книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

Теперь запишем левую часть уравнения (5.15) для давления:

1 ∂p = C = 0 ,

ρ ∂z

откуда получим (с учетом (5.9)) p = const .

Распределение скорости (5.20) кубическое. Интенсивность течения пропорциональна разности температур. С увеличением разности температур скорость возрастает, и стационарное движение становится неустойчивым.

Определим максимальное значение скорости (vz )max . Координа-

ты максимальных значений скорости находятся из условия dvz = 0 , dx

откуда получим 3x2 = h2 и, следовательно, x1,2 = ± h 3 = ±0,577 h .

Как видим, максимальные значения скорости располагаются не строго посередине отрезков [0, h] и [0, –h].

Подставим полученные координаты в (5.20) и найдем искомое выражение для максимальных значений скорости:

Профиль скорости течения жидкости представлен на рис. 5.1.

Контрольные вопросы

1.В чем состоит смысл приближения Буссинеска?

2.Вывести уравнение свободной конвекции.

3.Описать конвективное течение в вертикальном слое.

4.Объяснить условие замкнутости течения.

61

6. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

Рассмотрим гидродинамические и тепловые процессы в пристенном слое жидкости. Скорость тончайшего слоя жидкости, непосредственно прилегающего к поверхности твердого тела, равна нулю, т.е. выполняется так называемое условие прилипания.

6.1. Гидродинамический пограничный слой

Рассмотрим продольное обтекание плоской твердой поверхности тела безграничным потоком жидкости (рис. 6.1). Пусть скорость набегающего потока постоянна и равна v0 . Около пластины образуется

слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхности до v0 вдали от тела. Этот слой назы-

вается гидродинамическим пограничным слоем, теория которого создана Л. Прандтлем (1904).

Если l − характерная длина пластины вдоль оси x, то справедливо неравенство δ << l .

При омывании пластины поток жидкости как бы разделяется на две части: пограничный слой, для которого справедливо условие

Во внешнем потоке, где число Рейнольдса Re >> 1, преобладают силы инерции, вязкостные силы здесь не проявляются, т.е. жидкость можно считать идеальной. Напротив, в пограничном слое силы вязкости и инерционные силы соизмеримы.

Явления, происходящие в пограничном слое, служат источником гидродинамического сопротивления при движении тел в жидкостях.

Запишем уравнения движения и сплошности для двумерного стационарного потока жидкости:

Упростим, следуя Прандтлю, систему дифференциальных уравнений (6.1). Ввиду малости толщины пограничного слоя δ принимаем, что поперек него давление не изменяется ( ∂p∂y = 0 ). В дальнейшем будем рассматривать так называемое безградиентное приближение, в котором ∂p∂x = 0 в области пограничного слоя.

Далее проведем оценки порядков величин и слагаемых, входящих в уравнения (6.1). Порядки величин: x = O(l), y = O(δ),

vx = O(v0 ) , где О – обозначение порядка величины. Порядки производных:

Оценим порядок величины vy . Для уравнения сплошности порядки малости слагаемых одинаковы

63

Все члены уравнения в оценках порядков малости имеют сомножитель δl << 1, следовательно, все эти члены малы по сравне-

нию с членами уравнения (6.2). В приближении погранслоя вторым уравнением системы (6.1) полностью пренебрегают.

В итоге для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности можно записать уравнения Прандтля в следующем виде:

6.2. Интегральные уравнения пограничного слоя

В инженерных расчетах применяются методы, основанные на интегральных соотношениях, которые можно получить путем непосредственного интегрирования уравнений (6.3), (6.4) пограничного слоя.

Правую часть уравнения (6.3) преобразуем, используя выражение для касательного вязкого напряжения (2.8):

τтр = µ ∂vx . ∂y

Продифференцируем последнее выражение, поделим его на ρ:

и подставим в правую часть уравнения (6.3):

Порядок дифференциального уравнения понизился. Проинтегрируем (в пределах от 0 до ∞) обе части уравнения (6.5).

Введем для интегралов от слагаемых уравнения (6.5) обозначения

равны нулю, поэтому для удобства верхние пределы интегралов выбраны равными бесконечности.

где (τтр )c − касательное вязкое напряжение наповерхности стенки y = 0.

Для нахождения I2 выразим величину vy из уравнения сплошно-

сти (6.4):

y∂v

vy = −∫0 ∂xx dy ,

иподставим в левую часть уравнения (6.5):

Второй интеграл можно брать по частям. Напоминаем соответствующую формулу:

b b

∫u dv = (u v ) ba − ∫v du.

a a

66

Применим ее в наших расчетах:

В последнем равенстве поменяли последовательность интегрирования и дифференцирования. Это можно сделать, так как интеграл берется по y, а пределы интегрирования не зависят от х.

Подставим (6.7) и (6.8) в уравнение (6.6) и перейдем от верхнего предела интегрирования y = ∞ к пределу y = δ:

Уравнение (6.9) называется интегральным уравнением импульсов в безградиентном приближении для гидродинамического пограничного слоя.

Выясним физический смысл полученного уравнения. Введем в рассмотрение новую величину

которая определяет перенос количества движения через площадку y z = δ 1 . Преобразуем левую часть уравнения (6.9) с использова-

нием (6.10):

67

ρ∫δ vx (v0 − vx )dy =∫δ (ρv0 )vxdy − ∫δ (ρvx )vxdy = J0 − J.

пластины обусловлено вязким сопротивлением трения на поверхности стенки. Интегральное уравнение с пояснением его физического смысла впервые было получено Т. Карманом.

6.3. Распределение скорости в пограничном слое

Распределение скорости в ламинарном пограничном слое (см. рис. 6.1) по форме близко к кубическому. Кривую скорости удобно описать полиномом третьей степени

Значения коэффициентов a,b,c,d находятся из следующих граничных условий:

1)y = 0; vx = 0 − условие прилипания. Из этого граничного условия и (6.12) получим, что коэффициент a = 0;

2)y = 0; ∂2vx ∂y2 = 0 . Это условие следует из граничного усло-

вия прилипания для скорости: vx = 0 ; vy = 0 при y = 0 − и из уравнения (6.3). Тогда

3)y = δ; vx = v0 − на внешней границе пограничного слоя;

4)y = δ; ∂vx ∂y = 0 . Последнее условие означает, что профиль скорости на границе слоя практически касается нормали к стенке.

68

Учет граничных условий 1 и 2 приводит к сокращению полинома

(6.12) до вида

0 = b + 3dδ2 .

Решив последнюю систему, находим выражения для оставшихся коэффициентов полинома (6.13):

Такую процедуру для определения скорости в 1921 г. впервые осуществил К. Польгаузен.

6.4.Толщина пограничного слоя при обтекании пластины

Подставим полученное распределение скорости (6.14) в интегральное уравнение импульсов (6.9). Преобразуем сначала правую часть уравнения:

Интеграл от левой части уравнения (6.9) представим в виде

Уравнение (6.17) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Егоможно представить в виде

δdδ = 140 ν dx . 13 v0

70