книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

ложения равновесия, молекулы перемещаются в соседнее положение. Перемещения молекул могут происходить скачком на некоторое расстояние δ, близкое к среднему межмолекулярному, либо плавно, вместе с их ближайшим окружением.

Прыжковый, или активационный, характер движения молекул более вероятен для ассоциированных жидкостей, например воды. В сжиженных инертных газах и в расплавленных металлах молекулы могут перемещаться непрерывно по траекториям дрейфа без внезапных скачков.

Согласно Я.И. Френкелю, длительность пребывания молекулы во временном положении равновесия τ (время оседлой жизни молекулы) определяется по формуле

где τ0 − период колебаний молекулы около положения равновесия; U –

высота потенциального барьера, отделяющего друг от друга два соседнихположения равновесия; k – постоянная Больцмана; Т– температура.

По теоретическим расчетам И.З. Фишера, для воды при комнатной температуре τ = 10−10 с; τ0 = 1,4 10−12 с. Следовательно, каждая

молекула воды совершает около сотни колебаний относительно одного и того же положения равновесия, прежде чем переменит место. Это сближает жидкость с твердым телом, но у твердых тел τ гораздо больше, чем у жидкостей.

С ростом температуры время оседлой жизни молекул τ уменьшается, различие между τ и τ0 постепенно исчезает. При этом роль

поступательного движения молекул усиливается, а колебательного, наоборот, ослабляется. Структура жидкости все более начинает приближаться к структуре газа.

Таким образом, жидкость обнаруживает непрерывную гамму переходных свойств. В области высоких температур (близкой к критической температуре) и относительно малых плотностей жидкость примыкает к газам, а в области низких температур (близкой к температуре кристаллизации) и больших плотностей – к твердым телам.

21

2.2.Явления переноса в жидкостях

Вжидкостях, как и в газах, наблюдаются явления диффузии, теплопроводности и вязкости, но механизм этих процессов в жидкостях иной, чем в газах.

Явления переноса в газах определяются длиной свободного пробега и столкновениями молекул между собой. В жидкостях среднее расстояние между молекулами имеет порядок размеров самих молекул, поэтому «свободного» пробега у молекул нет. Молекулы жидкости совершают малые колебания около положений равновесия, в результате флуктуаций они могут получить от соседних молекул избыточную энергию U (2.1), достаточную для того, чтобы совершить

скачок на некоторое расстояние δ в новое временное положение равновесия. Такие колебания, сменяющиеся скачками, − это и есть тепловое движение молекул жидкости.

Для явления диффузии в жидкости, как и в любом веществе, справедлив закон Фика:

q= −D ∂n ,

x∂x

где qx − поток числа частиц, проходящих через единичную площадку

за одну секунду, если эта площадка перпендикулярна оси 0х; n – концентрация частиц или число молекул в единице объема; D – коэффициент диффузии (самодиффузии).

Знак минус показывает, что диффузионный поток направлен

всторону убывания концентрации.

Вмолекулярно-кинетической теории идеального газа коэффициент диффузии D определяется произведением длины свободного

пробега l на среднюю скорость v молекул:

D = 1 l v , 3

объема движется вдоль оси 0х.

22

Выражение для коэффициента диффузии D жидкости можно получить из следующих соображений. Если τ – время оседлой жизни моле-

кул, а δ – расстояние, на которое перескакивает молекула, то δτ можно

представить как среднюю скорость перемещения молекулы. Это позволяет сопоставить величину δ со средней длиной свободного пробега

молекул газа, а δτ сопоставитьсо средней скоростью молекул.

По аналогии с идеальным газом для жидкости можно записать следующее уравнение:

Множитель 1 (а не 1 ) здесь появляется потому, что движения

6 3

молекул носят характер случайных блужданий, для которых существует шесть равновозможных направлений: по два направления вдоль каждой из трех осей координат, так что в направлении оси 0х дви-

жется 1 всех молекул единицы объема жидкости. 6

Подставим выражение (2.1) в (2.2) и в результате получим

где U – энергия, необходимая для скачка молекулы, называемая энергией активации.

Вязкость жидкостей, как и газов, возникает при движении жидкости из-за переноса импульса в направлении, перпендикулярном к направлению движения.

Если принять механизм скачков молекулы из оседлого положения в одном слое в оседлое положение молекулы в другом слое (аналогично механизму в разреженных газах), то для коэффициента динамической вязкости µ получается противоречащая эксперименту зависимость от температуры:

23

Последняя формула называется уравнением Френкеля−Андраде. Такое принципиальное различие в зависимостях обусловлено тем, что помимо перескоков молекул необходимо учитывать особенности межмолекулярных сил и внешние силы, действующие на движущуюся жидкость. В этом случае расчет коэффициента µ становит-

ся чрезвычайно сложным.

Множитель С, входящий в уравнение (2.4), зависит от дальности скачка δ, частоты колебаний ν0 = 1 / τ0 , температуры Т и других пара-

метров. Из уравнения (2.4) следует, что при повышении температуры коэффициент динамической вязкости сильно уменьшается. У газов, наоборот, сповышением температуры вязкостьувеличивается.

К теме вязкости жидкости вернемся в главах 3, 4. Теплопроводность в жидкостях имеет место при наличии гради-

ента температуры. При этом плотность теплового потока вдоль оси 0х, согласно закону Фурье, определяется выражением

q= −λ ∂T ,

x∂x

где λ – коэффициент теплопроводности жидкости.

Механизм передачи энергии при столкновении молекул, совершающих поступательное движение, т.е. механизм, характерный для идеального газа, неприменим для жидкостей. В жидкостях молекулы, имеющие более высокую энергию, совершают колебания с большей амплитудой и при столкновениях с другими молекулами как бы раскачивают их, передавая им энергию. Теория таких процессов сложная и громоздкая.

Следует отметить, что теплопроводность жидкостей обычно в несколько раз выше теплопроводности газов, но в то же время в десятки исотни раз меньше, чем теплопроводностьтвердых тел.

24

Вслучае неравномерно нагретой жидкости возможен конвективный перенос тепловой энергии, связанный с течением жидкости. Об этом будет говориться в главе 5.

2.3.Физические свойства жидкостей

2.3.1.Приближение сплошной среды

Вгидромеханике рассматриваются макроскопические движения жидкостей и газов, а также силовое взаимодействие этих сред с твердыми телами. При этом размеры рассматриваемых объемов жидкостей и твердых тел оказываются несопоставимо большими по сравнению с размерами молекул и с межмолекулярными расстояниями. Поэтому жидкость (газ) рассматривается как сплошная среда, в которой масса непрерывно распределена по объему.

Всякий физически бесконечно малый элемент объема жидкости (жидкая частица) считается все-таки настолько большим, что содержит огромное число молекул. Физические макропараметры жидкости считаются при этом непрерывными функциями координат и времени. Гипотеза сплошности была введена в XVIII веке Д’Аламбером.

2.3.2. Некоторые свойства жидкостей

Для жидкой частицы введем плотность жидкости

ρ= ∆m , ∆V

где ∆V – объем жидкой частицы; ∆m – ее масса.

В общем случае плотность является функцией координат и времени: ρ = ρ(x, y, z,t) . Плотность воды при t = 20 °C ρ = 998,2 кг/м3,

плотность воздуха ρ = 1,2 кг/м3 (давление – атмосферное).

Наряду с плотностью используется понятие удельного объема

υ = ρ1 , размерность которого м3/кг. Физический смысл величины υ –

объем единицы массы вещества.

Связь между плотностью ρ, температурой Т и давлением p устанавливается уравнением состояния ρ = ρ(T , p) . Универсального

25

уравнения состояния (типа уравнения Менделеева−Клапейрона p = ρRT µ для идеального газа) для жидкостей не существует.

Изменение плотности или удельного объема с изменением давления характеризуется изотермическим коэффициентом сжимаемости

сжимаемость очень мала. Например, для воздуха при нормальных условиях (н.у.) χ = 10−5 Па–1, а для воды χ = 5 10−10 Па–1, т.е. сжимае-

мость воздуха в 20 000 раз больше сжимаемости воды.

Объем жидкостей изменяется при изменении температуры. Как правило, жидкости расширяются с повышением Т, а их плотность при этом уменьшается. Количественно это характеризуется темпера-

У идеального газа β = 1 . Для воды при комнатной температуре

T

t= 20 °С β = 1,8 10−4 К–1, для воздуха β = 3,5 10−3 К–1.

Уводы плотность возрастает

винтервале температур от 0 до

26

При t = 20 °С коэффициент теплопроводности воды λ = = 0,6 Вт/(м·К), воздуха λ = 0,026 Вт/(м·К), удельная теплоемкость воды имеет очень большое значение: c = cp ≈ cV = 4183 Дж/(кг·К),

у воздуха cp = 1005 Дж/(кг·К).

2.3.3. Вязкость жидкостей

Все реальные жидкости обладают вязкостью: между слоями, движущимися с различными скоростями, всегда возникает сила внутреннего трения, противодействующая движению. Опыт показывает, что рав-

жидкости; S – площадь пластины.

Предполагается, что слой жидкости безграничен в направлении оси, перпендикулярной плоскости рисунка.

В общем случае, при произвольном профиле скорости в любом

которая определяется как касательная сила трения, отнесенная к единице поверхности раздела слоев жидкости. Напряжение пропорционально изменению скорости в направлении нормали к плоскости, которая ориентирована по течению. Размерность касательного напряжения Н/м2.

Коэффициент µ, входящий в формулы (2.7) и (2.8), называется динамическим коэффициентом вязкости. Его размерность Па с = = кг/(м с). У жидкостей динамический коэффициент вязкости почти не зависит от давления, но значительно уменьшается с повышением температуры. У газов, наоборот, с повышением температуры µ возрастает: µ ~ T . Для воды при t = 20 °C µ = 1004 10−6 Па·с, для воз-

духа µ = 18,1 10−6 Па·с.

Зависимость µ воды от температуры t,°C, получена Пуазейлем

ивыглядит следующим образом:

µ= µ0 (1+ 0,0337 t + 0,000221 t2 )−1 ,

где µ0 = 1,7531 10−3 Па с − значение коэффициента при t = 0 °C.

Наряду с динамическим коэффициентом вязкости µ используется кинематический коэффициент вязкости

размерность которого м2/с. Так как у жидкостей плотность ρ слабо меняется с изменением температуры, то зависимость ν от температуры почти такая же, как у µ.

Из физических параметров жидкости ν и a, имеющих одинаковую размерность, можно составить безразмерную величину – число Прандтля:

где а – коэффициент температуропроводности жидкости, a = λ/(ρ c).

28

С повышением температуры число Pr для воды сильно уменьшается, тогда как для воздуха в том же интервале температур почти не изменяется: Pr ≈ 0,7.

2.3.4. Неньютоновские жидкости

Большинство жидкостей, а также все газы, являются ньютоновскими жидкостями, для которых справедлив закон (2.8). Суспензии (жидкости с включенными твердыми частицами), некоторые синтетические жидкости, масляные краски и т.д. отличаются по своим свойствам от ньютоновских жидкостей. В некоторых из них силы трения могут возникать до начала движения:

где τ0 – предельное касательное напряжение, которое необходимо преодолеть, чтобы вызвать движение жидкости.

Таким образом, при τ < τ0 текучесть в данных жидкостях отсут-

ствует. В этом случае неньютоновская жидкость ведет себя как твердое тело. Существует множество различных неньютоновских жидкостей и соответствующих им моделей.

29

2.4.Поверхностное натяжение. Капиллярные явления

2.4.1.Коэффициент поверхностного натяжения

Поверхность жидкости находится в особых условиях по сравнению с остальной массой жидкости. Жидкость может граничить с собственным паром, с какой-либо другой жидкостью или с твердым телом (в частности, со стенками сосуда, в котором она содержится). Возникают эти особые условия потому, что молекулы пограничного слоя жидкости, в отличие от молекул в ее глубине, окружены молекулами той же жидкости не со всех сторон. Часть «соседей» поверхностных молекул – это частицы второй среды, с которой жидкость граничит. Имея же разных соседей, молекулы поверхностного слоя и взаимодействуют с ними различным образом. Поэтому силы, действующие на каждую молекулу в этом слое, оказываются неуравновешенными – существует некоторая равнодействующая сила, направленная в сторону объема жидкости либо граничащей с ней среды.

Если жидкость граничит со своим собственным паром, равнодействующая сила направлена внутрь жидкости (рис. 2.3).

Это объясняется тем, что плотность молекул в жидкости намного больше, чем в насыщенном паре над жидкостью, и поэтому сила притяжения, испытываемая молекулой поверхностного слоя со стороны молекул жидкости, больше, чем со стороны молекул пара.

Отсюда следует, что, перемещаясь из поверхностного слоя внутрь жидкости, молекула совершает положительную работу. Наоборот, переход молекул из объема жидкости к поверхности требует затраты внешней (отрицательной) работы.

Если при постоянной температуре обратимым путем изменить поверхность жидкости на бесконечно малую величину dS, то необходимая для этого работа

30