Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Матвеев С.С. Гирокомпасы и гирогоризонткомпасы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 366 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ось Oii2 направлена вдоль вектора — V, ось 0 £ 2 совпадаете осью 0£, а ось 0 £ 2 образует с осями Оп2 и 0 £ 2 правую систему координат.

Описанное выше движение точки подвеса ЧЭ гирокомпаса в инерциальном пространстве в соответствии с методом, предложенным А. Ю. Ишлинским [10], можно рассматривать как относительное ее движение по поверхности неподвижного в инерциальном пространстве эллипсоида вращения, имеющего размеры земного референц-эллип- соида, с линейной скоростью V.

Исходя из выражений (1.4.3) и рис. 1.11 следует, что вектор V

составляет угол 8Х	с осью —Он и вращается вокруг оси					0£ с угловой
		скоростью	[см. (1.4.3)			ирис. 1.11]:
		c u S, =	C 0 S + 6 i		U sin ф +
		c u S, =	C 0 S + 6 i
		i	_ _ ^ t g 9		+	61 . (1.4.14)
47			RH
47	-v.	V
/1	-v.	V	угловая		скорость		вра
/	4	Суммарная	угловая		скорость		вра
*А		щения вектора		К (системы 0£2 г)2 £2 )
		в инерциальном пространстве					бу
		дет равна
			Р	fci		(1.4.15)
			Р	fci		Si

Рис. 1.12.

вокруг оси Ot, с угловой

При	этом вектор	, определя
емый	выражением	(1.4.6), состав
ляет	угол б с осью 0\ и вращается

скоростью:

		и,	©t - f б = £/ sin ф -+-		tgq> + 6.		(1.4.16)
Суммарная же угловая скорость				вращения	системы	ОЬ,ХУ\£Х	В инер
циальном		пространстве будет:
							(1.4.17)
где	и	tDg определяются соответственно выражениями					(1.4.6) и
(1.4.16).
	Линейное ускорение точки подвеса ЧЭ при указанном относитель
ном ее движении по неподвижному в инерциальном						пространстве эл
липсоиду		равно
				dt			(1.4.18)
			J	dt

Представив далее вектор		V в виде У = — щ2У,		где -q2 — орт оси От}2
на основании (1.4.18) получим:
		ас
Вектор	Y]2 , в свою очередь, может быть представлен				в виде % =
= w D X 172-	Отсюда окончательно можно написать:
	. / ^ - [ ( О р Х ^ У - ^ У .				(1.4.19)
Проектируя векторное		равенство	(1.4.19) на оси 0 £ 2 ,		0rj2 и 0 £ 2 и
учитывая, что согласно рис. 1.11
	( 0 ^ = 0 ^ COS		( 6 - 6 , ) ,
будем иметь:
	/&, = V«>b = ycDS,; /п.= — У;				(1.4.20)
	к> = —щУ=	— eog.cos (б —6J У.

Введем	дополнительную систему		координат 0£T]£I		(рис. 1.12),
оси которой направлены:		0£i — вдоль оси 0£		(гравитационной вер
тикали), OT)I — вдоль оси Or]!, ось			0£i образует с осями 0£i и Ог)1

правую систему координат и располагается в плоскости 0£].£:L> со

ставляющей угол б с плоскостью	истинного меридиана (см. также
рис. 1.10 и 1.11).
Промежуточные выражения для составления уравнений движений
чувствительного элемента гирокомпаса относительно системы

<?i*rjiCiСогласно рис. 1.12, можно написать таблицу косинусов уг

лов между осями систем	0£2 г]2 £2 и 0£iT]i£* В виде:.
1г
cos (б — Ьг) cos х2	sin (б — Ьх) cos х2	sin х2
—sin (б—бх )	cos (6 — бх )	0
— cos (б — бх) sin х2	—sin х 2 sin (б—бх )	COS У.2
3*		51

Проекции ускорений (1.4.20) на оси 0£, Оц и	0£*, с учетом
рис. 1.12 и (1.4.21), соответственно равны:
/ „ = Vcog, cos (6— б^соэха — co\|iycos(6 — e^sinxg—		1
— V sin (б — бх ) cos х2 ;
Ь = /п.= —V a b sin (б — 6J — l/cos(6 — 60;	j	(1.4.22)
/ » = —co^Vcos (6 — 6X) cos x2 — Уш^ cos (6 — Sx) sin x2	+
4

+ Vsin(6—6X ) sin x2 .

Рис. 1.13.

Проекции абсолютной угловой скорости w' на эти же оси, согласно рис. 1.12, будут равны:

° V =	ш 1 . c o s	« 2 +	sin х2 ;
со » = со^ = 0;	со „ =	©j, cos х 2 — co^sinxa,		(1.4.23)
111	ч

где со^ и определяются выражениями (1.4.6) и (1.4.16).

На основании всего изложенного составим выражения для проек ций абсолютной угловой скорости вращения ЧЭ, а также линейного

ускорения его точки подвеса на оси координатной системы OXYZ, показанной на рис. 1.1. Для этого воспользуемся рис. 1.12 и 1.13, где: а х — угол отклонения оси ОХ ЧЭ от плоскости 0£i£i вертикала, проходящей через вектор со . ( а х > 0 — к западу); •& — угол откло-

нения оси ОХ ЧЭ от плоскости О^т)* горизонта; ( f t > 0 — вниз); Р — угол отклонения оси OZ ЧЭ от плоскости 0£*Х вертикала, прохо дящей через ось ОХ; положительное его значение показано на рис. 1.13.

Исходя из рис. 1.13 можно составить следующую таблицу косину сов углов между соответствующими координатными осями:

ОХ

		01\					от,;
	cos	а х	cos Э			cos 8 sin			«!
— sin		ctj cos		р -f-		cos	at	cos	p +
-f-	cos	а х	sin	(3 sin ft	+	sin	at	sin	p sin Ь
cos	% cos		p si n ft +		— cos ai sin P -{-
	+ sin аг sin P				+	sin a x		cos	p sin %

<OY*

— sin a			0
			(1.4.24)
cos	& sin	p	cos p
cos	Э cos	p	— sin p

Абсолютная угловая скорость вращения ЧЭ в рассматриваемом случае равна геометрической сумме переносной угловой скорости (1.4.23), с которой вращается в инерциальном пространстве коорди

натная система 0£irii£i, и						относительной угловой скорости соо т н =
= а х +	9- +			(3, с которой ЧЭ			вращается по отношению к указанной
системе координат. Проектируя эти угловые скорости на оси OX,								OY
и OZ и принимая					во внимание табл. (1.4.24) ирис. 1.13, получим			сле
дующие выражения для интересующих нас проекций:
р = В +				©£* cos а х cos ft— ^ах -\- ю £ . j sin ft;
q = ft cos 6 +					со.» (— sinax		cos 6 + cos ax sin 6 sin ft) -+-
+	j\|a	x	+	£	cos ft sin В;		(1.4.25)
				co»j
r =	[ a i + Ю Е Л				cos ft cos	В—ft sin В -f-
+	<o . (cos ax				cos В sin ft +		sin ax sin 6).
	5 i

Проекции [см. (1.1.19)] линейного ускорения у, определяемого равенствами (1.4.22), и ускорения g0 на оси OX, 0Y и 0Z в свою оче редь могут быть представлены в виде:


1 х = /е * cos	cos •& + ]'ц * cos •в- sin ссх — ^g0					+	/ £ . j sin
/jj = /.*(—sin	ax	cos В +		cos o^sin 6 sin ft) +
+ / ч . (cos <*! cos		6 + sin ax		sin 6 sin ft) +		+	/£ . j cos ft sin 8; ^ (1.4.26)
/* = / , (cos a±	cos		В sin ft +		sin 0^ sin B) + /	. (— cos ax sin В +
+ sin a± cos В sin			ft) +	+	/E * j cos ft cos B.

Промежуточные выражения для составления уравнений движения чувствительного элемента гирокомпаса относительно системы O^yjZ,.1 Применяя метод неподвижного в инерциальном пространстве эллип соида и пользуясь рис. 1.10 и 1.11, получим следующие выражения для проекций абсолютного ускорения точки подвеса ЧЭ на оси 0£, Оч\

и 0£:

i"E =	V£ eoE +V'J V ; / „ = — VE			+ VN(*z,		k=—^VE-w^VN,			(1.4.27)
где VN	и	VE—	определяются	выражениями			(1.4.4), а		со*, со,, и cot —
(1.4.3). .
Подставляя			указанные выражения			в (1.4.27), будем иметь:
		k = vN + {RHUcosф		+ vE)		^t/sinq> +		^tgq>J;
/ Ч =		Я Я 1/ sin фф — U cosq>Rn			— vE	+ vN	\|V	sintp +	^ t g i p j ;
		/ Е	= —(f/cosq> + ^		(RHU cos<p +			v E ) - ^ .
При этом следует иметь в виду, что [34]
					UiV^e2	cos2 ф			(1.4.28)
					1 — е2				(1.4.28)
					1 — е2

1 Такие уравнения движения нам представляются более удобными при исследовании корректируемых гирокомпасов, у которых в положении невоз мущенного движения главная ось ЧЭ располагается в плоскости истинного меридиана.

Произведя преобразования с учетом (1.4.3) и (1.4.28), получим:

к = R»ViU*+ ид, + 2vEU2+	tg Ф ;
	AH
Ы = —vE + 2vNU2 + ^ t g Ф	; J	(1.4.29)
A H
n 2	- i 2

Выражения (1.4.29) представляют собой проекции абсолютного уско


рения точки подвеса ЧЭ гиро
компаса на оси 0£, Oil и 0£ со
ответственно.				На	основании
рис.	1.10 и равенства					(1.4.1)
нетрудно		убедиться, что пер
вые члены правых частей пер
вого	и	третьего			выражений
(1.4.29)		представляют				собой
проекции			соответственно на				Us)
оси 0£ и 0£ центростреми
тельного		ускорения / ц				точки
подвеса		ЧЭ, обусловленного
вращением			Земли. Это уско
рение входит				в	выражение
для	ускорения g силы тяже
сти	вместе		с ускорением зем
ного тяготения. Вектор						уско	Рис. 1.14.
рения g направлен					вдоль оси

01(см. рис. 1.10).

Сучетом изложенного выражения (1.1.19) можно теперь написать

ввиде:

	ix=]x—gx;				]y=iy—gy;	)z=]z—gz,		(1.4.30)
г Д е gx> Sy и	gz — проекции ускорения g силы тяжести на оси OX, OY
и OZ соответственно;				j x , jy и / 2 — проекции			на те же оси ускорения
Проекции этого ускорения на оси 0£, Ох\ и 0£ будут								равны соот
ветственно	[см. (1.4.29)]:
	k	•		•	4		}
	k		= vN +		2vEU2+-^tg(p;		I
						А н	I

/ п = — vE + 2vNUz		+	R»	tg<P!
			R»	(1.4.31)
				(1.4.31)
5	RH	RM

Искомые выражения напишем с помощью рис. 1.14, где а — угол отклонения главной оси ОХ ЧЭ гирокомпаса от плоскости 0££ истин ного меридиана (ос > 0 — к западу). При этом (см. рис. 1.12 и 1.13):

					а = а х +		б;			(1.4.32)
0 — угол отклонения				главной оси ОХ ЧЭ гирокомпаса от плоскости
0£т) истинного горизонта					(Э>>0 — вниз), причем (см. рис. 1.12, 1.13 и
1.14)
										(1.4.33
fS — угол отклонения				оси 0Z ЧЭ от плоскости 0X1, вертикала, про
ходящей через ось ОХ.
	Исходя из рис. 1.14 можно составить следующую таблицу									косину
сов углов между соответствующими координатными осями:
		01						ot	OY*
ОХ		cos a cos 9			sin oc cos 9			— sin 6	0
	—	cos р sin а	+		cos a cos P +					(1.4.34)
OY	—	cos р sin а	+		cos a cos P +			cos 9 sin p	cos P
OY	-f- cos а sin ji		sin 8	+	sin a sin f> sin	6		cos 9 sin p	cos P
	-f- cos а sin ji		sin 8	+	sin a sin f> sin	6
01	' sin a sin P -f-			—	cos a sin p -f-			cos 0 cos P	— sin p
01	- f	cos a cos p sin 6		- f	sin a cos P sin 9			cos 0 cos P	— sin p
	- f	cos a cos p sin 6		- f	sin a cos P sin 9
	Абсолютная угловая скорость вращения ЧЭ в рассматриваемом
случае равна геометрической сумме переносной									угловой	скорости
[см. (1.4.3)], с			которой		вращается		в инерциальном пространстве

координатная система 0£т]£, и относительной угловой скорости w0 T H = = а + G - f р, с которой ЧЭ вращается по отношению к указанной системе координат. Проектируя все эти угловые скорости на оси ОХ, OY и OZ и принимая во внимание табл. (1.4.34) и равенства (1.4.3), по лучим:

р = р +		[ U cos ф +		~	\ cos a cos В + — sin а cos 0 —
				"	R*
- a + * / , +			_E_		sin8;
- a + * / , +			^ t g ( p		sin8;
			R«
q— 8cosP+			+		(—sinacosP + cosasinPsinS)-
+	— (cos a cos p +			sin a sin p sin 8) +		(1.4.35)
	RM					(1.4.35)
	RM
+	^ a +	£ / 8 + ^ t g q > ^			cos 0 sin P;
r = (		+ — ]	(cos a cos p sin 8 + sin a sin p) +

УRH /

+	— (sin a sin 8 cos p —cos a sin P) +
	R м			t g фj cos 8 cos P — 8 sin p.
+	^ a + t / 2		+
Проекции			[см. (1.4.30)] ускорений / (/g, /г,, k) и g (gg, g^ и gE) на
оси	OX, OY		и OZ в свою очередь могут		быть представлены в виде
(см.	рис. 1.14):
	/.* = / \| cos a cos 8 + /т, sin a cos 8 — (g +				/ J sin 6;
	fy= h (—sin a cos p + cos a sin P sin.0) + ] \ (cos a cos p +
	+	sinasinPsin0) + (^ + /g)cos0sin P;			\ (1.4.36)
	iz = i \| (sin a sin P + cos a cos p sin 0) +				/V, (— cos a sin P +
	+	sin a cos p sin 0) + (g-\- j^) cos 0 cos p,
где /\|,		/т, и ji	определяются выражениями (1.4.31).

§ 1.5. Уравнения движения чувствительных элементов гирокомпасов, составленные с учетом несферичности Земли для случая произвольного маневрирования судна

На основе всего изложенного выше (см. § 1.4) нетрудно убедиться, что для составления дифференциальных уравнений относительно системы OliT)!^* достаточно подставить в общие уравнения, получен-

ные в § 1.1—1.3, которые справедливы для случая произвольного перемещения точек подвеса ЧЭ гирокомпасов относительно Земли, выражения для р, q и г, согласно (1.4.25), с учетом (1.4.23), (1.4.6) и (1.4.16), а также для /*., j*y и }*г, согласно (1.4.26), с учетом (1.4.22), (1.4.6), (1.4.14), (1.4.5) и (1.4.12). Указанные выражения были полу чены в § 1.4 и относятся лишь к случаю произвольного маневриро вания судна при отсутствии качки.

Следует заметить, что величины j x , j y и j z являются функциями разности углов б и бх , определяемых выражениями (1.4.7) и (1.4.8).

Между	тем вычисления по формулам (1.4.13) и (1.4.7) показывают, что
6-6,,Д!/Г.С		величина		б — б х	в реальных	случаях			ока
6-6,,Д!/Г.С		зывается		весьма незначительной. Так, напри
		зывается		весьма незначительной. Так, напри
		мер, при движении судна вдоль меридиана,
		когда угол б имеет наибольшее значение,
		максимум		разности б — бх даже			при		vN =
		= 40	уз	лишь	незначительно		превосходит
		одну дуг. мин (рис. 1.15). Отсюда						с	доста
		точно	высокой степенью точности можно при
		нять	[см. (1.4.7)		и (1.4.16)]:
		6x^6 = arctg
					flM{;cos<p-f-yF	—			(1.5.1)
						RH			(1.5.1)
О 10 20 30 W 50 60 70 80 f m £,				=£/sincp - f - ^ tgcp +			6.
	Рис. 1.15.				A n
С учетом (1.4.23) и допущений				(1.5.1)1 выражения		(1.4.26)		примут
вид:
j ' x	= Vcoj.coscc! cosft — V cos Ф sin aa				— (g0—Vw^	] sin ft; ]
j y	= Kco£. (—sin ax	cos 6 -bcoso^ sin 6 sinr})—
— V (cos ax cos 6 +		sin ax sin 6 sin •&) 4-

+ (go — V<U%* j cos •& sin B;

jl = Vco£ . (cos c^cos 6 sin-ft + sin c^sin B) — l

— V (—cos ax sin 6 + s i n ax cos В sin^ - b + ^fo — Va>^ j cos •& cos B.

(1.5.2)

)

1 Пользуясь выражением (1.5.1.) можно показать, что влияние несферич ности Земли, например, на величину 6 в некоторых случаях является существен ным.

Таким образом, при условии допущений (1.5.1), для получения интересующих нас дифференциальных уравнений нужно, кроме уже упомянутых подстановок, также подставить в соответствующие об щие уравнения величины j x , ] у и ] г согласно (1.5.2).

Для получения уравнений движения относительно системы 0£г)£ необходимо в те же общие уравнения подставить выражения (1.4.35) для р , q и г и (1.4.36) для j*x, j*y и fz с учетом (1.4.31).

§ 1.6. Уравнения движения чувствительных элементов гирокомпасов, составленные с учетом допущения

о сферичности Земли для случая произвольного маневрирования судна

Преобразования и упрощения выражений, приведенных в § 1.4 и 1.5. В большинстве работ по теории гирокомпасов, как известно, Землю принимают за шар радиусом R = 6371 км, откуда RU = 900 уз.

При этом считают, что гравитационная вертикаль 0£* совпадает с геоцентрической вертикалью 0£',и картина, приведенная на рис. 1.10,

принимает вид, показанный на рис.						1.16. Как видно			из данного	ри
сунка, в	рассматриваемом			случае х2		=	Ф — ф'. VN		COS (cp — cp') =
= /?ср' и	vE = OAK = R cos q>'X. Сравнивая эти выражения 1 с соот
ветствующими		выражениями			(1.4.3),	получим:
		RH = R cos ф'/cos у = OA/cos у = OB;							(1.6.)
		flM =		.Rsec((p — Ф')ф7ф.					(1.6.2)
Если	подставить (1.6.1)			в	(1.4.2)	и	положить срг = ф' (хх =			0),
то будем	иметь:
			sin.K„ = — sin2m'.						(1.6.3)
Выражение		(1.6.3) можно			непосредственно			получить также		из
рис. 1.16,	аналогично выражению (1.4.2), и рис. 1.10.
Подставив далее (1.6.1) и (1.6.2) в (1.4.3) — (1.4.8), (1.4.14), (1.4.16)
и учитывая, что угол х 2			не превосходит 5,9 дуг. мин						[39], ввиду чего
1 При принятии Земли			за эллипсоид			[30]	х2 я —	(<р — <р').

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 366 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ