книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ln y* + η .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

2.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

	=	1	τ0	ln y + C .	(7.23)
vx
		κ	ρ

Таким образом, линейное распределение скорости (7.19) сменяется логарифмическим (7.23) при турбулентном движении.

Далее необходимо провести сращивание логарифмического решения с линейным. Введем некоторые обозначения. Обозначим через δп толщину вязкого подслоя, через vгр – скорость на границе вяз-

кого подслоя с турбулентным ядром: vгр = vx (δп ) .

Обратим внимание, что величина τ0 ρ в формуле (7.23) имеет размерность скорости. Введем так называемую динамическую скорость

v* =

τ0

(7.24)

Величину δп определим из граничных условий для вязкого под-

слоя:

y = δп;

= vгр .

(7.25)

Запишем для (7.19) следующее выражение:

v =

τ0

= (v* )2

νρ

гр

откуда найдем

δп =

vгрν

(7.26)

(v* )2

Величина νv* в формуле (7.26) имеет размерность длины. Поэтому удобно ввести так называемую динамическую длину

l* =	ν	.	(7.27)

	v*
			91

В результате формула (7.26) несколько упростится и будет иметь

вид

δп	=	vгр	l* .	(7.28)
		*
		v

Теперь самое время найти величину константы интегрирования С в формуле (7.23) из граничного условия для турбулентного ядра: y = δп; vx = vгр . Получим для С следующее выражение:

C = vгр − v* ln δп .

Подставим формулу для С в (7.23) и после простых преобразований найдем

		=	v*	ln	y	+ v .	(7.29)
v	x

			κ		δп

Сращивание решений означает, что в уравнение (7.29) для турбулентного ядра необходимо подставить выражение (7.28), полученное для вязкого подслоя:

		=	v*	ln	yv*	+ v .
v
			κ		l*v
	x					гр
					гр

Придадим последней формуле безразмерный вид. Для этого поделим обе части на величину динамической скорости v* :

−

vгр

(7.30)

v* v*

Обозначим безразмерную скорость u = vx ; безразмерную коор- v*

динату y* =	y	и η =	vгр	−	1	ln	vгр	.
	l*		v* κ				v*

Соберем все новые переменные в (7.30) и запишем

Итак, получена широко известная универсальная формула логарифмического распределения усредненной скорости в пристеночной области турбулентного потока. Эта формула неоднократно сопоставлялась с экспериментальными данными при различных значениях y* (исключая очень малые значения внутри вязкого подслоя).

Из экспериментов получено значение κ = 0,4 . Границе вязкого

подслоя δп соответствует

y=δп

≈ 12 , откуда оценим толщину вяз-

кого подслоя:

= 12l*

= 12

= 12ν

τ0

Наконец, скорость на границе вязкого подслоя и турбулентного

ядра

v =

τ0

12ν

= 12

τ0

νρ

гр

τ0

Контрольные вопросы

1.Сформулировать понятия гидродинамической устойчивости

иперехода к турбулентному течению жидкости.

2.В чем отличие турбулентного течения от ламинарного?

3.Вывести уравнения Рейнольдса для развитого турбулентного движения жидкости.

4. Сформулировать полуэмпирические гипотезы Буссинеска

иПрандтля.

5.Каков характер течения жидкости вблизи стенки?

6.Вывести логарифмическое распределение усредненной скорости при турбулентном течении.

8.ПОДОБИЕ И РАЗМЕРНОСТЬ

8.1.Подобие течений вязкой жидкости. Числа подобия

Переменные, входящие в уравнения течения вязкой жидкости, и краевые условия использовались до сих пор в размерной форме. Приведем теперь их к безразмерному виду. Для примера рассмотрим двумерное движение и теплоперенос несжимаемой вязкой жидкости:

∂vx

∂p

∂2vx

+ vx

+ vy

= −

+ ν

;

(8.1)

∂t

∂x

∂y

ρ ∂x

∂x

∂y

∂vy

∂p

∂2vy

+ v

= −

+ ν

;

(8.2)

∂t

∂x

∂y

ρ ∂y

∂x

∂y

∂vx

∂vy

= 0 ;

(8.3)

∂x

∂y

∂T + vx

∂T + vy

∂

∂T = a

+ ∂

(8.4)

∂t

∂x

∂y

∂x

∂y

Введем следующие характерные величины:

l – геометрический размер, например диаметр цилиндрического канала; v0 – скорость, например скорость на оси канала или набегающего потока; p0 – давление, например, на входе в канал; t0 – вре-

мя, t		=	l	;	T	− T	– разность температур, например, горячей
	0
			v0		гор	хол

ихолодной стенок.

Спомощью характерных величин определим безразмерные переменные (будем обозначать их буквами с верхним значком «тильда»), которые свяжем со старыми размерными переменными:

;

x =

; y =

; vx

; vy

; p =

t% = t

;

θ% =

T − Tхол

(8.5)

Tгор − Tхол

Введем безразмерные производные:

∂

2 ∂

;

= l

;

∂

= l

и т.д.

(8.6)

∂x

∂t

v0 ∂t

∂x

Обезразмерим теперь уравнение (8.1):

νv0

2 %

∂vx

p0 ∂p

∂ vx

= −

l ∂t

+ vy

∂y

ρl ∂x

∂x

∂y

∂x

Помножим обе стороны уравнения на комплекс l2 (νv0 ) :

v0l	%		%		%		%		∂	2 %			∂	2 %
	∂vx	%	∂vx	%	∂vx	= −	p0l ∂p	+		vx		+		vx		.
											2				2		(8.7)
ν	∂t	+ vx		+ vy			ρνv0 ∂x		∂x				∂y
			∂x		∂y
	%		%		%		%			%				%

В уравнении (8.7) образовались безразмерные комплексы. Эти комплексы или числа подобия названы именами известных ученых.

Число Рейнольдса, которое представляет собой отношение силы инерции к силе вязкости:

Re =	v0l	.	(8.8)

	ν

При малых значениях Re преобладают силы вязкости, при больших – силы инерции.

Преобразуем второй безразмерный комплекс в (8.7):

p0l	=	v0l	p0	= Re Eu ,

ρνv0 ν ρv02

где Eu – число Эйлера, которое представляет собой отношение давления жидкости к удвоенному динамическому давлению, обусловленному конечным значением скорости жидкости:

Eu =	p0	(8.9)
Eu =	ρv02	(8.9)
		95

Аналогичным образом можно обезразмерить уравнение (8.2). Уравнение неразрывности (8.3) преобразуется тождественно к безразмерному виду:

∂v%x + ∂v%y = 0 . ∂x% ∂y%

Выразим размерную температуру Т из (8.5):

T= θ%(Tгор − Tхол )+ Tхол ,

иподставим ее в (8.4) при обезразмеривании этого уравнения:

v	(T − T	)		%	%	%	%	%		a(T − T		)		2 %			2 %
0	гор хол			∂θ	%	∂θ	%	∂θ	=	гор хол				∂ θ			∂ θ		.
					+ vx		+ vy									+
				%	+ vx		+ vy				2				2	+		2
				%		%		%						%			%
	l		∂t			%		%		l				%			%
	l		∂t			∂x		∂y		l			∂x				∂y

Помножим обе стороны уравнения на комплекс l2 a :

v0l	∂θ%	%	∂θ%	%	∂θ%		∂2θ%			∂2θ%
		%		%		=		2	+		2	.
a	∂t		∂x		∂y		∂x			∂y
	%		%		%		%			%
			%		%		%			%

В уравнении (8.10) образовался безразмерный комплекс − число Пекле, которое равно отношению конвективного теплопереноса к теплопроводному:

Pe = v0l .

Число Пекле можно представить в виде

Pe = v0l ν = Re Pr ,

ν a

где введено уже нам известное число Прандтля

Pr = νa .

В итоге получим уравнения в безразмерной форме:

(8.10)

(8.11)

(8.12)

∂v%x

= − Re Eu

∂p%

∂2v%x

;

∂t

+ vx

+ vy

∂x

∂y

∂x

∂y

	∂v			∂v					∂v														%			∂ v					∂ v
Re	%	y	%		%	y	%	%			y				= − Re Eu						∂p			+			2 %		y	+	2 %		y	;
Re			%				%								= − Re Eu									+				2		+		2		;
	∂t				∂x				∂y												∂y					∂x					∂y
	%				%					%													%				%				%
					%					%													%				%				%
								%							∂v
								∂vx					+			%	y	= 0 ;
								∂x					+		∂y			= 0 ;
								%								%
					∂θ%		%	∂θ%						%		∂θ%			=	∂2θ%			+		∂2		θ%
			Pe		∂t		+ vx					+ vy							=	∂x		2	+		∂y		2 .
					∂t			∂x								∂y				∂x					∂y
					%			%										%		%						%
								%										%		%						%

Приведенный способ обезразмеривания уравнений не является единственно возможным. Например, можно ввести следующие ха-

рактерные величины: l

–

геометрический размер;

–

скорость,

= ν ;

p – давление,

= ρv2

= ρν2

; t

– время,

. В этом

случае уравнения Навье−Стокса после соответствующего обезразмеривания не содержат вообще каких-либо безразмерных чисел:

%			%			%			%		2 %					2 %
∂vx		%	∂vx		%	∂vx		= −	∂p	+	∂	vx			+	∂ vx			;
%		%			%
%		+ vx			+ vy				∂x		∂x		2			∂y	2
∂t			∂x			∂y			∂x		∂x					∂y
			%			%			%		%					%
∂v			∂v			∂v			%		∂ v					∂ v
%	y	%	%	y	%	%	y	= −	∂p	+	2 %			y	+	2 %		y
%		%			%														,
%		+ vx	∂x		+ vy	∂y			∂y		∂x		2			∂y	2		,
∂t			∂x			∂y			∂y		∂x					∂y
			%			%			%		%					%

а роль безразмерного числа Рейнольдса выполняет теперь безразмер-

ная скорость v% = vlν .

Граничные условия III рода (или теплоотдача от твердого тела к омывающей его жидкости) после обезразмеривания приводят к появлению числа Нуссельта, которое равно отношению полного теплового потока к тепловому потоку, возникающему вследствие теплопроводности:

Nu =	αl	.	(8.13)

	λ
			97

В задачах конвективного теплообмена число Нуссельта является искомой величиной, поскольку в него входит определяемая величина α – коэффициент теплоотдачи.

Полученные безразмерные комплексы или числа подобия можно рассматривать как новые переменные. Они отражают влияние на процесс не отдельных факторов (величин), но их совокупностей, что позволяет легче определить физические связи в исследуемом процессе. Число комплексов меньше числа величин, из которых они составлены.

Зависимые безразмерные переменные теперь определяются значениями независимых безразмерных переменных и чисел подобия:

Nu = f1 (x%c , y%c ,Re,Pr,Eu) ;

θ% = f2 (x%, y%,Re,Pr,Eu) ; v%x = f3 (x%, y%,Re,Pr,Eu) ; v%y = f4 (x%, y%,Re,Pr,Eu) ; p% = f5 (x%, y%,Re,Pr,Eu).

Записанные выражения называются уравнениями подобия.

8.2. Условия подобия физических процессов

Условия подобия физических процессов − это условия, при которых результаты лабораторных исследований на модели могут быть перенесены или распространены на аналогичные реальные (или, как их еще называют, натурные) процессы. Теория подобия является теоретической базой эксперимента.

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеются два потока в геометрически подобных областях G1 и G2 с характерными размерами l1 и l2 и характерными скоростями v01 и v02 . Приведем краевые

задачи, описывающие эти потоки, к безразмерному виду. В этом случае безразмерные уравнения для этих двух задач полностью совпадут, за исключением того, что в первой задаче появятся числа

Re1 , Eu1 , а во второй – Re2 , Eu2 .

Если значения безразмерных параметров окажутся равными, т.е. Re2 = Re1 ; Eu2 = Eu1 , то безразмерные решения для этих двух пото-

ков при одинаковых краевых условиях также совпадут.

В этом случае поля течений двух потоков подобны и могут быть получены одно из другого простым пересчетом. Например, можно экспериментально смоделировать обтекание малого тела и результаты затем применять к обтеканию тел больших размеров.

Правила моделирования, сформулированные М.В. Кирпичевым

иА.А. Гухманом (1927):

1.Процесс, воспроизводимый в модели, должен относиться к тому же классу физических явлений, что ипроцессв образце.

2.Оба процесса должны описываться одними и теми же уравнениями и характеризоваться одинаковыми физическими величинами.

3.Геометрически модель должна быть подобна образцу.

4.Безразмерные краевые условия в образце и модели должны быть одинаковы качественно и численно.

5.Критерии подобия в образце и модели попарно должны иметь одинаковые численные значения.

При выполнении этих условий моделирование является прямым

иполным. Возможно также приближенное моделирование при частичном нарушении тех или иных условий подобия (1–5), так как полное моделирование для сложных реальных процессов выполнить крайне трудно.

Пример. Картина течения в первую очередь зависит от числа Рейнольдса. Поэтому

Reмодель = Reобразец ;				vмlм	=	vобlоб	.
Reмодель = Reобразец ;				νм	=		.
				νм		νоб
Отсюда получим скорость жидкости в модели
v	= v	νмlоб .
м	об ν			l
			об м
Пусть в модели и образце протекает одна и та же жидкость
νм νоб = 1 . Если модель построена в масштабе 1:10, то								lоб lм = 10 ,
следовательно, должно выполняться условие vм = 10vоб .								Если это
								99

трудно осуществить практически, то нужно будет выбрать жидкость для модели, у которой коэффициент кинематической вязкости будет меньше. Пусть жидкости подобрали такие, что νм νоб = 0,5 , тогда

для скоростей получим vм = 5vоб .

Контрольные вопросы

1.Что такое «характерные безразмерные величины»?

2.Какобезразмерить уравнение Навье−Стокса и теплопереноса.

3.Назвать числа подобия и объяснить их физический смысл.

4.Перечислить условия подобия физических процессов.

5.Перечислить правила моделирования Кирпичева и Гухмана.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб2Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf
#
12.11.20232.15 Mб5Общая физика. Электричество и магнетизм.pdf
#
12.11.20232.24 Mб6Общая химическая технология. Лабораторный практикум.pdf
#
20.11.2023510.89 Кб4Общая химическая технология.-1.pdf