книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен
.pdf9. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
9.1. Уравнения Эйлера
Идеальная, или невязкая, жидкость является упрощенной моделью реальной вязкой жидкости. Идеальная жидкость имеет все свойства реальной, кроме вязкости, поэтому для получения уравнений движения идеальной жидкости можно в уравнениях Навье–Стокса принять µ = 0:
r |
|
|
|
r |
|
|
∂v |
+ (vr )vr |
|
1 |
|
||
= − |
p + F , |
(9.1) |
||||
∂t |
ρ |
|||||
|
|
|
|
r
где F – массовая сила, приходящаяся на единицу массы жидкости, имеющая размерность ускорения м/с2.
Уравнение (9.1) называется уравнением Эйлера, оно описывает движение как сжимаемой, так и несжимаемой идеальной жидкости (газа).
Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости остается без
изменения: |
|
∂ρ + div(ρvr) = 0 , |
(9.2) |
∂t |
|
а для несжимаемой жидкости ρ = const; divv = 0 .
Если плотность жидкости является функцией только давления ρ = ρ( p) , то жидкость называется баротропной. Несжимаемая жид-
кость баротропна.
Граничные условия на твердых поверхностях для идеальной и вязкой жидкостей отличаются. В идеальной жидкости, не взаимодействующей с твердым телом из-за отсутствия вязкости, vτ не может
быть как-либо ограничена. При движении идеальной жидкости отсутствует прилипание жидкости к твердым границам:
101
vτ |
|
S ≠ 0 , |
(9.3) |
|
|||
|
|
и жидкость скользит вдоль стенки. Граничным условием для идеальной жидкости является непроницаемость твердой неподвижной стенки:
vn |
|
S |
= 0 , |
(9.4) |
||
|
||||||
|
|
|
||||
а в случае движения стенки |
|
|
||||
vn |
|
S |
= un , |
(9.5) |
||
|
||||||
|
|
|||||
где un – нормальная составляющая скорости стенки.
Условия (9.3)–(9.5) означают, что вектор скорости жидкости касателен к граничной поверхности, т.е. граничная поверхность является линией тока. С другой стороны, верно и обратное утверждение. Любую линию тока в идеальной жидкости можно условно принять за твердую границу, не нарушив при этом структуру течения.
Уравнения Эйлера проще уравнений Навье–Стокса, что позволяет в ряде случаев находить полезные для практики решения.
9.2. Уравнение Громеки–Лэмба
Массовые силы, которые встречаются в природе и технике, в большинстве случаев являются консервативными. Поле таких сил потенци-
ально. Можно ввести потенциал массовых сил Φ(x, y, z) |
и представить |
|
r |
в следующем виде: |
|
вектор F |
|
|
|
F = − grad Φ = − Φ . |
(9.6) |
Далее преобразуем конвективный член (vr )vr уравнения (9.1).
Для этого воспользуемся формулой векторного анализа для произ- r r
вольных векторов a и b :
r |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
(9.7) |
grad(a |
b) = (a )b |
+ (b ) a |
+ a |
× rot b |
+ b |
× rot a . |
||||
Здесь rot ar – роторвектора ar , определяемый следующим образом:
102
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
∂az |
|
∂ay r |
∂ax |
||
rot a |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
i |
+ |
|
∂x |
|
∂y ∂z |
∂y |
|
∂z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|||||||
|
|
ax |
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂az r |
∂ay |
|||
− |
|
j |
+ |
|
|
∂x |
∂x |
||||
|
|
|
|||
− |
∂ax |
r |
|
|
k . |
||
∂y |
|||
|
|
r |
r |
r |
, поэтому (9.7) |
будет иметь вид |
|
В нашем случае a |
= b |
= v |
|
||
(vr vr) = 2(vr )vr + 2(vr× rot vr) = (v2 ) . |
(9.8) |
||||
И.В. Савельев в своем курсе общей физики приводит такую достаточно наглядную картину: «…в случае поля вектора скорости текущей жидкости представление о rot vr можно получить, представив
себе небольшую легкую крыльчатку, помещенную в данную точку жидкости. В тех местах, где ротор отличен от нуля, крыльчатка будет вращаться, причем с тем большей скоростью, чем больше проекция ротора на ось крыльчатки».
Введем стандартное обозначение
Ω = rot vr |
(9.9) |
для завихренности вектора скорости. Из (9.8) и (9.9) выразим конвективный член:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
r |
|
|
(vr )vr = |
(v2 )− (vr× Ω) . |
(9.10) |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Подставим (9.6) и (9.10) в уравнение Эйлера (9.1) и получим |
|||||||||||
r |
|
2 |
|
|
|
|
r |
|
|
||
∂v |
+ |
v |
|
|
− (vr |
× Ω) = − |
1 |
p − Φ . |
|
||
∂t |
|
|
ρ |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далее можно объединить «градиентные» члены уравнения и получитьдлянесжимаемой идеальной жидкости уравнение Громеки–Лэмба:
r |
|
r |
|
v |
2 |
|
p |
|
|
∂v |
− (vr |
× Ω) = − |
|
+ |
+ Φ . |
(9.11) |
|||
∂t |
|
|
ρ |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
Для некоторых классов течений идеальной жидкости из уравнения Громеки–Лэмба можно получить общий интеграл, использование которого удобно при решении прикладных задач.
9.3. Интеграл Бернулли
Рассматривается установившееся безвихревое течение идеальной жидкости:
r |
r |
|
∂v |
||
= 0; Ω = 0 . |
||
∂t |
|
В этом случае для любой линии тока
v2 |
+ |
p |
+ Φ = const . |
(9.12) |
2 |
|
|||
|
ρ |
|
||
Последнее соотношение называется интегралом Бернулли. Если массовыми силами являются только силы тяжести, то
Φ= gz и тогда интеграл Бернулли примет вид
v2 + ρp + gz = const .2
Поделим обечасти уравнения наускорение свободного падения g:
v2 |
+ |
p |
+ z = const . |
(9.13) |
2g |
|
|||
|
ρg |
|
||
Слагаемые уравнения (9.13) имеют размерность длины; первое называется скоростным напором, второе – пьезометрическим напором, третье – геометрическим напором. Вся сумма называется полным гидравлическим напором или полной гидравлической высотой.
Уравнение (9.13) является математической записью теоремы Бернулли: при установившемся движении идеальной жидкости в поле силы тяжести сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров постоянна вдоль любой линии тока.
Теорема Бернулли активно используется при решении различных гидравлических задач.
104
9.4. Уравнение Гельмгольца. Теорема Томсона
Введем для упрощения записей следующее обозначение:
v2 + p + Φ = B ,
2 ρ
тогда уравнение Громеки–Лэмба (9.11) можно представить в виде
∂vr r |
r |
(9.14) |
− (v |
× Ω) = − B . |
|
∂t |
|
|
Распишем (для справки) последнее уравнение покомпонентно:
∂vx ∂t
∂vy
∂t
∂vz ∂t
− (vy Ωz − vz Ω y ) = − ∂∂B ; x
− (vz Ωx − vxΩz ) = − ∂∂B ; y
− (vxΩ y − vy Ωx ) = − ∂∂B . z
Применим операцию rot(…) к обеим частям уравнения (9.14):
|
∂vr |
r |
r |
= −rot ( B) . |
|
rot |
− (v |
× Ω) |
|||
|
∂t |
|
|
|
|
Из векторного анализа известно, что rot ( B) = 0 , следовательно, |
|||||
|
∂vr |
r |
r |
, |
|
|
rot |
∂t |
− (v × Ω) = 0 |
||
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
∂Ω |
|
r |
r |
(9.15) |
|
∂t |
+ rot(Ω × v) = 0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
Далее преобразуем слагаемое rot(Ω × vr) уравнения (9.15). Для
этого воспользуемся формулой векторного анализа для произволь- r r
ных векторов a и b :
105
rot (ar× br) = (br )ar − (ar )br + ar divbr − br divar .
В нашем случае ar = Ωr, br = vr , следовательно,
r |
r r |
r |
− vr |
r |
|
rot (Ω × vr) = (vr )Ω − (Ω )vr |
+ Ω divvr |
divΩ . |
(9.16) |
||
Дивергенция завихренности скорости равна нулю:
divΩr = div(rotvr) = 0 ,
кроме того, для несжимаемой жидкости divvr = 0 , тогда (9.16) сокращается до вида
rot (Ωr × vr) = (vr )Ωr − (Ωr )vr .
Подставим последнее выражение в уравнение (9.15):
r
∂Ω + (vr )Ωr = (Ωr )vr. (9.17)
∂t
В левой части уравнения (9.17) стоит субстанциональная производная, поэтому его можно записать в «свернутом» виде:
r
dΩ = (Ωr )vr . (9.18) dt
Уравнение (9.18) (или (9.17)) называется уравнением Гельмгольца для вихрей скорости движения несжимаемой баротропной жидкости в консервативном поле массовых сил.
Для идеальной жидкости справедлива теорема Томсона о сохраняемости вихревых движений в баротропной жидкости, согласно которой вихревые движения не могут возникать или исчезать, если действующие на жидкость силы имеют однозначный потенциал. Другими словами, если в начальный момент времени движение было безвихревым, то при указанных условиях оно и останется безвихревым. Причины возникновения и исчезновения вихрей лежат за пределами теории идеальной жидкости.
106
Вслучае вязкой жидкости (не идеальной) причиной вихревого движения является условие прилипания на твердых границах. Не всегда вихревое движение сопровождается образованием визуально наблюдаемых вихрей.
Вкачестве примера вспомним течение Куэтта для вязкой жидкости между неподвижными параллельными плоскостями. Ранее было
получено выражение (4.9) для скорости vx = vx ( y) такого течения:
v= − (h2 − y2 ) ∆p .
x2µ ∆x
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
Рассмотрим z-компоненту вектора Ω = rot vr : |
||||||||||
|
Ωz |
= |
∂vy |
− |
∂vx |
= − |
∂vx |
= − |
1 ∆p |
|
|
|
|
|
|
y . |
|||||
|
∂x |
∂y |
∂y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
µ ∆x |
||||
Так как |
∆p < 0, то Ωz |
> 0 при y > 0 и Ωz < 0 при y < 0. |
||||||||
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что rданное течение
вихревое, вектор Ω во всех точках параллелен оси z или нормален линиям тока (рис. 9.1). Однако вихревая структура течения в данном случае не наблюдается. Причина вихревого движения вязкой жидко-
сти – условие прилипания на твер- Рис. 9.1 дых границах.
Контрольные вопросы
1.В чем состоит отличие идеальной жидкости от реальной?
2.Вывести уравнение Эйлера для идеальной жидкости.
3.Сравнить граничные условия дляидеальной и вязкой жидкости.
4.Вывести уравнение Громеки−Лэмба.
5.Раскрыть физический смысл интеграла Бернулли.
6.Получить уравнение Гельмгольца для идеальной жидкости.
7.Сформулировать и раскрыть смысл теоремы Томсона.
8.В чем причина вихревого движения вязкой жидкости?
107
ЗАДАЧИ
1. Теплопередача. Дифференциальное уравнение теплопроводности
Для того чтобы было удобно и быстро преобразовывать уравнения и компактно их записывать, во многих областях физики используются такие математические понятия, как градиент, дивергенция, ротор, оператор набла и оператор Лапласа ∆ .
Градиентом скалярной функции f (x, y, z) называется вектор
grad f = ∂f ir + ∂f rj + ∂f kr .
∂x ∂y ∂z
Если каждой точке пространства ставится в соответствие некоторый вектор ar(x, y, z), то будем говорить, что в пространстве задано векторное поле. При этом, естественно, любая проекция вектора является функцией всех трех координат: ax (x, y, z), ay (x, y, z) ,
az (x, y, z) . По сути, векторное поле представляет собой сразу три
скалярные функции.
Дивергенцией векторного поля ar(x, y, z) (или, сокращенно, вектора ar ) называется скалярная величина
div ar = ∂ax + ∂ay + ∂az .
∂x ∂y ∂z
Ротором векторного поля ar(x, y, z) (или, сокращенно, вектора ar ) называется вектор
r |
|
∂az |
|
∂ay r |
∂az |
||
rot a |
= |
|
− |
|
i |
− |
|
∂y |
|
∂x |
|||||
|
|
|
∂z |
|
|||
Оператор-вектор набла = ir ∂
∂x
|
∂ax r |
∂ay |
|||
− |
|
j |
+ |
|
|
∂z |
∂x |
||||
|
|
|
|||
+ rj ∂ + kr ∂ . ∂y ∂z
∂a r − x k
∂y
108
Если подействовать оператором на скалярную функцию f (x, y, z) (т.е. формально умножитьвектор на скаляр f), то получится
f = ir ∂f + rj ∂f + kr ∂f .
∂x ∂y ∂z
Таким образом, f = grad f . Кроме того, легко показать (сделайте это самостоятельно), что дивергенцию вектора ar можно представить как скалярное произведение оператора набла на вектор ar : div ar = ( ,ar) , а ротор вектора ar – как векторное произведение оператора набла на вектор ar :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rot ar = |
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
= [ × ar] . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
∂z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 1. Найдите |
|
|
|
|
rr |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|||||||||||||
div |
|
|
|
, где |
r |
= xi |
|
+ yj + zk – радиус-вектор, |
||||||||||||||||||||||||||
r2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = x2 + y2 + z2 |
|
– модуль радиус-вектора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. По определению |
|
|
r |
|
∂ax |
|
|
|
∂ay |
|
∂az |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
div a |
= |
|
|
∂x |
+ |
|
|
|
|
+ ∂z . |
В нашем слу- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂y |
|||||||||||||||||||||||||||||||
чае роль вектора ar играет вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
r |
|
rr |
|
|
|
x |
|
|
|
|
r |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
z |
|
r |
|||||||
a |
= |
|
|
= |
|
|
|
i + |
|
|
|
j |
+ |
|
|
|
k . |
|||||||||||||||||
r2 |
x2 + y2 + z2 |
x2 + y2 + z2 |
|
x2 + y2 + z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ax = |
|
|
|
|
x |
, ay = |
|
|
|
y |
|
|
|
|
, az = |
z |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 + y2 + z2 |
x2 + y2 + z2 |
x2 + y2 + z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Находим частную производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
∂ax |
= |
1 (x2 |
+ y2 + z2 )− x (2x) |
= |
|
y2 + z2 − x2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
(x2 + y2 + z2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109 |
|
Аналогично получим
|
|
|
|
∂ay |
= |
|
x2 + z2 − y2 |
, |
∂az |
= |
x2 + y2 − z2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂y |
|
r4 |
∂z |
|
r4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В итоге получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
2x2 |
+ 2y2 |
+ 2z2 − x2 − y |
2 − z2 |
|
|
x2 + y2 + z2 |
|
r2 |
1 |
|
|||||||
div a |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
= |
|
. |
||
|
|
|
|
|
r4 |
|
|
|
r4 |
r4 |
r2 |
||||||||
Теперь дадим краткую сводку основных законов теплопередачи в твердых телах (подробнее см. гл. 1).
Закон Фурье для вектора плотности теплового потока (сокращенно, теплового потока, или потока тепла):
qr = −λ gradT .
Нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности в случае, когда коэффициент теплопроводности не зависит от координат, т.е. λ = const, имеет вид
|
|
∂T = a∆T + |
qV |
, |
|
|
|
cρ |
|||
|
|
∂t |
|
||
где a = |
λ |
– коэффициент температуропроводности: qV – мощ- |
|||
cρ |
|||||
|
|
|
|
||
ность внутренних источников теплоты, или тепло, выделяющееся в единице объема вещества за единицу времени.
Пример 2. Внутри шара радиусом R в единице объема вещества за единицу времени выделяется тепло qV . Определите величину вектора потока тепла qr через поверхность шара в стационарном тепло-
вом режиме.
Решение. Тепло, выделяющееся за время ∆t внутри объема V шара,
Q1 = qVV ∆t = qV 4 πR3∆t . 3
110