книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

Для прояснения ситуации рассмотрим следующий пример. Пусть необходимо измерить температуру воды в реке (ϕ = Т). Если мы измеряем температуру, стоя на мосту, то под ∂T∂t мы понимаем из-

менение Т со временем в конкретной точке A с координатами (xA, yA, zA). Если же мы проводим измерения, находясь на плоту, который плывет по течению со скоростью реки, то субстанциональная производная dTdt дает нам скорость изменения температуры какой-то

жидкой частицы, которая перемещается вместе с рекой по течению. Выражению (3.3) можно придать более компактный вид. Для этого рассмотрим скалярное произведение вектора скорости и опера-

тора «набла»:

так как для ортов выполняются правила скалярного произведения:

в частных производных, описывающее температурное поле в движущейся среде. Вывод этого уравнения аналогичен выводу уравнения теплопроводности в твердом теле (см. подразд. 1.2). Отличие состоит в том, что теперь элементарный объем dV движется вместе с жидкостью со скоростью потока в той точке, где находится этот объем dV. Поэтому в полученном ранее уравнении (1.12) частную производную по времени ∂T∂t нужно заменить субстанциональной про-

изводной dTdt , в результате чего получим

41

dT = a ∆T + qV . dt ρc

Если внутренние источники тепла отсутствуют, т.е. qV = 0 , то

В уравнение (3.6) вошли три компоненты скорости vx , vy , vz , по-

этому необходимо получить уравнения движения, которые бы описывали изменение скорости во времени и в пространстве.

3.3. Уравнения движения

Вывод уравнений движения жидкости не является строгим, но зато он нагляден [2]. Выделим в потоке вязкой жидкости элементарный объем dV = dx dy dz . В основе вывода – второй закон Ньютона

F = ma : сила равна массе, умноженной на ускорение. Силы, действующие на dV, разделим на массовые или объемные (сила тяжести) и поверхностные (силы давления и трения).

Рассмотрим составляющую движения вдоль оси 0х. Сначала бу-

3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)

Уравнение неразрывности выводится на основе закона сохранения массы. Выделим в потоке жидкости неподвижный элементарный объем в форме параллелепипеда dV = dxdydz (рис. 3.2) и посчитаем

массу жидкости, протекающую через него за время dt. В направлении оси 0х через

грань y0z втекает масса жидкости dM x = ρvxdtdydz .

Через противоположную грань вытекает масса

Аналогичные выражения получаются для двух других направлений:

равен уменьшению плотности жидкости в этом объеме за время dt:

−∂ρ dV dt .

∂t

45

Приравняв оба выражения и поделив их на dVdt, получим уравнение неразрывности для сжимаемых жидкостей (газов):

Длянесжимаемых жидкостей ρ = const, поэтому (3.18) упрощается:

3.5.Краевые условия

Вслучае, когда движение жидкости является неустановившимся, необходимо задавать как начальные, так и граничные условия. На твердой поверхности выполняется так называемое условие прилипания жидкости

vr S = 0

или

vn S = 0; vτ S = 0 ,

где vn и vτ – нормальная и касательная составляющие скорости со-

ответственно.

Первое условие означает непроницаемость твердой стенки, второе – отсутствие проскальзывания жидкости вдоль стенки.

Измерения скоростей показали, что толщина неподвижного слоя жидкости весьма мала: она составляет несколько молекулярных слоев, т.е. не превышает 5 10−7 см.

В зависимости от рассматриваемой задачи возможны другие граничные условия: на границе двух несмешивающихся жидкостей, на свободной поверхности жидкости и т.д.

46

Контрольные вопросы

1.Дать определение конвективного теплообмена.

2.Дать определение субстанциональной производной.

3.Сравнить уравнение теплопереноса дляжидкостей и твердых тел.

4.Вывести уравнения Навье−Стокса.

5.Получить уравнение сплошности.

6.Привести краевые условия в задачах движения жидкости.

47

4. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Вследствие нелинейности системы уравнений движения жидкости точные решения удается найти лишь для небольшого числа сравнительно простых течений. Это возможно, если движение жидкости обладает симметрией, в результате которой дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

4.1. Установившееся движение жидкости между параллельными плоскостями – течение Куэтта

Рассмотрим изотермическое (T = const), установившееся ( ∂∂t = 0 ) течение несжимаемой (ρ = const) жидкости между двумя параллельными горизонтальными плоскостями y = ±h (рис. 4.1). Течение одномер-

Все слагаемые левой части уравнения равны нулю, справа отличны от нуля первое и третье слагаемое. Таким образом, остается

где используются прямые производные, так как остались только

тогда уравнение (4.1) упрощается, так как остается только одна неизвестная – скорость потока vx :

Запишем граничные условия. Предположим, что верхняя плоскость движется со скоростью v1 , а нижняя – со скоростью v2 , тогда условия прилипания надвижущихсятвердых границах будут иметьвид

Обыкновенное дифференциальное уравнение (4.3) нетрудно проинтегрировать. Его общее решение имеет вид

где С1 и С2 – константы интегрирования, значения которых находим из граничных условий (4.4):

49

Решив два последних уравнения, получим

Подставим значения констант интегрирования в общее решение (4.5) и получим решение поставленной задачи:

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если движение безнапорное, т.е. ∆p∆x = 0 , то распределение скорости по сечению потока будет линейным:

Последнее уравнение описывает так называемое течение Пуазейля между неподвижными параллельными плоскостями. Максимальная скорость такого потока жидкости будет наблюдаться при y = 0:

2µ ∆x

На рис. 4.2 показан параболи-

ческий профиль скорости течения Рис. 4.2 Пуазейля.

50