книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

жидкости – плотность ρ, средняя скорость жидкости υ, напор ∆p ,

∆z

радиус трубы R. Еще раз подчеркнем, что коэффициент динамиче-

ской вязкости µ исключается. Напор ∆p имеет размерность Па/м.

∆z

Из оставшихся величин можно составить единственную комбина-

В последних двух формулах под сonst подразумеваются какие-то безразмерные константы или просто числа (отличающиеся в одной и другой формуле).

Расход жидкости при турбулентном течении

Все закономерности, полученные для турбулентного течения, являются приближенными, поскольку они не учитывают наличие пристеночного слоя, где течение жидкости ламинарное.

Пример 12. Расход жидкости, текущей по горизонтальной трубе круглого сечения Q1 = 1 л/с. Каким будет расход, если радиус трубы увеличить в 2 раза, а напор уменьшить в 2 раза? Рассмотреть два случая: 1) течение ламинарное; 2) течение турбулентное.

Решение.

1. Рассмотрим случай ламинарного течения (полагаем, что после изменения напора и радиуса трубы течение остается ламинарным):

151

Задачи для самостоятельного решения

2.1.При какой температуре число колебаний молекулы в клетке

внекоторой жидкости составит N = 100, если пороговое значение энергии выхода молекулы из клетки U = 13 кДж/моль?

2.2.Среднее расстояние между молекулами некоторой жидкости δ = 0,5 нм. Оцените среднюю скорость движения молекул в этой жидкости при Т = 300 К, если частота колебаний молекул в клетках

ν0 = 1012 с–1, пороговое значение энергии выхода молекулы из клетки U = 12 кДж/моль?

2.3.При температуре 20 °С молекулы в клетках некоторой жидкости совершают в среднем 200 колебаний. Определите высоту потенциального барьера, разделяющего соседние положения равновесия молекулы в этой жидкости.

2.4.При температуре Т = 300 К время оседлой жизни молекул воды τ = 10–10 с. Частота колебаний молекул воды в клетках состав-

ляет ν0 = 7,1·1011 с–1. Сколько колебаний совершает молекула воды за время оседлой жизни? Определите пороговое значение энергии выхода молекулы воды из клетки.

152

2.5.При температуре 10 °С молекулы в клетках некоторой жидкости совершают в среднем N = 1000 колебаний. Насколько изменится число N при увеличении температуры до 50 °С?

2.6.Средняя скорость движения молекул жидкости при температуре Т = 300 К составляет υ = 1 м/с, среднее расстояние между моле-

кулами δ = 0,4 нм. Частота колебаний молекул в клетках ν0 = 4·1012 с–1. Определите среднее количество колебаний, совершаемое молекулой

вклетке. Определите пороговое значение энергии выхода молекулы из клетки.

2.7.При температуре 15 °С средняя скорость движения молекул некоторой жидкости составляет 3 м/с, а при температуре 30 °С она равна 3,7 м/с. Оцените высоту потенциального барьера (в кДж/моль), разделяющего соседниеположения равновесия молекулы этой жидкости.

2.8.При температуре 25 °С время оседлой жизни молекул некоторой жидкости τ = 0,15 нс. Определите частоту колебаний молекул

вклетках, если пороговое значение энергии выхода молекулы из клетки U = 8 кДж/моль.

2.9.Оцените, во сколько раз средняя скорость движения молекул воды меньше средней скорости теплового движения молекул пара при Т = 300 К. Среднее расстояние между молекулами воды δ ≈ 0,3 нм,

период колебаний молекул в клетках τ0 = 1,4·10–12 с, пороговое значение энергии выхода молекулы из клетки U = 10,5 кДж/моль.

2.10.Оцените среднее расстояние между молекулами воды. Используя полученный результат, определите среднюю скорость движения молекул воды при температуре Т = 300 К, если также извест-

но, что период колебаний молекул в клетках τ0 = 1,4·10–12 с, пороговое значение энергии выхода молекулы из клетки U = 10,5 кДж/моль.

2.11.Вода объемом 10 л находится под атмосферным давлением и при комнатной температуре. Насколько нужно увеличить давление для того, чтобы объем воды уменьшился на 1 см3? Изотермический коэффициент сжимаемости воды χ = 5·10–10 Па-1.

2.12.На какой глубине плотность воды увеличивается на 1 кг/м3? Считайте, что изотермический коэффициент сжимаемости в широком диапазоне давлений (до нескольких десятков атмосфер) практически постоянен и составляет χ = 5·10–10 Па–1.

153

2.13. В открытую вертикальную трубку наливают столбик ртути высотой 1 м. Оцените, насколько отличаются плотности ртути вверху и на дне трубки. Изотермический коэффициент сжимаемости ртути практически постоянен в данном диапазоне давлений и равен χ = 3,9·10–11 Па–1. Плотность ртути при нормальных условиях

ρ≈ 13600 кг/м3.

2.14.Температуру воды увеличивают от 20 до 21 °С при постоянном атмосферном давлении. Насколько нужно теперь изотермически увеличить давление для того, чтобы объем воды уменьшить до прежнего значения? Считайте, что изотермический коэффициент сжимаемости воды постоянен и составляет χ = 5·10–10 Па–1. При 20 °С температурный коэффициент объемного расширения водыβ = 0,207·10–3 К–1.

2.15.При гидравлических испытаниях на протечки трубопровод полностью заполняется водой под давлением (из него удаляется воздух), и система закрывается. Затем в течение некоторого времени следят за изменением давления в трубопроводе. Пусть допустимое уменьшение давления ∆р = 5 Па. Определите допустимый объем утечки из трубопровода объемом 100 м3. Изотермический коэффициент сжимаемости воды χ = 5·10–10 Па–1.

2.16.В стеклянную колбу с узкой цилиндрической шейкой диаметром 1 см налита вода объемом 10 л при температуре 20 °С. Насколько поднимется уровень воды в шейке при повышении температуры в помещении до 40 °С? Средний температурный коэффициент объемного расширения воды в данном диапазоне температур β = 3,02·10–4 К–1. Расширением стекла пренебречь.

2.17.В стеклянную колбу с узкой цилиндрической шейкой диаметром 1 см налита вода объемом 10 л при температуре 0 °С. Насколько изменится уровень воды в шейке при повышении температуры в помещении до 10 °С? Средний температурный коэффициент объемного

расширения воды для диапазона температур 0–4 °С β1 = –3,3·10–5 К–1, для диапазона температур 4–10 °С β2 = 4,8·10–5 К–1. Расширением стеклапренебречь.

2.18. Трубопровод наполнен водой под давлением 5 атм и температуре 18 °С. Определите давление в трубопроводе при повышении температуры до 23 °С. Коэффициент объемного расширения воды в данном

154

диапазоне температур β = 0,207·10–3 К–1, изотермический коэффициент сжимаемости воды χ = 5·10–10 Па-1. Расширением стенок трубопровода пренебречь.

2.19.Сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью с температурой 20 °С. При нагревании первого сосуда до температуры 40 °С

уровень жидкости в этом сосуде установился на высоте h1 = 50 см. При этом уровень жидкости во втором сосуде (температура которого

осталась 20 °С) установился на высоте h2 = 48,8 см. Определите средний коэффициент объемного расширения жидкости в данном диапазоне температур.

2.20.Ртуть объемом V0 = 1 л нагревают так, что ее объем увеличивается на 1% от начального. Какое тепло нужно затратить на нагревание ртути? Коэффициент объемного расширения ртути в данном диапазоне температур β = 1,85·10–4 К–1, удельная теплоемкость ртути при постоянном давлении с = 138 Дж/(кг·К), начальная плотность ртути ρ0 = 13600 кг/м3.

2.21.Определите максимальный радиус капилляров дерева на высоте 10 м. Коэффициент поверхностного натяжения воды0,07 Н/м.

2.22.Насколько изменится разность уровней h1–h2 воды в двух сообщающихся капиллярах диаметрами d1 = 0,1 мм и d2 = 0,3 мм при нагревании от 20 до 70 °С, если поверхностное натяжение для этих температур равно 0,073 и 0,064 Н/м? Капилляры абсолютно смачиваются водой.

2.23.Вода, абсолютно смачивающая стекло, находится между двумя параллельными стеклянными пластинами. Расстояние между пластинами d = 0,1 мм. Вода имеет круглую форму, диаметр водяного «пятна» D = 5 см. Какую силу нужно приложить перпендикулярно плоскости пластин для того, чтобы их разъединить? Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,07 Н/м.

2.24.Миллиард одинаковых капелек ртути радиусом R = 1 мкм каждая, лежащих на горизонтальной поверхности, сливаются в одну сферическую каплю. Насколько изменится энергия поверхности ртути? Найти изменение температуры ртути, считая, что в окружающую среду энергия не рассеивается. Плотность ртути ρ = 13600 кг/м3, коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,49 Н/м, удельная теплоемкость ртути с = 140 Дж/(кг·К).

155

2.25.Для определения поверхностного натяжения воды взвешивают капли, отрывающиеся от капилляра. Оказалось, что масса 200 капель воды равна 4,7 г, а диаметр капилляра d = 1 мм. Найти коэффициент поверхностного натяжения воды.

2.26.В дне стеклянного сосуда имеется трещина шириной b =

=10 мкм. До какой высоты h можно налить ртуть в сосуд, чтобы еще не вытекала через трещину? Плотность ртути ρ = 13600 кг/м3, коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,487 Н/м. Ртуть не смачивает стекло.

2.27.В дне стеклянного сосуда имеется круглое отверстие радиусом r = 10 мкм. До какой высоты h можно налить ртуть в сосуд, чтобы она не вытекала через отверстие? Плотность ртути ρ = 13600 кг/м3, коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,487 Н/м. Ртуть не смачивает стекло.

2.28.Определите давление воздуха в пузырьке диаметром 10 мкм, который находится в воде на глубине 7,2 м. Коэффициент поверхностного натяжения водыσ = 0,07 Н/м.

2.29.Открытый капилляр радиусом r1 = 0,5 мм наполнен водой. На нижнем конце капилляра висит капля, радиус кривизны которой r2 =

=2 мм. Определите высоту столбика воды в капилляре. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,073 Н/м. Смачивание полное.

2.30.В открытом капилляре радиусом r1 = 0,2 мм находится столбик воды. Краевой угол нижнего мениска острый и составляет θ = 60°. Определите высоту столбика воды в капилляре. Коэффициент поверхностного натяжения водыσ = 0,073 Н/м. Смачивание полное.

2.31.На дне широкой бочки с вином имеется узкий кран диаметром 1 см. Сколько вина можно набрать из крана за время 1 мин, если уровень вина относительно крана в течение минуты примерно постоянен и равен 1,25 м?

2.32.Нефть течет по трубе переменного диаметра. Разность давлений в широкой и узкой части трубы с диаметрами 20 и 10 см составляет 50 мм ртутного столба. Определите расход нефти. Плотность нефти 850 кг/м3.

2.33.В баллоне небольшой высоты находится вода и сжатый воздух, давление которого р = 5 атм. С какой скоростью будет выте-

156

кать вода, если проделать в стенке баллона маленькое отверстие ниже уровня воды?

2.34.Из некоторого источника через круглую трубу с внутренним диаметром D = 3 см вертикально вниз вытекает струя воды. Под струю подставляют бочки емкостью V = 50 л. Верх бочки находится на расстоянии h = 1 м ниже конца трубы. На уровне верха бочки диаметр струи d = 2,5 см. Сколько бочек можно наполнить из этого источника за 1 ч?

2.35.На поршень шприца диаметром D действует сила F = 1 Н.

Скакой скоростью жидкость вытекает из иглы шприца, если диаметр иглы равен d? Решите задачу со следующими данными: а) D = 1 см, d = 0,5 мм; б) D = 2 мм, d = 1 мм.

2.36.В цилиндрическую бочку диаметром D = 1 м налита жидкость. Внизу бочки имеется кран диаметром d = 1 см. Уровень жидкости находится выше уровня крана на h = 50 см. Кран открывают.

Скакой скоростью начнет понижаться уровень жидкости в бочке?

2.37.Струя жидкости с площадью сечения S = 10 см2 бьет в неподвижную стенку перпендикулярно ее поверхности со скоростью υ = 10 м/с. С какой силой струя действует на стенку? После удара вода стекает вдоль стенки.

2.38.Цилиндрический сосуд диаметром D = 20 см и высотой Н =

=40 см ставят под кран, из которого ежесекундно выливается V = 0,2 л воды. В дне сосуда имеется круглая дырка диаметром d = 1 см. Сколько литров воды можно набратьиз крана спомощью такого ведра?

2.39.В сосуд с площадью дна 200 см2 налита вода. В дне сосуда проделано круглое отверстие радиусом 4 мм. Время, за которое вся вода вытекает из сосуда, равно 15 мин. Определите начальный объем воды в сосуде.

2.40.Насос создает на первом этаже двухэтажного дома давление

в водопроводе р1 = 2 атм. Второй этаж дома выше первого на ∆h = 5 м. Определите скорость истечения воды из кранов на первом и втором этажах.

2.41.Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Течение стационарное, ламинарное. Чему равна суммарная сила трения, действующая на участок трубы длиной L, если динамический

157

коэффициент вязкости жидкости равен µ, а максимальная скорость жидкости в сечении трубы равна υmax.

2.42. Жидкость течет по сплюснутой горизонтальной трубе прямоугольного сечения a × b ( a – ширина трубы, b – высота трубы, a >> b ). Течение стационарное, ламинарное. Чему равна суммарная сила трения, действующая на участок трубы длиной L, если динамический коэффициент вязкости жидкости равен µ, а максимальная скорость жидкости в сечении трубы равна υmax.

2.43.Максимальная скорость жидкости, текущей по горизонтальной трубе круглого сечения радиусом R = 20 см, составляет 1 м/с. Чему равна скорость жидкости в точках, удаленных от края трубы на расстояние R/2? Чему равен расход жидкости? Поток ламинарный.

2.44.Средняя скорость жидкости, текущей по горизонтальной трубе круглого сечения радиусом R, составляет 0,3 м/с. Скорость жидкости

вточках, удаленных от поверхности трубы на расстояние 10 см, составляет 0,45 м/с. Чему равен расход жидкости? Потокламинарный.

2.45.Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы r опи-

сывается формулой υ = 1,2 − 30r2 (м/с), радиус r измеряется в метрах. Определите радиус трубы, максимальную и среднюю скорости течения, расход жидкости.

2.46. Жидкость с плотностью ρ = 900 кг/м3 и вязкостью µ = 0,1 Па·с течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы r описывается формулой

υ = 0,5 − 50r2 (м/с), радиус r измеряется в метрах. Определите число Рейнольдса.

2.47.Жидкость с плотностью ρ = 850 кг/м3 и вязкостью µ =

=0,02 Па·с течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы r описывается

формулой υ = 0,1− 6, 4r2 (м/с), радиус r измеряется в метрах. Определите суммарную силу трения, действующую на участок трубы длиной L = 1 м.

2.48.Жидкость с плотностью ρ = 850 кг/м3 и вязкостью µ =

=0,02 Па·с течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы r описывается

158

формулой υ = 0,1− 6,4r2 (м/с), радиус r измеряется в метрах. Определите массу жидкости в трубе на участке длиной L = 1 м, импульс

икинетическую энергию жидкости в объеме этого участка.

2.49.Жидкость с плотностью ρ = 850 кг/м3 и вязкостью µ = = 0,02 Па·с течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы r описывается

формулой υ = 0,1− 6,4r2 (м/с), радиус r измеряется в метрах. Определите разность давлений на концах участка трубы длиной L = 1 м.

2.50.Жидкость с плотностью ρ = 950 кг/м3 и вязкостью µ =

=0,15 Па·с течет по горизонтальной трубе круглого сечения радиусом R = 25 см. Расход жидкости Q = 10 л/с. Докажите, что поток ламинарный. Выведите закон зависимости скорости жидкости от расстояния до оси трубы υ(r), выражая все величины в единицах СИ.

2.51.Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Каким будет число Рейнольдса, если диаметр трубы увеличить в 2 раза при прочих равных условиях? Рассмотрите случаи, когда начальное значение числа Рейнольдса Re = 100 иRe = 10 000.

2.52.Течение жидкости по горизонтальной трубе круглого сечения диаметром d = 0,4 м имеет турбулентный характер. Средняя скорость течения υ = 0,5 м/с. Напор увеличивается в 4 раза. Как изменится расход жидкости?

2.53.По горизонтальной трубе круглого сечения течет жидкость.

Расход жидкости Q1 = 10 л/с. Через некоторое время вязкость жидкости уменьшается в 1,5 раза при практически неизменной плотности и прочих равных условиях. Каким станет расход жидкости? Во сколько раз изменится число Рейнольдса? Рассмотреть случаи ламинарного и турбулентного течений.

2.54.Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Начальное значение числа Рейнольдса Re = 100 и Re = 8000. Как изменится число Рейнольдса в обоих случаях, если радиус трубы увеличить в 1,5 раза, а напоруменьшитьв 3 раза при прочихравныхусловиях?

2.55.Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения.

Средняя скорость течения υ1 = 0,2 м/с. Чему будет равна средняя скорость течения, если напор увеличить в 4 раза, а радиус трубы уменьшить в 2 раза? Рассмотреть случаи ламинарного и турбулентного течений.

159

2.56.Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения.

Средняя скорость течения υ1 = 0,1 м/с. Радиус трубы увеличивают при прочих равных условиях так, что число Рейнольдса увеличивается в 8 раз. Определите среднюю скорость жидкости во втором случае. Рассмотрите случаи ламинарного и турбулентного потоков.

2.57.Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения.

Средняя скорость течения жидкости υ1 = 0,3 м/с. Через некоторое время вязкость жидкости увеличивается в 2 раза при практически неизменной плотности и при прочих равных условиях. Чему будет равна скорость течения? Как изменится суммарная сила трения, действующая на жидкость в трубе? Рассмотрите случаи ламинарного и турбулентного потоков.

2.58.Жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения. Через некоторое время вязкость жидкости увеличивается в 1,5 раза при практически неизменной плотности. Во сколько раз нужно изменить напор для того, чтобы расход жидкости остался прежним? Во сколько раз при этом изменятся число Рейнольдса и суммарная сила трения, действующая на жидкость в трубе? Рассмотрите случаи ламинарного и турбулентного потоков.

2.59.Жидкость течет по горизонтальной трубе радиусом R =

=0,1 м. Средняя скорость потока υ = 0,1 м/с. Напор увеличивают в 2 раза при прочих неизменных условиях. Чему будут равны средняя скорость и расход жидкости? Рассмотреть случаи: 1) жидкость –

нефть, ρ = 900 кг/м3, µ = 0,036 Па·с; 2) жидкость – вода, ρ =

=1000 кг/м3, µ = 0,001 Па·с.

2.60.Жидкость течет по горизонтальной трубе. Расход жидкости

Q1 = 10 л/с. Через некоторое время вязкость жидкости уменьшается на 20 % при практически постоянной плотности. При этом напор жидкости изменяют таким образом, что число Рейнольдса остается прежним. Чему будет равен расход жидкости? Рассмотрите случаи ламинарного и турбулентного течений.

2.61.По горизонтальной трубе круглого сечения течет жидкость с вязкостью µ (Па·с) и плотностью ρ (кг/м3). Течение стационарное. На одном конце трубы давление на n % превышает атмосферное, на другом

160