1.Методы последовательного поиска (методы перебора, дихотомии, золотого сечения и др.);

2.Методы, использующие аппроксимацию функции (методы квадратичной и кубической интерполяции и др.).

Рассмотрим некоторые из этих методов.

Метод перебора или равномерного поиска

Данный метод является простейшим из прямых методов минимизации и состоит в следующем:

Отрезок [а,Ь\ разбивается на п равных частей точками деления:

Вычислив значения Z(x) в точках х„ путем сравнения находится точка х,„ (где т - число от 1 до п) такая, при которой

Z(xm)=minZ(x,) для всех / от 1 до п.

Погрешность 8 определения точки минимума хт функции Z(x) методом перебора не превосходит величины е=(Ь-а)/п.

Метод дихотомии (или половинного деления)

Идея метода заключается в том, чтобы на каждом шаге итерации (п = 1,2,...) целевая функция Z(x) вычислялась только в двух точках, и при этом вдвое уменьшалась интервал неопределенности (ИН).

Исходя из свойства унимодальности функции, можно построить такую стратегию последовательного поиска точки

неопределенности). В самом деле, вычисляя Z(x) в точках Х\ и х2 таких, при которых а <х\ < х2 < Ь, можно локализовать интервал неопределенности путем анализа полученных значений функции

Этот расчет выполнен с использованием электронных таблиц Excel.

Метод золотого сечения

Этот метод также является последовательным {итерационным) методом оптимизации. Опираясь на свойства золотого сечения отрезка, этот метод использует найденные значения Z(x) более рационально, чем метод дихотомии, что позволяет переходить к очередному суженому интервалу неопределенности после вычисления одного, а не двух значений

Z(x).

Деление отрезка на две неравные части так, что отношение всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части, называется золотым сечением этого отрезка.

Каждый отрезок [а,Ь] содержит два золотых сечения, которые располагаются в точках

симметрично относительно центра интервала неопределенности

в золотых сечениях отрезка.

2)Затем в этих точках вычисляются значения целевой функции Z(x); при этом только на первом шаге («=1) целевая функция вычисляется в двух точках. На всех последующих шагах («=2,3,...) Z(x) вычисляется только в одной вновь найденной точке суженого интервала неопределенности (значение в другой

точке отрезка оказывается вычисленным на одном из предыдущих шагов).

£>0 — заданная погрешность определения точки х .

Число п шагов метода золотого сечения, обеспечивающее заданную точность 8 нахождения точки х , можно посчитать заранее, оно должно удовлетворять неравенству:

Ф~ а )

■Пример 8.9. Решить пример 8.8 методом золотого сечения. Вычисления проводим по формулам (8.93)-(8.96), представив

результаты в табл. 8.5.

е 3< е ,

точность

достигнута