п—1.

Чем меньше т, тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше.

4.3.2. Линейная эмпирическая формула

Самой простой и популярной является аппроксимация (приближение) прямой линией, так называемой линейной регрессией. Рассмотрим МНК для такого случая, когда

Согласно МНК наилучшими параметрами функции <р(х,а,Ь) считаются те, для которых сумма квадратов отклонений S(a. Ь) является минимальной:

$(а,Ь) = '£ (ф ,,а ,Ь )-у ,)2 = Y jfi+ bx,- у ,) 2 (4.24)

/и I =I

Для минимизации функции S=S(a,b) достаточно продифференцировать ее по параметрам я и А и приравнять производные нулю.

Врезультате чего получим систему линейных

Решив эту систему относительно неизвестных а й в , получим:

(4.26)

/=I /=1____ /=]____ /=1