книги из ГПНТБ / Матвеев С.С. Гирокомпасы и гирогоризонткомпасы

вращения

рассматриваемого

физического

маятника

(системы

OxXxYxZx)

на оси 01Х1,

0XYX

и 0XZX

соответственно; L.v, и

L U i —

проекции на оси 0ХХХ

и 0XYX

вектора

момента,

создаваемого всеми

ции от переносного движения системы Oxb}L

кроме сил реакции ротора

гироскопа на его камеру, которые

создают

момент dHldt,

учтенный

в уравнениях

отдельно.

Напишем сначала выражения для рх, qx

и гх. Для этого спроекти­

руем на оси 0ХХХ, 0XYX и 0XZX угловые скорости а, 0М и |3М относи­

тельного движения маятника по отношению к системе 0ХЪ\^,

а также

показанные на рис. 1.20 угловые

скорости UX + V°EIRX,

V°^IRX И

U\ "т [vQ/Ri]

tg ф системы Ox^riC

по отношению к инерциальному

ная

вертикаль

0£* совпадает

с геоцентрической вертикалью 0£'

(см. рис. 1.10 и 1.16).

Итак, в общем случае качки судна будем иметь:

=

ft»o. Л ,

(1.8.7)

о

где

R \ , R \ — расстояния точки

Oi от центра Земли в случае соот­

ветственно наличия и отсутствия качки судна;

v°' — скорость движе­

ния точки Ох

по отношению к Земле в направлении оси 0^ , обуслов­

ленная качкой.

Из рис. 1.20, аналогично выражениям (1.6.15), для рассматривае­

мого случая

получим:

Pi =

Рм + а

% c o s а c o s

6М "г"ш11s ' n а c o s

—

— ( а + co£ )sin9M ;

Qi = 0М cos Вм +

С0| (—sin а. cos 8М + cos а sin Вм sin 0М) +

+

©т, (cos а cos Вм

+ sin а sin Вм sin 0М) +

(1.8.8.)

+ (a+co£ )cos 0М sin Вм ;

rx =

С0| (cos a cos 6М sin 0М + sin a sin 6М) +

+ ап

(sin a sin 0Mcos 6М — cos a sin Вм) +

+

(а 4- со£) cos 0М cos Вм —0М sin В н >

где

Представим далее

моменты

LA-, и L U l в виде:

L ^ L i .

+ L l +

L;,;

^ , = 4

+ 4

+ 4 .

(1.8.9)

Здесь

Li , и L'y , — проекции

соответственно

на

оси ОхХх

и 01Y1

момента, создаваемого действующими на маятник

силами

инерции

и тяготения

к Земле;

L d X t и

L y i

— проекции соответственно на оси

0ХХХ

и O i l 7 !

демпфирующего момента L d ; L*-, и L*yi

— проекции соот­

ветственно на оси ОхХх

и OxYx

момента, создаваемого всеми другими

приложенными к маятнику внешними силами.

Напишем теперь выражения для моментов L ' x ,

и LJyr При этом уч­

тем,

что проекции абсолютного ускорения

точки,

перемещающейся

скоростью vE,

на оси, связанной

с Землей

координатной

системы

0ХЪ% (или O&nQ, определяются

выражениями

(1.6.12).

В рассматриваемых условиях качки судна расстояние Rx

точки Ох

от центра Земли

определяется

выражением (1.8.7), и она

обладает

дополнительным

ускорением v°' в

направлении

оси Ох£,х,

которое

в выражениях

(1.6.12) не учтено. Кроме того, в тех же выражениях

не учтены поворотные ускорения

и v^yUi

+ — J,

векторы

Нетрудно убедиться, что выражения для моментов L ' X i и L\J x

можно

представить в виде (см. § 1.4):

4 = - м ; 0 ; , ;

L^-M*rfXi.

(1.8.П)

где М* — масса всех частей основного компаса, подвешенных

в нак­

тоузе в точке О и I* — расстояние

их общего центра тяжести от этой

точки; /Х ] и /У ( — проекции соответственно на оси ОуХу и ОуУу

уско­

знаком [см.

(1.4.30)

], равные:

/ * , =

i\

c o s а c o

s е и +

i ° ' s i n а

c

o s 6

м—

(s

+ /'t') s i n

9 м ;

С=

's'

( " c o s

PMs i

n а + c o

s а

s i n

P«s i

n 9 M) +

(1.8.12)

+ y ° l ( c o s a c o s P M +

+

sin a sin pM sin 6 M ) +

(g +

j^)

cos 8И sin 6M .

~^€м\Ги

j^«M;I:;

^ « м ; / ; ;

J-^«MX

(\Я.Щ

Ну

Ну

Ну

Ну

(1.8.14)

- oO l + 2 0 o l t / 2 +

_5L£_tgV -

—o°.

2U.+

В уравнениях (1.8.14) величины v%', v°E\ v\\',

V°N и V°E опре­

деляются выражениями

(1.7.5)—(1.7.8)

и (1.8.10).

Уравнения движения относительно

системы OI§*IJ*CI.

Аналогич­

ным образом могут быть составлены дифференциальные

уравнения

движения

относительно системы О&г]^,

ось Oi£i которой направлена

вдоль радиуса Земли

(см. рис. 1.12 и

1.16). Для этого

обратимся

к рис. 1.21, где введены следующие координатные системы:

O^rft*

— система

координатных

осей, связанных

с Землей,

Рис.

1.21.

касательной к земной сфере, к северу; ось 0^*

образует с осями 0Х £*

и Ох £* правую систему

координат;

Oi£iT]i£i — система

координатных осей, повернутая относительно

системы Oi£*V£* вокруг оси Oi£*

на угол 6?', определяемый равен­

ством:

8f- = arctgf

""'А

(1-8.15)

где v%x и Ufi — линейные скорости точки Ох

в направлении осей Ох\*

(1.8.16)

riO.

(1.8.17)

со.

При этом величины v%1 и v°Ex определяются

выражениями (1.7.7) и

V\IR\

и tog, с

которыми система Oi?*rji£i вращается в инерциальном

пространстве в случае качки судна, также указаны на рис. 1.21.

Проектируя угловые скорости х, т}м , 6М, VXIRX

и cos на оси 01Х1>

OxYx

и OxZx,

получим проекции абсолютной угловой скорости маят­

ника на эти связанные с ним оси соответственно:

Pi = К + ^ c o s х c

o s *» - (х + «Ч)s i n ®«;

кх

(1.8.18)

+

(х + а[) cosftM sinBM ;

г, = (х +

coj) cos ftM cos 6 M - f t M sin p„ + | i - X

X (cosxcosPM sinT3-M 4-sinxsinPH ).

Аналогично

выражениям (1.6.11) для случая

движения точки Ох

Rx

будем

иметь:

;0, __ у .

;0, _ V lVA

(1.8.19)

где

/°» и /?•— проекции линейного

ускорения

точки О на оси

5 i

\

.

OiSi, OiT)* и

соответственно.

Выражения (1.8.19) справедливы для случая Rx

— const. В рас­

сматриваемом же случае качки судна Rx

изменяется, и точка Ох

имеет,

дополнительное

по сравнению с (1.8.19)

ускорение

вдоль оси

Ofa,

§ 1.9. Выражения

для проекций

линейных

скорости

и ускорения точки

подвеса чувствительного

элемента

гирокомпаса,

обусловленных

качкой судна

г>1 = 6М х h;

v2 = рм х

lx,

v3 = а х

lx,

где

(1.9.1)

1Х =—Zxlx,

Z x ~ o p T

оси

OxZx и lx

= OxO. j

vx

= QJX

sin (90° -

Вм) =

djx cos B„;

(1.9.2)

« 2

=

Рм'ь

v3 = al1sm(£lX;

—Zx).

Нетрудно убедиться, что

sin (С;'— Z1 ) = sin(Z1 ;

£) = ] /

1 — cos2 GH cos2Bb,

(1.9.3)

Применительно к

малым

значениям углов 0М и 6М на основании

(1.9.2) и (1.9.3) приближенно

получим:

(1.9.4)

Проекции скоростей vx

и v2

на оси Ох%, — Охт] и Ох£, будут равны

соответственно (см.

рис.

1.20):

vNa = —и, cos a cos 8М

+ о, (—sin a cos Вм +

cos а sin Вм sin 8М );

и £ ц = — y , s i n a c o s 0 M — v 2

(cos а cos 6м -(-sin а sin 8м sin 9М );

(1.9.5)

N0

1 \ и 1 "м

1 "м ) ' £„

1 ^"м 1 м 1 м ) ' (19 7)

v

- I т

0

_|_я р +

9 2

I кз\

£о

1 I,

м м

1 " ы " м 1

м 1

t'ul

^ = < H - ^ o - = l 0 i C o s K + 1 i 0 i s

i n ^ - i ,

(в„ + М

vE = xfld + vEo = - л 0 , cos К +10,

sin К-1,

( Р и - f 8 и а)

(1.9.8)

»Sr = 5 0 t cos iC + Л 0 .

/С—2, (0м + Р м а + р > ) ;

vE

= - r , 0 i cos К +10,

sin tf-/, (Р н +

Эн а + 8м а)

(1.9.9)

где t0 , f) 0

и £ 0 определяются

выражениями

(1.7.6).

о", = 10_ cos К+V

sin К - 1 , [*„ + Р м

[х+бк)];

v* = - л 0 , cos К+

l 0 i sin K - l , [Рм + %

( * + б к ) ]

(1.9.10)

^ = i 0 l C O S * + Ч s i n

ft,+P„

( * + . « . ) + P «

( * + б к ) ] ;

" l = - % 1 c o s X + l 0 l s i n / C - / J P M + * H ( ^ + e K ) +

* M ( i + 6 K ) ] ;

> (1.9.П)

"'"c-eo. +

' i ( * и * и +

РыРм + * - + Р2 м ).

где | 0 , r\0

и £0 определяются

выражениями (1.7.5), a £ 0 , r i 0

и t,Q —

(1.7.6).

обозначениями равно (см. рис. 1.21):

RK = R + Udt,

(1.10.1)

где R = R\ — 1\ — расстояние точки О подвеса ЧЭ от центра

земной

сферы при отсутствии качки; R\ — расстояние точки

0\

подвеса

посредственно получить

из

уравнений их движения

по

отношению

к той же системе, составленных для случая произвольного

перемеще­

ния точек подвеса ЧЭ по земной сфере неизменного радиуса R,

если

подставить в последние: вместо R величину RK, определяемую равен­

ством (1.10.1); вместо vN,

vE,

vN и vE—соответственно

величины

v1^,

vE, и* и vE,

определяемые

равенствами (1.9.8) и (1.9.9), и вместо

g—

величину g +

v^, где w£ определяется выражением (1.9.9).

vKN

(

«" \

нительные ускорения v\ —

и v\ I 2с7,-)

I . При этом получен­

ии

\

&К}

движения ЧЭ гирокомпасов по отношению к системе О ^ Г Ц ^ ,

состав­

ленных для случая произвольного перемещения точек их

подвеса

по земной сфере неизменного радиуса R, произвести указанные выше

для R, vN, vE, vN и vE, а вместоg0

подставить g-0 + х%.

В выражении же составляющей

линейного ускорения точки под­

р =

Р - f

cos х cos

ft—(JC+CU")

sin ft;

<7 = ft cos 8 -f- — (—sin x cos 6 +

cos x sin P sin ft) +

+

[x+(ol)

cos ft sin P;

(1.10.2)

r=(x+a>£\

cos ft cos p—ft sin P + — (cos x cos p sin ft-f-

+ sin x sin p);

/» = V„toS cos х cos ft—(vK

+ —

u'Mcos ft sin x—

к

Ь,

^

/?к

V