книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

* = v1 (1) + v2 (2)

и дополнительно выразим осредненные по фазам напряжения (1) ,(2) и (1)33 , (2)33 на основе формулы (2.54)

(1) = k(1)12 (1) + C(1)1133 *33 − e(1)311E3* − h(1)311H3* − (1)11 ,

(1)33 = C(1)1133 (1) + C(1)3333 *33 − e(1)333E3* − h(1)333H3* − (1)33

через осредненные по фазам деформации (1) , (2) с учетом вспомогательных равенств

В результате получим систему двух линейных однородных уравнений

v1 (1) (k12* − k(1)12 ) + v2 (2) (k12* − k(2)12 ) + *33 (C1133* −C1133 ) −

−E3* (e311* −e311) − H3* (h311* −h311) − ( 11* − 11) = 0 ,

v1 (1) (C1133* −C(1)1133 ) + v2 (2) (C1133* −C(2)1133 ) + *33 (C3333* −C3333) −

−E3* (e333* −e333 ) − H3* (h333* −h333 ) − ( *33 − 33 ) = 0

относительно варьируемых величин деформаций: (1) , (2) , *33 ,

напряженностей: E3* , H3* и температуры внешнего нагрева . Из

условия нетривиальности решения этих уравнений следует их линейная зависимость и пропорциональность соответствующих коэффициентов перед варьируемыми величинами; таким образом, получим первую группу точных соотношений

91

получим из преобразований равенств

аналогично формуле (2.54).

В частном случае для пьезопассивных упругих однонаправленных волокнистых композитов из решений (2.55), (2.56) следуют известные соотношения Хилла [101], связывающие эффективные упругие модули однонаправленного волокнистого композита с трансверсально-изотропными упругими свойствами волокон и матрицы.

Таким образом, представлено обобщение известных точных соотношений Хилла [101] на электромагнитные и термоупругие свойства пьезоактивных (см. (2.55), (2.56)) трансверсальноизотропных однонаправленных волокнистых композитов. Применение этих соотношений при прогнозировании 23 независимых компонент тензоров: C* , e* , h* , λ* , μ* , χ* , κ* , β* , π* , * – эф-

фективных свойств композита (2.19)–(2.21) позволяет значительно

92

сократить объем необходимых вычислений. Например, определив экспериментально или вычислив каким-либо методом [9; 10; 25; 26; 34; 81; 102; 104] механики композитов эффективный объемный мо-

дуль плоской деформации k12* , далее по формулам (2.55), (2.56) можно рассчитать дополнительно 13 эффективных констант: C1133* , C3333* ,

e311* , e333* , h311* , h333* , 11* , *33 (2.55) и λ*33 , κ*33 , *33 , π*3 , *3 , используя в

формуле (2.56) найденную ранее в (2.55) константу e311* . Полученные

решения (2.50)–(2.53), (2.55), (2.56) подтверждены результатами численного расчета всех 23 эффективных констант для частного случая – пьезокомпозита из пьезоэлектрических волокон в ферритовой пьезомагнитной матрице в обобщенном сингулярном приближении [39].

2.4. Аналитические решения для полидисперсных структур*

2.4.1. Решения на составной ячейке

Рассмотрим более подробно однонаправленный трансвер- сально-изотропный волокнистый композит с полидисперсной структурой (см. рис. 1.1, б). Оси электрической и магнитной поляризации обеих фаз: волокон (1-я фаза) и матрицы (2-я фаза) совпадают с координатной осью z и с направлением ориентации осей волокон. Ось z цилиндрической системы координат r , , z совместим с осью симметрии рассматриваемого произвольного составного цилиндра. Определяющие соотношения для обеих пьезо-

активных фаз f =1,2

rr = C( f )1111 rr + C( f )1122 + C( f )1133 zz − e( f )311Ez − h( f )311Hz − ( f )11 ,

= C( f )1122 rr + C( f )1111 + C( f )1133 zz − e( f )311Ez − h( f )311Hz − ( f )11 ,

* Принимая во внимание данные исследования [44].

93

связывают компоненты тензора напряжений σ , векторов индукций электрического D и магнитного B полей с компонентами тензора деформаций ε , векторов напряженностей электрического E и магнитного H полей, температурой однородного нагрева Θ через

сдвига z = 2 z , rz = 2 rz , r = 2 r .

Рассмотрим два случая: осесимметричного и поперечного нагружения полидисперсного композита, которые сводятся к рассмотрению соответствующих задач для одиночной ячейки – составного двухфазного цилиндра.

94

Осесимметричная задача. Пусть на макроуровне композита Ez* 0 , Hz* 0 , * 0 , *zz 0 , Θ 0 , остальные компоненты векторов напряженностей электрического E* и магнитного H* полей

и тензора деформаций ε* равны нулю, * = *rr + * – относитель-

ное изменение объема при плоской деформации. Для рассматриваемой осесимметричной задачи уравнения равновесия

и отличными от нуля перемещениями в плоскости xy будут лишь радиальные перемещения ur ; электрический и магнитный потенциалы = −Ez*z , = −Hz*z . Общие решения для радиальных перемещений в волокне при r (0;a)

95

которое следует из условия = * , оператор осреднения по объему составного цилиндра (композита) ... (1.15). Отметим, что из определяющих соотношений для rr , , zz (2.57) с учетом соотношений Коши (2.58), общих решений для перемещений (2.59),

a15 = (1− v1 ) 11 / a0

с учетом обозначений

a0 = k(1) − v1k + G(2) ,

96

и индукции электрического и магнитного полей

Осредним оператором ... величины (2.67), (2.68) с учетом выражения

следующем из условия

= 2[v1C + (1− v1)A] = * 0 ,

и в результате получим

= k(2) * + 2v1kC +C1133 *zz −e311 Ez* −h311 H z* − 11 ,

Bz = h(2)311 * + 2v1h311C + h333 *zz + 33 H z* + 33 Ez* + 3 .

97

Из формул (2.69) с учетом разложения (2.65) для константы С следует вид определяющих соотношений на макроуровне композита

где осредненные величины С1133 ,…, 3 рассчитываются по

«правилу смеси», например, 3 = v1 (1)3 + (1− v1) (2)3 . В предельном случае для полидисперсной структуры (см. рис. 1.1, б) с туннельными цилиндрическими порами, когда k(1) = (1)11 = e(1)311 = h(1)311 = (1)3 =

98

= (1)3 = 0, из формулы (2.71) следует решение, например, для пирокоэффициентов такого пористого материала

*3 = (1− v1)( (2)3 + e(2)311) , *3 = (1− v1)( (2)3 + h(2)311) , (2.72)

где = v1 (2)11 / (v1k(2) + G(2) ) . Из формулы (2.72) следует, что нали-

чие пор у пьезоактивных материалов приводит к появлению у пье-

зоэлектрика эффекта пироэлектрической связанности, а у пьезомагнетика – эффекта пиромагнитной связанности, например, при отсутствии ( (2)3 = (2)3 = 0) таких эффектов у материалов без пор.

Отметим, что из равенств (2.71) следуют точные соотношения между эффективными модулями

обобщающие на случай пьезоактивных волокнистых композитов известные решения Хилла [101]; выполняется равенство *33 = *33 .

Поперечное электрическое и магнитное нагружения.

Пусть на макроуровне композита Ex* 0 , Hx* 0 , остальные компоненты векторов напряженностей электрического E* и магнитно-

99

го H* полей, все компоненты тензора деформаций ε* и температу-

ра нагрева равны нулю. Для наглядности рассматриваем случай, когда коэффициенты электромагнитной связанности κ для обеих фаз равны нулю.

Для рассматриваемой задачи уравнения равновесия

и общие решения для отличных от нуля компонент осевых перемещений uz и потенциалов и для волокон при r (0;a)