Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нефтегазовая гидромеханика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

4.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

где Q – расход жидкости на некотором отрезке контура; q – расход

жидкости, соответствующий одной линии тока.

В тех случаях, когда в фильтрационном поле отсутствуют источники и стоки, такое поле называется соленоидальным, для него можно записать уравнение неразрывности и уравнение движения.

2.14.2. Уравнение неразрывности движения жидкости

Пусть через левую грань бесконечно малого объема пористой среды размерами dx, dy, dz поступает упругая капельная жидкость

(рис. 2.56).

Рис. 2.56. Малый объем пористой среды

В силу малости выделенного объема допускается, что плотность и скорость распределены на гранях равномерно и равны значениям в их центрах.

ν= f (x, y, z,t ),

ρ= f (x, y, z,t).

Проекция массовой скорости фильтрации в т. A, расположенной в центре левой грани, на ось OX: ρvx .

Проекция массовой скорости фильтрации в т. А1, расположенной в центре правой грани, на ось OX:

151

ρvx1	= ρvx +	∂ (ρvx )	dx.	(2.305)

		∂x

Массовая скорость фильтрации может использоваться для определения массы флюида. В общем случае

M = ρv F t,

(2.306)

где F – площадь перпендикулярного направлению движения сечения; t – время.

Таким образом, масса флюида, поступающего в выделенный элемент пористой среды через левую грань за промежуток времени dt:

M x = ρvx dydz dt.

(2.307)

Масса флюида, вытекающего из выделенного элемента пористой среды через правую грань:

					∂	(ρv	x	)
M x1	= ρvx1	dydz dt =	ρvx +				x		dx dydz dt =
M x1	= ρvx1	dydz dt =	ρvx +			∂x			dx dydz dt =
				∂ (ρvx )		∂x				(2.308)
										(2.308)
	= ρvx dydzdt +					dxdydzdt.
	= ρvx dydzdt +					dxdydzdt.
				∂x

Изменение массы флюида в объеме выделенного элемента за отрезок времени dt за счет потока вдоль оси OX:

dM x = −	∂ (ρvx )	dxdydzdt.	(2.309)

	∂x

Аналогично определяются изменения массы флюида за счет потока вдоль осей OY и OZ:

dM y = −	∂ (ρvy )		dxdydzdt,	(2.310)

	∂y

dM z = −	∂ (ρvz )	dxdydzdt.		(2.311)

	∂z

152

Общее изменение массы флюида, выраженное через массовую скорость:

dM = dM x + dM y + dM z =

	∂ (ρv	x	)		∂ (ρvy )		∂ (ρv	z	)
= −		x		+		+		z		dxdydzdt.	(2.312)
= −	∂x			+	∂y	+	∂z			dxdydzdt.	(2.312)
	∂x				∂y		∂z

С другой стороны, масса флюида в рассматриваемом объеме

M = ρ m V = ρ m dxdydz,				(2.313)
а изменение массы за момент времени dt
dM = ∂M	dt =	∂ (ρm)	dt dxdydz.	(2.314)

∂t		∂t

Приравнивая полученные различными способами выражения изменения массы, запишем уравнение неразрывности движения жидкости:

∂ (ρv

)

∂ (ρvy )

∂ (ρv

)

−

dxdydzdt =

∂x

∂y

∂z

∂ (ρm)

dt dxdydz,

(2.315)

∂t

∂ (ρvx

)

∂ (ρvy )

∂ (ρvz

)

= −m

∂ρ

(2.316)

∂x

∂y

∂z

∂t

2.14.3. Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой капельной жидкости в упругой пористой среде (уравнение пьезопроводности)

Вывод дифференциального уравнения неустановившейся трехмерной фильтрации упругой капельной жидкости в упругой пористой среде основан на использовании уравнения неразрывности.

153

Здесь и далее плотность жидкости обозначена как ρж. Переписываем уравнение неразрывности в более развернутом виде:

ρж	∂m	+ m	∂ρж + div(ρжv) = 0.	(2.317)
	∂t		∂t

Принимаем, что пористость пласта нелинейно зависит от среднего нормального напряжения σ. Однако в диапазоне изменения σ от доли единицы до 10 МПа зависимость пористости от среднего нормального напряжения можно считать линейной:

m = m0 − βc (σ − σ0 ),	(2.318)
где βc – сжимаемость пористой среды пласта; σ0	– начальное сред-

нее нормальное напряжение.

Используем связь между горным давлением по вертикали Рг, средним нормальным напряжением и внутрипоровым (пластовым) давлением Р, определяемую формулой

Рг = σ + Р,

из данной формулы следует, что при Рг = const

∂σ = − ∂Р. ∂t ∂t

Преобразуем выражение для пористости:

∂m = ∂m ∂σ = ∂t ∂σ ∂t

=	∂ (m0 − βc (σ − σ0 ))	∂σ	= −βc	∂σ	= βc	∂Р	.	(2.319)
	∂σ	∂t		∂t		∂t

Плотность фильтрующейся в пласте жидкости в первом приближении линейно зависит от давления Р, т.е.

ρ	ж	= ρ	1+ β	ж	(Р− Р )	,	(2.320)
	ж		ж0	ж	0

154

где βж – сжимаемость жидкости; ρж0 чальном давлении Р0.

Исходя из этого, имеем
						∂ρж		=	∂ρж
							∂t		∂Р
	∂	(	ρ	ж0	1+ β	ж	(Р− Р )
=		(		ж0		ж			0 )
=					∂Р
					∂Р

– плотность жидкости при на-

∂Р = ∂t

	∂Р	= ρ	ж0	β	ж		∂Р.	(2.321)
	∂t		ж0		ж		∂t

Используя закон Дарси и считая проницаемость k и вязкость жидкости μ не зависящими от координаты, имеем

div(ρж v) = −	k	div(ρж gradР).	(2.322)

	μ

Подставляем все полученное в начальное уравнение

ρжβc	∂Р	+ m ρж0	βж	∂Р	=	k	div(ρж gradР).	(2.323)
	∂t			∂t
						μ

Учитывая незначительную сжимаемость жидкости, можно предположить ρж ≈ ρж0 . Тогда окончательно получим дифференци-

альное уравнение упругого режима в следующем виде:

∂Р

= divgradР,

(2.324)

∂t

∂Р

∂2 Р

∂2

(2.325)

∂t

∂x2

∂y2

∂z2

где – коэффициент пьезопроводности.

=	k
		.
	μ (m βж + βc )

Второй вариант вывода

Обратимся к уравнению неразрывности и сделаем несколько обозначений:

155

1. Закон фильтрации линейный:

ρж v = μk ρж gradР.

2.Для жидкости справедливо уравнение неразрывности.

3.Среда недеформируемая k = const, m = const.

4.Жидкость однородная μ = const.

5.Изменение параметров жидкости определяется уравнением

еесостояния.

Для упругой капельной жидкости

ρж = ρж ат еβж (Р− Рат ).

В уравнение неразрывности подставим величины

∂ k

ρж

∂Р

∂ k

ρж

∂Р

∂ k

ρж

∂Р

= −m

∂ρ

ж .

∂x

∂y

∂z

∂t

Перепишем уравнение капельной жидкости и продифференцируем его:

βж (Р− Рат ) = ln ρж ,

ρж ат

∂Р

∂ρж ,

∂x

βжρж

∂x

∂Р

∂ρж ,

∂y

βжρж

∂y

∂Р

∂ρж .

∂z

βжρж

∂z

Тогда получим

∂

ρж

∂ρж

ρж

∂ρж

βж ρж

∂x μ

∂x

∂y

156

	∂	k		1
+			ρж		∂ρж	= −m	∂ρж
		μ
	∂z			βж ρж	∂z		∂t

или

∂2ρ

ж +

∂2ρ

= −

μ m β

∂ρ

ж .

∂z

∂x2

∂y2

∂t

Приближенно считаем, что

∂2ρ

≈

∂2

∂x2

Запишем уравнение в виде

∂2 P

= −

μ m β

∂P

∂x2

∂y2

∂z2

∂t

(2.326)

(2.327)

(2.328)

Учитывая сжимаемость не только жидкости, но и горной породы, изменим левый множитель в правой части уравнения.

Запишем уравнение в виде

∂2 P

= −

μ(m βж + βп)

∂P

(2.329)

∂x2

∂y2

∂z2

∂t

или

∂2 P

= −

∂P

(2.330)

∂x2

∂y2

∂z2

∂t

Формулы (2.325) и (2.319) являются дифференциальным уравнением неустановившейся трехмерной фильтрации упругой капельной жидкости в упругой пористой среде; по аналогии с известным уравнением теплопроводности – уравнением Фурье – данное уравнение называютуравнением пьезопроводностиилитакжеуравнениемФурье.

Уравнение имеет важное значение для теории и практики разработки нефтяных месторождений, на его основе выполняется значительное количество гидродинамических расчетов.

157

Частные случаи уравнения пьезопроводности

В зависимости от конкретных условий процесса фильтрации уравнениепьезопроводностиможетбытьзаписаноразличнымобразом.

Неустановившаяся одномерная фильтрация:

∂2 P = 1 ∂P . ∂x2 χ ∂t

Неустановившаяся двухмерная фильтрация:

∂2 P + ∂2 P = 1 ∂P . ∂x2 ∂y2 χ ∂t

Неустановившаяся плоскорадиальная фильтрация:

∂2 P + 1 ∂P = 1 ∂P . ∂r2 r ∂r χ ∂t

(2.331)

(2.332)

(2.333)

Установившаяся трехмерная фильтрация (поскольку давление не изменяется во времени, производная давления по времени равна нулю):

∂2 P	+	∂2 P	+	∂2 P	= 0.	(2.334)
∂x2		∂y2		∂z2

Установившаяся одномерная фильтрация:

∂2 P	= 0.	(2.335)
∂x2

Установившаяся двухмерная фильтрация:

∂2 P	+	∂2 P	= 0.	(2.336)
∂x2		∂y2

Установившаяся плоскорадиальная фильтрация:

∂2 P	+	1	∂P	= 0.	(2.337)
∂r2		r	∂r

158

Методы решения уравнения пьезопроводности

Полученное уравнение пьезопроводности является одной из основных расчетных формул при проведении различного рода гидродинамических расчетов, которые сводятся к определению, например,

функции Р = f (x, y, z,t ) при заданных начальных и граничных усло-

виях. Решение данной задачи осуществляют методами, которые принято делить на две основные категории – точные и приближенные.

Точные методы решения уравнения пьезопроводности

Точные способы решения сводятся к интегрированию уравнения пьезопроводности, что является довольно сложным процессом, поскольку это уравнение записано в частных производных.

Одномерный поток. Мгновенный пуск галереи с постоян-

ным давлением. Пусть в полубесконечном однородном горизонтальном пласте постоянной ширины а и толщины h начальное пластовое давление всюду одинаково и равно Рк. На галерее (при x = 0) давление мгновенно снижается и остается равным Рг. В удаленных от галереи точках (x → ∞) давление в любой момент времени оста-

ется равным Рк.

Решением уравнения Фурье при данных условиях будет следующая формула:

		x
P = Pг + (Pк − Pг )erf			,	(2.338)
P = Pг + (Pк − Pг )erf			,	(2.338)
	2
	2	χt

где х – расстояние, на котором рассчитывается давление; erf (x) –

интеграл вероятности, является табулированной функцией. Дебит галереи

Q =	k	Pк − Pг	ah.	(2.339)

	μн	πχt

Одномерный поток. Мгновенный пуск галереи с постоян-

ным расходом. Пусть в полубесконечном однородном горизонтальном пласте постоянной ширины а и толщины h начальное пластовое

159

давление всюду одинаково и равно Рк. В момент времени t = 0 пущена в эксплуатацию галерея с постоянным дебитом Q.

Начальные и граничные условия:

P(x,t) = Pк при t = 0,

v(x,t ) = QF = μk ∂∂Px = const при x = 0,

P(x,t) = Pк при x → ∞.

Решением уравнения пьезопроводности для заданных условий является формула

P(x,t) = P

(t) +

μv

2 χt

−

x 1

− erf

1− e

4χt .

χt

Давление на галерее в любой момент времени

Pг (t) = Pк − Qahμ 2k χπt .

(2.340)

(2.341)

Плоскорадиальный поток. Мгновенный пуск скважины с постоянным дебитом. Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина, размерами которой можно пренебречь (точечный сток). Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно Р0. В момент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом q. В пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости. Распределение давления в пласте определяется интегрированием уравнения Фурье, которое для плоскорадиального потока записывается в виде

∂2 P	+	1	∂P	= −	1	∂P	.
∂r2	+	r	∂r	= −		∂t	.
∂r2		r	∂r			∂t
160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20234.74 Mб3Неупругое поведение оболочек..pdf
#
12.11.202312.81 Mб12Неустойчивость горения..pdf
#
12.11.202315.72 Mб23Неформованные огнеупоры. Свойства и применение неформованных огнеупоров Сост. И. Д. Кащеев [ др.]; Под ред. И. Д. Кащеева.pdf
#
12.11.202322.17 Mб13Неформованные огнеупоры. Т. 1 Общие вопросы технологии.pdf
#
12.11.202320.41 Mб2Нефтегазовая гидрогеология..pdf
#
12.11.20234.17 Mб10Нефтегазовая гидромеханика..pdf
#
19.11.202343.22 Mб27Нефтегазовое дело. Полный курс.pdf
#
20.11.202316.44 Mб2Нефтегазопромысловая геология.-1.pdf
#
12.11.20231.11 Mб2Нефтегазопромысловая геология..pdf
#
19.11.202365.63 Mб25Нефтепромысловое оборудование..pdf
#
13.11.202325.01 Mб6Нефтепромысловые машины и механизмы..pdf