где N(e) - матрица-строка, элементы которой в специальной литературе по методу конечных элементов [26, 34] называют функциями формы конечного элемента.

Функции формы можно вычислить в каждой точке конечного элемента через координаты самой точки и координаты узлов элемента.

Определение аппроксимирующей функции элемента можно выполнить один раз для типичного элемента области, безотносительно к его топологическому положению в ней. Полученная функция используется далее для всех остальных элементов области того же вида. Эта особенность является важным аспектом МКЭ. Благодаря ей элементы с однажды определенными функциями легко включаются в библиотеку элементов соответствующих программных комплексов. Далее эти элементы применяются для решения разнообразных краевых задач.

Составление разрешающих уравнений

Разрешающие уравнения МКЭ составляют для нахождения

узловых значений искомой функции.

Для получения этих уравнений чаще всего используется метод, основанный на вариационной постановке задачи. Этот метод требует минимизации некоторого специально подобранного функционала, который связан с физическим смыслом задачи. Подбор функционала является нетривиальной процедурой, требующей глубоких знаний в конкретной предметной области. Некоторые из этих функционалов приведены в главе 6. Например:

■В задачах строительной механики и теории упругости, если задача решается в перемещениях и на границе области заданы их значения, то минимизируется потенциальная энергия системы (6.82).

■При решении задачи распределения тепла минимизируется функционал (6.81), связанный с соответствующей краевой задачей.

Процесс минимизации функционала приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой функции, которая и представляет собой

разрешающие уравнения МКЭ.

Решение системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений, полученная в процессе минимизации функционала, обладает положительно определенной симметричной матрицей ленточной структуры, для численного решения которой обычно используется методы: блочного исключения Гаусса, Холецкого, LDLT-факторизации и

др. [13, 14, 26]. А для уточнения полученного решения -

итерационные методы.

Из решения этой системы определяют значения неизвестных узловых значений искомой функции, т.е. получают приближенное решение краевой задачи.

Вычисления, проводимые с помощью МКЭ, весьма громоздки для ручного счета, даже в случае решения очень простых задач.

7.2.Д и с к р е т и з а ц и я о б л а с т и

7.2.1.Классификация конечных элементов

Конечные элементы можно классифицировать по нескольким признакам.

■ наиболее очевидная классификация элементов - по их геометрической форме-, одномерные, двухмерные и трехмерные.

Одномерный конечный элемент

Простейшим среди элементов является одномерный элемент. Схематично он обычно изображается в виде отрезка (рис.7.2), хотя и имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используется при расчете стержневых систем (рам, ферм, арок), в одномерных задачах распространения тепла и т.п.