книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

Интеграл последнего уравнения

Запишем в окончательном виде выражение длязависимости δ(x) :

Формуле (6.19) можно придать безразмерный вид

ν

где Rex − число Рейнольдса для течения в пограничном слое на рас-

стоянии х от края пластинки.

Далее посчитаем напряжение вязкого трения на поверхности пластинки:

Сравним выражение (6.21) с известной [3] «формулой Блазиуса», полученной иным способом решения уравнений пограничного слоя для плоской пластины:

Видим, что совпадение хорошее, так как расхождение результатов (небольшое различие в численном коэффициенте) непревышает 3 %.

Вместо напряжения вязкого трения можно ввести так называемый местный коэффициент сопротивления

который равен отношению напряжения вязкого трения на поверхности пластинки к динамическому напору жидкости во внешнем потоке.

Подставим в (6.23) выражение (6.21) и получим

Взадаче Блазиуса численный коэффициент имеет значение 0,664. Наконец, сосчитаем полное (по обеим сторонам пластинки) со-

противление трения пластинки длиной l (вдоль оси 0х)

Физический смысл последней величины – это сила, приходящаяся на единицу длины (вдоль оси 0z) двусторонней пластины. Размерность Wтр – Н/м.

6.5. Тепловой пограничный слой

Аналогично гидродинамическому пограничному слою Г.Н. Кружилиным было введено понятие теплового пограничного слоя – слоя жидкости у твердой стенки, в пределах которого температура жидкости изменяется от температуры стенки Tc до температуры жидкости

6.6. Аппроксимация профиля температуры

Примем температуру поверхности тела постоянной: Tc = const (не зависит от х). Для удобства температуру жидкости будем отсчитывать от значения Tc . Введем так называемые температурные напоры:

Кривую температурного профиля можно описать полиномом третьей степени

Значения коэффициентов a,b,c,d находятся из следующих граничных условий:

1)y = 0; Θ = 0 , так как T = Tc . Из этого граничного условия и (6.30) получим коэффициент a = 0;

2)y = 0; ∂2Θ∂y2 = 0 . Это условие следует из граничного усло-

вия прилипания для скорости: vx = 0 ; vy = 0 при y = 0 − и из уравне-

ний (6.26), (6.29). Тогда c = 0;

3)y = k; Θ = Θ0 – на внешней границе пограничного слоя;

4)y = k; ∂Θ∂y = 0 . Это условие означает, что профиль темпера-

туры на границе слоя практически касается нормали к стенке. В результате, аналогично (6.14), получим

6.7. Толщина теплового пограничного слоя

Так как k ≤ δ , то интегрирование (6.28) в пределах от y = 0 до y = k является интегрированием в пределах как теплового, так и гидродинамического пограничных слоев.

Интеграл левой части уравнения (6.28) с использованием (6.31), (6.14) примет следующий вид:

74

∫k vx (T0 − T )dy =∫k vx (Θ0 − Θ)dy =

Так как kδ < 1, то второй член выражения мал по сравнению с первым, поэтому им можно пренебречь. В итоге можно записать

Преобразуем правую часть уравнения (6.28):

Объединим (6.32) и (6.33) в интегральное уравнение теплового пограничного слоя (6.28) и получим

Введем новую переменную γ − отношение толщин теплового и гидродинамического пограничных слоев:

Исходя из полной аналогии гидродинамического и теплового пограничных слоев (уравнения, граничные условия, распределения скорости и температуры), можно полагать, что δ и k зависят от координаты x одинаково, тогда их отношение (6.35) не будет зависеть от х, т.е. можно полагать, что γ = const. Перепишем уравнение (6.34) с использованием (6.35):

Продифференцируем левую часть последнего уравнения:

2γδ dγ + γ2 dδ = 10 a . dx dx v0 γδ

Первое слагаемое левой части уравнения обнуляется. Тогда остается

Используем ранее полученное выражение (6.17):

δdδ = 140ν dx 13v0

и получим для (6.36)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Для капельных жидкостей Pr ≥ 1, например, для воды при 20 ºС число Прандтля Pr = 7, тогда по формуле (6.37) получим γ ≈ 0,5 < 1, т.е.

условие (6.35) выполняется.

76

2. Для воздуха в интервале температур от 0 до 90 ºС число Прандтля Pr ≈ 0,7 , тогда γ ≈ 1,1. Получается, что k ≥ δ , хотя разница в тол-

щинахгидродинамического итепловогопограничных слоев невелика.

непригодна.

Подставим полученное ранее выражение (6.19) для δ в (6.37) и получим для толщины теплового пограничного слоя

где Rex – число Рейнольдса для течения в пограничном слое на расстоянии х от края пластинки.

6.8. Коэффициент теплоотдачи

Полученные соотношения позволяют оценить коэффициент теплоотдачи α с учетом ламинарного пограничного слоя на пластинке. Плотность теплового потока на стенке может быть определена из уравнения Фурье

Теплоотдача от стенки к жидкости определяется граничным условием III рода – законом Ньютона−Рихмана:

qc = α(Tc − T0 ) .

77

7.ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

7.1.Гидродинамическая устойчивость

Имеются два основных режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме частицы жидкости движутся упорядоченно, без перемешивания, слоисто (например, рассмотренное ранее течение Пуазейля в круглой трубе). При других условиях на упорядоченное движение жидких частиц накладывается хаотическое, пульсационное движение, приводящее к разрушению слоистой структуры и перемешиванию слоев. В этом случае направления и значения скоростей отдельных частиц беспрестанно меняются. Такой режим течения называется турбулентным.

Возникновение турбулентного режима связано с потерей устойчивости движения жидкости, которая наступает при определенных значениях гидродинамических параметров. Если в ламинарном потоке малые возмущения затухают и не приводят к изменению его структуры, то такой поток является устойчивым. Малые возмущения возникают, например, на входе жидкости в трубу из резервуара – «неплавность» входа в трубу.

В противоположность этому, в неустойчивых движениях малые вначале возмущения растут, существенно изменяя характер начального движения. В этом случае возможен переход либо к новому устойчивому движению, если таковое имеется, либо к хаотическому турбулентному движению.

Впервые научные исследования возникновения турбулентного движения проводил в 1883 г. английский физик О. Рейнольдс. Он изучал поведение подкрашенной струйки в потоке жидкости, текущей в круглой прозрачной цилиндрической трубе (рис. 7.1).

При малых скоростях по прямолинейным струйкам краски в начальном участке трубы пробегали волны, которые затухали ниже по течению, течение в этом случае было устойчивым. При повышении скорости ламинарного движения жидкости на прямолинейную струй-

79

ку начали накладываться волны, которые с ростом скорости жидкости разбивались на нерегулярные, перемешивающиеся между собой более мелкие струйки – происходил переход от ламинарного течения к турбулентному.

Рис. 7.1

Устойчивый ламинарный режим в круглой трубе существует при числах Рейнольдса Re ≤ Reкр , где Reкр ≈ 2300 . В этом случае в потоке

затухают любые внешние малые возмущения. При Re > Reкр в зависи-

мости от условий может существовать либо ламинарный, либо турбулентный режим. При Re >> Reкр реализуется развитаятурбулентность.

Механизм перехода от ламинарного течения к турбулентному достаточно сложен и выяснен не полностью. Так, при Re ≈ Reкр в ла-

минарном потоке периодически появляются кратковременные очаги турбулентности, которые могут на отдельных участках заполнять все сечение потока (турбулентные пробки). Другими словами, при одном и том же значении Re в одном и том же сечении трубы может происходить чередование ламинарных и турбулентных режимов – так называемая перемежаемость режимов. Ее количественная характеристика – коэффициент перемежаемости γ − представляет собой долю времени ∆t существования турбулентного режима в данном сечении трубы в течение некоторого времени t: γ = ∆tt .

80