книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

Для более экономного расхода энергии стенки батискафа должны иметь более низкую теплопроводность.

Пример 9. Два металлических тела с массами m1 и m2 и удельными теплоемкостями с1 и с2 соединены между собой стержнем длиной L с площадью поперечного сечения S и малой теплопроводностью λ. В начальный момент времени температуры тел равны Т01 и Т02. Определите зависимость температур тел от времени Т1(t) и Т2(t). Теплоемкостью самого стержня пренебречь.

Решение. Температуры на концах стержня равны температурам тел Т1 и Т2. Поскольку эти температуры изменяются, тепловой режим

не является стационарным, т.е. ∂Т ≠ 0 , и для того, чтобы точно от-

∂t

ветить на вопрос задачи, нужно решить дифференциальное уравнение (уравнение теплопроводности) в частных производных.

Отметим, однако, тот факт, что теплопроводность стержня очень мала. Это означает, что температуры на концах стержня меняются очень медленно, и в любой момент времени поле температур в стержне можно считать установившимся в соответствии с температурами на концах Т1 и Т2. Тепловой режим, при котором температуры среды меняются очень медленно, называется квазистационарным. Для квази-

стационарного процесса можно принять, что ∂Т ≈ 0 и, находя мгно-

∂t

венное поле температур, решать задачу как в случае стационарного процесса.

Учитывая все вышеизложенное, заключаем, что мы имеем дело с задачей, аналогичной задаче о переносе тепла через плоскую стенку. Направим ось х вдоль стержня, начало координат поместим в горячем конце стержня, холодный конец будет иметь координату x = L. Температурное поле в стержне в каждый момент времени будет представлять собой линейную функцию от координаты:

Т(x) = C1x + C2 .

Находя константы С1 и С2 из граничных условий Т(0) = T1, T(L) = T2 (см. пример 3), получаем зависимость температуры от координаты:

121

не зависит от координаты, т.е. одинакова в любой точке стержня. Тепло, уходящее от горячего тела (соответственно приходящее

к холодному телу) за время dt: dQ = qS dt . С другой стороны, поскольку первое тело охлаждается, а второе нагревается:

Второе уравнение системы легко интегрируется:

с2m2 (T2 − T02 ) = −c1m1 (T1 − T01 ) .

Выражаем Т1:

T1 = T01 − c2m2 (T2 − T02 ) .

c1m1

Подставляем это выражение в первое уравнение системы:

Обозначаем с2m2 = k , разделяем переменные и интегрируем:

122

жет зависеть от самих температур. Действительно, на первый взгляд кажется, что увеличение температуры в каждой точке в одинаковое число раз увеличит время выравнивания или сократит величину h. Однако по закону Фурье во столько же раз возрастут и тепловые потоки в данной области. В результате размеры области выравнивания температур не изменятся.

Размерности величин: [t] = с, [a] = м2 /с . Из этих величин можно составить единственную комбинацию, которая имела бы размерность расстояния: at . Таким образом, порядок величины h:

h = at .

В нашем случае размеры области выравнивания температур – это глубина промерзания почвы. Учитывая, что коэффициент темпе-

ратуропроводности a = λ , получаем ответ: cρ

1.4.Найдите ∆ (x2 + y2 + z2 ) , где ∆ – оператор Лапласа.

1.5.Докажите, что rot grad f (x, y, z) = 0 .

1.6.Докажите, что div rot ar = 0 , где ar(x, y, z) – произвольное векторное поле.

124

1.7.Докажите, что div grad f (x, y, z) = ∆f (x, y, z) .

1.8.Покажите, что оператор Лапласа ∆ = ( r, r) либо ∆ = div r .

1.9.Найдите div(1− x2 − y2 )kr, где kr – единичный вектор, на-

правленный вдоль оси z.

1.10. Найдите rot (1− x2 − y2 )kr , где kr – единичный вектор, направленный вдоль оси z.

1.11.Зимним днем при –10 °С температура в домике при помощи обогревателя поддерживается равной +20 °С. Во сколько раз нужно изменить мощность обогревателя для поддержания температуры в домике при падении температуры на улице до –40 °С?

1.12.Зимним днем при температуре на улице –15 °С температура внутри домика при помощи обогревателя поддерживается равной +15 °С. Оценить температуру, которая установилась бы внутри этого домика, если бы при той же мощности обогревателя толщину стенок домика увеличили в 2 раза, а коэффициент теплопроводности стенок увеличили в 1,5 раза? Сопротивлениями теплоотдачи между стенками и воздухом пренебречь.

1.13.Зимним днем при температуре –10 °С на улице температура в помещении +15 °С. Мощность обогревателя увеличивают

в2 раза. Какова будет температура в помещении при прочих равных условиях?

1.14.Зимним днем при –5 °С температура в помещении при помощи обогревателя поддерживается равной +20 °С. На улице похолодало так, что для поддержания в помещении температуры +20 °С мощность обогревателя пришлось увеличить в 2 раза. Какой стала температура на улице?

1.15.На одном конце металлического стержня длиной L = 40 см поддерживается температура t1 = + 200 °С, на другом конце t2 = + 40 °С. Чему равны температура, величина gradT и значение ∆Т (∆ – оператор

Лапласа) в точке на расстоянии 25 см от холодного конца? Коэффициент теплопроводности материала стержня не зависит от температуры. Считать, что поток тепла направлен тольковдоль стержня.

125

1.16. На горячем конце металлического стержня длиной L = 80 см поддерживается температура t1 = +200 °С, в точке на расстоянии 20 см от этого конца температура равна +150 °С. Определите температуру холодного конца стержня. Чему равны величина gradT и значение ∆Т

(∆ – оператор Лапласа) в точке на расстоянии 20 см от холодного конца? Коэффициент теплопроводности материала стержня не зависит от температуры. Считать, что поток тепла направлен только вдоль стержня.

1.17.На холодном конце металлического стержня длиной L =

=120 см поддерживается температура t1= –20 °С. Определите температуру посередине стержня и температуру горячего конца стержня, если величина теплового потока посередине стержня q = 5000 Вт/м2. Коэффициент теплопроводности материала стержня λ = 50 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Чему равно значение ∆Т (∆ – оператор Лапласа) посередине стержня? Считать, что поток тепла направлен только вдоль стержня.

1.18.Температура внутри сферического батискафа устанавливается равной +25 °С при температуре воды +5 °С. Чему будет равна установившаяся температура внутри второго батискафа, радиус которого в 2 раза больше при той же мощности обогревателя и прочих равных условиях?

1.19.При переносе тепла вдоль оси x через плоскую стенку зави-

симость температуры от координаты имеет вид T (x) = 350 − 500х,

где координата х измеряется в метрах, температура Т – в кельвинах. При этом величина потока тепла через стенку равна 50 кДж/(м2·с). Чему равен коэффициент теплопроводности стенки?

1.20.Внутри длинного цилиндрического провода радиусом R =

=5 мм за счет протекания электрического тока в единице объема за

единицу времени выделяется тепло qV. Определите qV, если величина вектора потока тепла через поверхность провода q = 2500 Вт/м2. Тепловой режим стационарный.

1.21.Температура одного конца стального стержня длиной 20 см и площадью сечения 3 см2 поддерживается равной 300 °С. Другой конец стержня упирается в тающий лед. Предполагая, что передача

126

тепла происходит исключительно вдоль стержня, подсчитайте массу льда, растаявшего за 10 мин. Теплопроводность стали считайте не зависящей от температуры и равной 50 Вт/(м·К). Удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг.

1.22.Сферический батискаф радиусом 2 м погружен в воду, температура которой 5 °С. Внутри батискафа работает нагреватель мощностью 10 кВт. Оцените, какая температура установится внутри батискафа. Толщина стенок батискафа 10 см, коэффициент теплопроводности материала стенок батискафа 5 Вт/(м·К). Сопротивлениями теплоотдачи между стенками и окружающими их средами пренебречь.

1.23.Температура одного конца стального стержня длиной 50 см

иплощадью сечения 2 см2 поддерживается равной T1. Другой конец стержня упирается в тающий лед. Определите Т1, если масса льда, растаявшего за 5 мин, равна 5 г. Передача тепла происходит исключительно вдоль стержня. Теплопроводность стали считайте не зависящей от температуры и равной 50 Вт/(м·К). Удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг.

1.24.Сферический батискаф радиусом 2 м погружен в воду, температура которой 5 °С. Оцените, какова должна быть мощность нагревателя батискафа, для того чтобы поддерживать температуру внутри 25 °С. Толщина стенок батискафа 8 см, коэффициент теплопроводности материала стенок 5 Вт/(м·К). Сопротивлениями теплоотдачи между стенками и окружающими их средами пренебречь.

1.25.В стакан налили кипяток, который начал медленно остывать. Когда температура воды достигла 80 °С, температура внешней стенки стакана стала равна 65 °С. Оцените коэффициент теплоотдачи α от внешней стенки к воздуху в комнате, если толщина стенки 2 мм, коэффициент теплопроводности материала стенки λ = 0,5 Вт/(м·К), температура воздуха в комнате 20 °С. Процесс остывания воды считайте квазистационарным (см. решение примера 9). Сопротивлением теплоотдачи от воды к стенке пренебречь.

1.26.В стакан налили кипяток, который начал медленно остывать. Оцените температуру внешней стенки стакана при температуре воды 60 °С, если толщина стенки 1,5 мм, коэффициент теплопроводности материала стенки λ = 0,5 Вт/(м·К), коэффициент теплоотдачи

127

от стенки к воздуху α = 10 Вт/(м2·К), температура воздуха в комнате 25 °С. Тепловой режим остывания воды считайте квазистационарным (см. пример 9). Сопротивлением теплоотдачи от воды к стенке пренебречь.

1.27.Батискаф погружен в воду, температура которой 5 °С. Внутри батискафа работает нагреватель и поддерживается температура 15 °С. Оказалось, что сопротивление теплопроводности стенок батискафа равно суммарному сопротивлению теплоотдачи от воздуха к внутренней стенки и от внешней стенки к воде. Какой будет температура внутри батискафа, если коэффициент теплопроводности стенок уменьшить в 2 раза при прочих равных условиях?

1.28.Батискаф погружен в воду, температура которой 2 °С. Внутри батискафа работает нагреватель и температура внутренней стенки поддерживается равной 18 °С. Оказалось, что сопротивление теплопроводности стенок батискафа в 2 раза больше сопротивления теплоотдачи от внешней стенки к воде. Определите температуру внешней стенки батискафа.

1.29.Батискаф погружен в воду. Внутри батискафа работает нагреватель, в результате температуры внутренней и внешней стенок поддерживаются равными 20 и 10 °С. Определите температуру воды, если сопротивление теплопроводности стенок батискафа в 5 раз превышает сопротивление теплоотдачи от внешней стенки к воде.

1.30.Температура одного конца металлического стержня длиной 50 см поддерживается равной 100 °С, а другой конец стержня упирается в тающий лед. Половина стержня состоит из материала, коэффициент теплопроводности которого в 3 раза больше коэффициента теплопроводности второй половины стержня, упирающейся в лед. Предполагая, что передача тепла происходит исключительно вдоль стержня, определите температурное поле в стержне, результаты представьте на графике. Чему равна температура посередине стержня? Чему равны величины Т и gradT в точках, удаленных на расстояния 10 и 40 см от горячего конца стержня?

1.31.Внутри длинного цилиндра радиусом R за счет внутренних источников тепла в единице объема за единицу времени выделяется тепло qV, одинаковое в любой точке цилиндра. Коэффициент тепло-

128

проводности цилиндра равен λ и не зависит от температуры. Тепловой режим стационарный. Чему равна величина теплового потока q

изначение div qr на расстоянии r = R/4 от центра цилиндра?

1.32.Внутри шара радиусом R за счет внутренних источников

тепла в единице объема за единицу времени выделяется тепло qV, одинаковое в любой точке шара. Коэффициент теплопроводности шара равен λ и не зависит от температуры. Тепловой режим стационарный. Чему равна величина теплового потока q и значение div q на

расстоянии r = R/2 от центра шара?

1.33. Внутри шара радиусом R = 1 м за счет внутренних источников тепла в единице объема за единицу времени выделяется тепло qV , которое зависит от расстояния r до центра шара по закону

qV = 104 − 8 103T0r (Вт/м2). Расстояние r измеряется в метрах. Темпе-

ратура в центре шара установилась равной 400 К. Коэффициент теплопроводности шара λ = 20 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Найдите температурное поле внутри шара и температуру на поверхности шара.

1.34. Внутри длинного цилиндра радиусом R = 0,1 м за счет внутренних источников тепла в единице объема за единицу времени выделяется тепло qV , которое зависит от расстояния r до оси цилин-

дра закону qV = 106 − 5 106 r (Вт/м2). Расстояние r измеряется в мет-

рах. Температура на оси цилиндра Т0 = 500 К. Коэффициент теплопроводности цилиндра λ = 25 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Найдите температурное поле внутри цилиндра и температуру на поверхности цилиндра.

1.35. Внутри шара радиусом R = 0,5 м за счет внутренних источников тепла в единице объема за единицу времени выделяется тепло qV ,

тура на расстоянии 25 см от центра шара установилась равной 400 К. Коэффициент теплопроводности шара λ = 10 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Найдите минимальную и максимальную температуру внутри шара.

129

1.36. Внутри шара радиусом R = 0,5 м выделяется тепло за счет внутренних источников. В результате установившаяся температура внутри шара зависит от расстояния r до центра шара по закону T (r ) = 500 − 400r2 (температура измеряется в кельвинах, расстояние r –

в метрах). Коэффициент теплопроводности шара λ = 40 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Найдите зависимости от r величины теплового потока q(r ) и мощности, выделяемой внутренними источниками,

qV (r ). Чему равно тепло, уходящее от всей поверхности шараза1 мин?

1.37. Внутри длинного цилиндра радиусом R = 0,2 м выделяется тепло за счет внутренних источников. В результате установившаяся температура внутри цилиндра зависит от расстояния r до оси цилиндра по закону T (r ) = 400 − 2000r2 (температура измеряется в кельви-

нах, расстояние r – в метрах). Коэффициент теплопроводности цилиндра λ = 20 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Найдите зависимости от r величины теплового потока q(r ) и мощности, выде-

ляемой внутренними источниками, qV (r ). Чему равно тепло, уходя-

щее от поверхности части цилиндра длиной 1 м за 1 мин?

1.38. Внутри шара радиусом R = 0,5 м выделяется тепло за счет внутренних источников. В результате установившаяся температура внутри шара зависит от расстояния r до центра шара по закону T (r ) = 600 − 1000r2 + 400r3 (температура измеряется в кельвинах,

расстояние r – в метрах). Коэффициент теплопроводности шара λ = = 80 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Найдите зависимости от r величины теплового потока q(r ) и мощности, выделяемой внутрен-

ними источниками, qV (r ). Чему равно суммарное тепло, выделяю-

щееся внутри шара за 1 с?

1.39. Внутри цилиндра радиусом R = 0,3 м выделяется тепло за счет внутренних источников. В результате установившаяся температура внутри цилиндра зависит от расстояния r до оси цилиндра по закону T (r ) = 450 − 2000r2 + 2500r3 (температура измеряется в кель-

винах, расстояние r – в метрах). Коэффициент теплопроводности ци-

130