книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен
.pdf
|
|
∂qx |
|
∂qy |
|
∂qz |
|
|
|
dQ1 = dQx1 + dQy1 + dQz1 |
= − |
|
+ |
|
+ |
|
dVdt . |
(1.5) |
|
∂x |
∂y |
∂z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Выражение в круглых скобках есть не что иное, как дивергенция вектора плотности теплового потока:
div qr = ∂qx + ∂qy + ∂qz ,
∂x ∂y ∂z
поэтому более кратко (1.5) можно записать следующим образом:
dQ1 = − div qr dVdt . |
(1.6) |
2. dQ2. Введем мощность внутренних источников теплоты qV
как количество теплоты, выделяющееся в единице объема вещества за единицу времени. Например, для «джоулева» тепловыделения
qV = jE = σE2 ,
где j – плотность электрического тока, А/м2; E – напряженность электрического поля, В/м; σ – электропроводность.
Размерность мощности внутренних источников теплоты – Вт/м3. Тогда для dV за время dt
dQ2 = qV dVdt . |
(1.7) |
3. dQ. При изохорном процессе (V = const), согласно I началу термодинамики, вся теплота идет на изменение внутренней энергии: dQ = dU. Для элементарного объема dV в этом случае можно запи-
сать следующую формулу: |
|
|
dQ = dU = cV ρ dV |
∂T dt , |
(1.8) |
|
∂t |
|
где cV − изохорная удельная теплоемкость, Дж/(кг·К); ρ − плотность вещества, кг/м3.
Для твердых тел разница между cV и cp не существенна, поэтому можно нижний индекс у теплоемкости не ставить.
11
Наконец, подставим выражения (1.6)−(1.8) в уравнение (1.3), со-
кратим множитель dVdt и получим |
|
|
||
|
∂T |
r |
|
|
cρ |
∂t |
= − div q |
+ qV . |
(1.9) |
Дальнейшие преобразования общего уравнения теплопроводности (1.9) связаны с конкретизацией вида выражения для вектора q .
Если воспользоваться законом Фурье (1.2), то
cρ |
∂T = div(λ T ) + qV . |
|
∂t |
В общем случае коэффициент теплопроводности может быть функцией пространственных координат λ = λ(x, y, z). Но часто предполагают, что теплофизические свойства вещества постоянны, в том числе λ = const, тогда λ можно вынести из операций дифференциро-
вания: |
|
|
|
|
∂T = a div( T ) + |
qV |
, |
(1.10) |
|
cρ |
||||
∂t |
|
|
где введен коэффициент температуропроводности
a = |
λ |
, |
(1.11) |
|
cρ |
||||
|
|
|
размерность которого м2/с. Он характеризует скорость изменения температуры в нестационарных процессах.
Введем в рассмотрение оператор Лапласа
∆ = 2 = div = |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
. |
∂x2 |
∂y2 |
|
||||
|
|
|
∂z2 |
|||
В результате его применения уравнение (1.10) примет более компактный вид
∂T = a ∆T + |
qV |
. |
(1.12) |
|
|||
∂t |
cρ |
|
|
12
Уравнение (1.12) представляет собой нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности, которое устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры.
1.3. Краевые условия
Уравнение (1.12) характеризует теплопроводность в самом общем виде. Для математического описания конкретного процесса к дифференциальному уравнению (1.12) необходимо добавить условия однозначности, или краевые условия, которые состоят из нескольких частей.
1.Геометрические условия, связанные с заданием формы и размеров тела.
2.Физические условия, которые означают, что заданы значения теплофизических коэффициентов твердого тела и распределение внутренних источников, если таковые имеются.
3.Начальные условия – распределение температуры в теле в начальный момент времени: T = f (x, y, z) при t = 0, в частности может быть равномерное распределение температуры T = T0 = const.
4.Граничные условия, которые могут быть заданы несколькими способами.
Граничные условия первого рода. В этом случае задается распре-
деление температуры на поверхности тела:
Tc = f (xc , yc , zc ) , |
(1.13) |
где xc , yc , zc − координаты поверхности.
В частности, когда температура поверхности поддерживается постоянной, то Tc = const.
Граничные условия второго рода. Задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности:
qc = f (xc , yc , zc ) . |
(1.14) |
В простейшем случае, например при нагреве в печах, qc = const.
Граничные условия третьего рода. Характеризуют теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой. Задаются законом Ньютона−Рихмана:
13
qc = α(Tc − Tж ) , |
(1.15) |
где Tc − температура поверхности тела; Tж − температура окружаю-
щей среды, которой может быть как жидкость, так и газ; α − коэффициент теплоотдачи, имеет размерность Вт/(м2·К) и характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.
Если воспользоваться формулой (1.2), то условия (1.15) можно представить в виде
−λ |
∂T = α(Tc − Tж ) , |
(1.16) |
|
∂n c |
|
где n – внешняя нормаль к поверхности тела; индекс «с» относится к поверхности тела, на которой n = 0.
Граничные условия четвертого рода, или условия сопряженности.
В этом случае принимается равенство температур и тепловых потоков по обе стороны от границы (индекс «гр») раздела слоев 1 и 2:
|
∂T1 |
|
||
T1,гр = T2,гр; |
λ1 |
|
|
|
∂n |
||||
|
|
гр |
||
∂T2 |
|
(1.17) |
|
= λ2 |
∂n |
. |
|
|
гр |
|
|
Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности (1.12) с краевыми условиями дает полную математическую постановку задачи.
1.4. Стационарная передача теплоты через плоскую стенку
В качестве примера рассмотрим простую задачу. Пусть имеется тело простейшей формы – однородная и изотропная стенка толщиной δ.
Будем |
считать, что внутренние источники |
тепла отсутствуют, т.е. |
qV = 0 . |
Стационарность теплового режима |
означает, что ∂T ∂t = 0 . |
Рассмотрим два типа граничных условий: первого и третьего рода.
1. Задача с граничными условиями первого рода. На наружных изотермических поверхностях пластины поддерживаются постоянные температуры Tc1 > Tc2 (рис. 1.3). Температура меняется в направ-
14
лении, перпендикулярном плоскостям стенки, – вдоль оси 0х. В такой постановке задача одномерная, т.е. T = T (x) . Дифференциальное
уравнение теплопроводности (1.12) сокращается до вида
d2T =
dx2
0
с граничными условиями
T = Tc1 при x = 0; |
T = Tc2 при x = δ . |
Общее решение уравнения
T = C1x + C2 ,
где произвольные константы С1 и С2 определяются из граничных условий.
В итоге получим
C2 = Tc1; |
C1 |
= − |
Tc1 − Tc2 |
. |
Рис. 1.3 |
|
|||||
|
|
|
δ |
|
|
Подставим значения констант интегрирования в общее решение и получим частное решение задачи:
T = Tc1 |
− |
Tc1 − Tc2 |
x . |
(1.18) |
|
δ |
|||||
|
|
|
|
Введем в рассмотрение текущий температурный напор
∆T = T − Tc2
и полный, или максимальный, температурный напор (см. рис. 1.3)
∆T0 = Tc1 − Tc2 .
С учетом температурных напоров частное решение можно записать в виде
∆T = ∆T0 |
− |
∆T0 |
x . |
|
|
δ |
|
15
Поделим обе части решения на полный температурный напор и введем новые обозначения:
Θ = |
∆T |
; |
X = |
x |
, |
|
|
||||
|
∆T0 |
|
δ |
|
|
где Θ − безразмерный температурный напор; Х – безразмерная координата.
Тогда решение может быть записано в универсальном безразмерном виде
Θ = 1− X . |
(1.19) |
График этого решения представлен на рис. 1.4.
Плотность теплового потока (1.2) в одномерном случае находится следующим образом:
|
q = −λ |
dT |
= |
λ (Tc1 − Tc2 ) . |
(1.20) |
||
|
|
||||||
|
|
dx |
δ |
|
|||
|
Исходя из (1.20) и (1.18) решение |
||||||
|
задачи можно представить в виде |
|
|||||
|
|
T = Tc1 − |
q |
|
|||
Рис. 1.4 |
|
|
x , |
|
|||
|
λ |
|
|||||
откуда следует, что температура в плоской стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.
2. Задача с граничными условиями третьего рода. В этом случае рассматривается передача теплоты от одной среды (жидкость или газ) с температурой Тж1 через плоскую стенку к другой среде, температура которой Тж2 (рис. 1.5). Явление теплопередачи состоит из трех частей: теплоотдачи от горячей жидкости к стенке; теплопроводности в твердой стенке; теплоотдачи от противоположной стенки к холодной жидкости. Запишем выражения для плотности теплового потока (который в стационарном режиме один и тот же) для каждой части процесса теплопередачи:
16
PNRPU
|
|
|
|
|
|
|
|
q = α1 (Tж1 − Tc1 ) ; |
(1.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
λ (Tc1 − Tc2 ) ; |
(1.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = α2 (Tc2 − Tж2 ) . |
(1.23) |
|
Здесь Tc1 и Tc2 – пока неизвест- |
|
|||||||||
ные температуры стенок. |
|
|
|
|||||||
Из (1.21)–(1.23) получим: |
|
|
||||||||
|
|
q |
|
= (T |
− T |
) ; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
α1 |
c1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ж1 |
|
|
|
|
|
|
|
qδ |
= (Tc1 − Tc2 ) ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
q |
= (T |
− T |
|
) . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
c2 |
ж2 |
|
|
Рис. 1.5 |
|
|
α2 |
|
|
|
|
|||||
Далее сложим почленно левые и правые части трех последних уравнений и получим
|
1 |
+ |
δ |
+ |
1 |
|
= Tж1 |
− Tж2 . |
|
|
q |
|
(1.24) |
||||||||
|
λ |
α2 |
||||||||
|
α1 |
|
|
|
|
|
||||
Введем в рассмотрение полное термическое сопротивление теплопередачи, которое равно сумме частных термических сопротивлений:
|
|
R = |
1 |
+ |
δ |
+ |
1 |
, |
(1.25) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
α1 |
λ |
|
α2 |
|
||
где |
1 |
− частное термическое сопротивление теплоотдачи от горя- |
|||||||
|
|||||||||
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
чей жидкости к стенке; λδ − частное термическое сопротивление те-
плопроводности; 1 − частное термическое сопротивление теплоот-
α2
дачи от поверхности стенки к холодной жидкости.
17
Подставим (1.25) в (1.24) и получим для плотности теплового потока
q = |
Tж1 − Tж2 |
. |
(1.26) |
|
|||
|
R |
|
|
Выражение (1.26) напоминает формулу закона Ома для постоянного тока
I = ϕ1 − ϕ2 ,
R
где I – сила тока; ϕ1 − ϕ2 – разность потенциалов; R – электрическое сопротивление.
Таким образом, разность температур жидкости по обеим сторонам стенки играет роль «разности потенциалов» для теплопередачи. Чем больше будет разность температур, тем интенсивнее происходит теплопередача.
Наконец, из (1.21) получим значение температуры горячей поверхности стенки:
T |
= T − |
q |
, |
|
|||
c1 |
ж1 |
α1 |
|
|
|
||
аиз (1.23) – значение температуры холодной стороныплоской стенки:
T |
= T + |
q |
. |
|
|||
c2 |
ж2 |
α2 |
|
|
|
||
Как видим, температура горячей поверхности стенки Tc1 ниже, чем температура омывающей ее жидкости Tж1 , в то время как температура холодной стороны стенки Tc2 превышает температуру окружающей ее среды Tж2 .
Контрольные вопросы
1.Дать определение теплопроводности.
2.Перечислить типы температурных полей.
3.Сформулировать закон Фурье и дать определение плотности теплового потока.
18
4.Вывести дифференциальное уравнение теплопроводности.
5.Что включают в себя краевые условия?
6.Перечислить все граничные условия.
7.Рассмотреть задачу о стационарной передаче теплоты через плоскую стенку с граничными условиями первого и третьего рода.
19
2.ФИЗИКА ЖИДКОГО СОСТОЯНИЯ
2.1.Особенности жидкого состояния вещества
Жидкое состояние вещества является промежуточным между твердым и газообразным состоянием, т.е. жидкости сочетают в себе некоторые свойства как твердых тел, так и газов.
Твердые тела бывают кристаллическими и аморфными. Кристаллы обладают ближним и дальним порядком. Ближний порядок означает правильное расположение около фиксированного атома, иона или молекулы определенного числа ближайших соседей. Дальним порядком называется расположение частиц в определенной последовательности с образованием единой трехмерной решетки. Частицы, из которых образована решетка, совершают колебания около фиксированных положений равновесия.
В газообразном состоянии вещества атомы или молекулы взаимодействуют друг с другом посредством сил притяжения на больших по сравнению с размерами частиц расстояниях и сил отталкивания на малых расстояниях. Силы притяжения в газах слишком слабы, чтобы надолго удерживать молекулы вместе, поэтому расположение молекул в газе хаотическое.
Молекулы газа находятся в непрестанном тепловом движении, которое осуществляется в виде индивидуальных перемещений и столкновений молекул в конце свободного пробега. Кинетическая энергия молекул газа значительно больше потенциальной энергии взаимодействия. Если молекулы газа многоатомные, то при своем поступательном движении они могут вращаться как целое. Атомы, входящие в состав молекул, могут совершать колебательные движения.
Жидкость – система динамическая. Молекулы, сохраняя ближний порядок во взаимном расположении, участвуют в тепловом движении, которое сложнее, чем в кристаллах. Молекулы жидкости совершают колебания, как в кристаллах, но положения равновесия, относительно которых происходят эти колебания, не остаются фиксированными. Совершив некоторое число колебаний около одного по-
20