книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

Ясно, что γ = 0 соответствует ламинарному режиму, а γ = 1 –

турбулентному.

Опыты И. Ротта (1956 г.) показали, что γ возрастает с увели-

При переходе от ламинарного движения к турбулентному происходит выравнивание профиля скорости (рис. 7.3). Видно, что на оси скорость уменьшается, а ближе к стенкам трубы – увеличивается.

7.2. Уравнения Рейнольдса для развитого турбулентного движения

Для начала преобразуем уравнения Навье−Стокса (3.14) и (3.19) для несжимаемой жидкости:

Рассмотрим вспомогательное выражение

в котором последнее слагаемое в круглых скобках равно нулю вследствие уравнения неразрывности (7.2). Оставшиеся слагаемые правой части представляют собой конвективные члены уравнения (7.1). Делаем замену:

и получаем уравнение движения для компоненты скорости vx в так называемой дивергентной форме. Аналогично можно получить соответствующиеуравнения для компонент скорости движения жидкости vy , vz .

Турбулентные течения всегда являются неустановившимися. Неупорядоченное движение частиц в турбулентном потоке создает резкие изменения местных скоростей во времени, которые называются пульсациями скорости. Тем не менее, как показывает опыт, такие пульсации происходят около некоторого среднего значения (рис. 7.4).

Если проследить за траекторией движения отдельной жидкой частицы, то окажется, что при турбулентном течении она имеет весьма сложный и запутанный характер, лишь в среднем отражающий тенденцию к систематическому движению потока (аналогично траектории движения газовой молекулы в газовом потоке).

82

Введем в рассмотрение усредненные по времени составляющие скорости течения жидкости и давление:

где T – некий период усреднения, который больше периода пульсаций скорости, но меньше характерного времени изменения усредненного потока.

О. Рейнольдс предложил реальное турбулентное движение представить как некоторое усредненное движение (упорядоченное, слоистое, но не ламинарное) и хаотическое пульсационное. В соответствии с этим можно записать следующее:

где v′ , p′ – пульсации скорости и давления.

x

Дальнейшие преобразования связаны с усреднением типа (7.4) уравнений (7.2) и (7.3). Вспомним некоторые правила усреднения.

1. Операция повторного усреднения неизменяет результат: vx = vx .

2. Усредненное значение пульсации v′ = 0 .

x

3. Усреднение суммы: a + b = a + b .

Наконец, усредним уравнение Навье−Стокса в дивергентной форме (7.3) для компоненты скорости vx :

Подробнее рассмотрим усреднение нелинейных членов уравнения:

реднения Т.

После преобразований – обратного перехода от дивергентного к обычному виду – получим

Аналогично можно получить уравнения для y- и z-составляющих скорости движения жидкости.

84

Отличие уравнений Рейнольдса (7.7) от уравнений Навье−Стокса (7.1) состоит в том, что в уравнения Рейнольдса вместо мгновенных скоростей входят усредненные, более важное отличие – появление трех новых слагаемых, а в полной системе уравнений – появление девяти новых членов, зависящих от пульсаций скорости.

Принято представлять новые слагаемые в форме

и так далее. Эти дополнительные члены в уравнениях Рейнольдса отождествляются с турбулентными напряжениями, возникающими в потоке из-за пульсаций скорости:

Таким образом, в турбулентном потоке полные касательные напряжения складываются из вязкостных и турбулентных:

Опыт показывает, что в толще потока τтр << τтурб , так что вязкостными напряжениями можно пренебречь; у твердой стенки

τтр ≈ τтурб ; на самой стенке пульсации равны нулю, следовательно,

τтурб = 0 , поэтому турбулентные напряжения, в отличие от вязкост-

ных, не могут быть приложены к твердому телу.

В системе уравнений Рейнольдса число неизвестных больше числа уравнений, следовательно, система незамкнута. Для замыкания системы необходимо установить связи между турбулентными напряжениями и другими переменными, входящими в систему уравнений. В общем виде эта задача не решена. В прикладной гидродинамике она решается на основе полуэмпирических гипотез, выдвинутых рядом ученых. Рассмотрим две такие теории.

85

7.3. Турбулентная вязкость

Рейнольдс предложил реальное турбулентное движение представить как сумму усредненного движения и хаотического пульсационного (7.5). Линии тока усредненного движения не пересекаются, в то время как линии тока пульсационного движения пересекают линии тока усредненного движения, проникают из одного слоя усредненного движения в другой и перемешивают жидкость. Пульсационное движение переносит из слоя в слой сквозь линии тока усредненного движения импульс (количество движения), тепло, вещество…

Таким образом, этот перенос аналогичен молекулярному переносу в ламинарных движениях, поэтому может быть отождествлен с турбулентным трением между слоями усредненного движения. Тем не менее в ламинарном движении вязкость жидкости связана с переносом импульса отдельными молекулами между слоями, а носителями импульса в турбулентном потоке являются макроскопические, конечные объемы жидкости, как иногда говорят, «моли». Итак, перенос импульса «молями» между слоями усредненного движения создает турбулентное трение между слоями.

В 1877 г. французский ученый Ж. Буссинеск, по аналогии с формулой Ньютона (3.11) для вязкого трения между слоями жидкости, выдвинул гипотезу о пропорциональности турбулентных напряжений градиенту средней скорости

где µтурб – коэффициент турбулентной вязкости.

Этот коэффициент не зависит от температуры и давления (в отличие от коэффициента молекулярной вязкости µ), характеризует не физические свойства жидкости, а статистические свойства пульсационного движения. В зависимости от структуры потока µтурб меняется

в пространстве и во времени, причем может изменяться даже по сечению потока. Для ряда течений удается подобрать зависимость µтурб от координат, дающую удовлетворительное соответствие тео-

ретических и экспериментальных данных.

86

Согласно оценкам, µтурб значительно превышает молекулярную

вязкость µ, так как обусловливается переносом не молекул, а «молей» сквозь слои движущейся жидкости. Например, µтурб воздуха

Ричардсон сравнил с аналогичным коэффициентом вязкости сиропа.

7.4. Путь перемешивания Прандтля

Путь l между слоями усредненного движения, который жидкие частицы проходят без взаимодействия с другими частицами, Л. Прандтль назвал путем перемешивания. Эта величина в некотором смысле аналогична длине свободного пробега молекулы в молеку- лярно-кинетической теории.

Прандтль предложил для τтурб следующую формулу:

В формулу входит модуль производной. Это обусловлено тем,

что знаки τтурб и ∂vx должны совпадать.

∂y

Сравним (7.11) с формулой Буссинеска (7.10) и получим для коэффициента турбулентной вязкости выражение

В формуле Прандтля (7.11) остается единственная неопределенная величина l – путь перемешивания. Это одна из характеристик потока, она характеризует возможность для «молей» свободно перемещаться из одного слоя в другой. Однако эту величину не следует понимать буквально как путь перемещения жидких частиц. В настоящее время величину l трактуют как масштаб турбулентности – геометрическую характеристику внутренней структуры турбулентного потока.

87

Гипотеза Прандтля справедлива только в тех областях потока, где ∂vx ∂y ≠ 0 . Это условие выполняется в пристеночной области турбу-

лентного движения жидкости. Если же в потоке ∂vx ∂y = 0 , то соглас-

но (7.10) в этом месте турбулентного потока пульсации скорости должны быть равны нулю, что не соответствует действительности.

Для решения конкретных задач зависимость l от координат (или µтурб от координат) получают или из экспериментальных данных,

или из некоторых дополнительных гипотез.

7.5.Турбулентное течение жидкости около стенки

Вкачестве примера рассмотрим плоское стационарное движение жидкости, параллельное безграничной твердой стенке, которая совпадает с координатной плоскостью x0z. Все производные по х и z равны нулю, переменные зависят только от координаты y.

Сравним и свяжем между собой ламинарное и усредненное турбулентное движения такого типа.

7.5.1.Ламинарное движение

В качестве второго граничного условия зададим значение касательного напряжения τ0 на стенке:

тогда τ0 = µC1 ; C1 = τ0 µ .

88

В итоге получим линейное распределение скорости в ламинарном потоке

Следует отметить, что в такой постановке задачи напряжение вязкого трения между произвольными слоями движущейся жидкости постоянно и равно напряжению на твердой стенке:

τ = µ dvx = τ0 = const . dy

7.5.2. Турбулентное движение

Уравнение движения с учетом (7.7) и (7.8) имеет вид

Примем τ = τ0 при y = 0 , откуда получим C3 = τ0 . Тогда первый интеграл

Далее, в зависимости от расстояния y от твердой стенки, можно выделить две области течения: вязкий ламинарный подслой и турбулентное ядро.

89

Вязкий ламинарный подслой образуется вблизи поверхности твердого тела. В этом подслое преобладают силы вязкости

µ ∂vx ∂y >> τтурб , для него характерен линейный профиль скорости типа формулы (7.15):

Поскольку расстояние y от твердой стенки представляет собой единственную характерную длину в безграничном потоке, Прандтль предложил для пути перемешивания l следующее соотношение:

где κ – некоторая безразмерная константа, определяемая из опыта. Тогда (7.20) запишем в виде

2

ρκ2 y2 dvx = τ0 ;

dy

Решив последнее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, получим

90