книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

Асимптотический подход. Представим квазипериодическую структуру с коэффициентом разупорядоченности h 1− p и иско-

мым тензором эффективных упругих свойств C*n как результат n

малых последовательных разупорядочиваний первоначальной идеально периодической структуры композита с известным тензором

упругих свойств C p* . Отметим, что тензор эффективных упругих

свойств C*n соответствует композиту с полем упругих свойств в произвольной ячейке

n

где rn' = r − a j , т.е. вероятностный закон распределения вектора

j =1

случайных смещений nj =1a j центров включений n-й структуры

из узлов идеальной периодической решетки определяется принятым распределением (например, без преобладающих ориентаций и с равномерным законом для модуля отклонений a j ) для каждого

независимого случайного слагаемого a j . Например, при n → закон распределения модуля вектора случайных смещений nj =1a j

центров включений из узлов идеальной периодической решетки будет близок к нормальному закону.

На основе формулы (2.173) получим рекуррентную последовательность (k = 1,n)

с учетом C*0 Cp* . Искомый тензор эффективных упругих свойств имеет вид C* = C*n . Считаем, что коэффициент разупорядоченности

hk 1− pk = (v1 − v11k ) / D11

161

для каждого k-го этапа малого разупорядочивания – величина постоянная hk = h / n . Коэффициент разупорядоченности h 1− p

рассчитывается по формуле (1.11) наложением n -й структуры на идеальную периодическую структуру. Из рекуррентной последовательности (2.175) выразим последний n-й член C*n через Cp* в виде

где приведенный коэффициент корреляции (периодичности) имеет вид

Рассмотрим предельный случай n → . Тогда результирующее поле Cn (r) упругих свойств в произвольной ячейке имеет вы-

ражение (2.174), коэффициент разупорядоченности h рассчитывается с помощью (2.140) наложением n-й структуры (с нормальным законом распределения модуля вектора случайных смещений центров включений из узлов идеальной периодической решетки) на идеальную периодическую структуру. Приведенный коэффициент корреляции:

162

dC* = dh(Cs* −C* ) или в виде дифференциального уравнения относительно искомой функции C* = C* (h)

с начальным условием C* (0) = C p* . Решение дифференциального уравнения (2.181) имеет вид

и совпадает с решением (2.180).

Решение для тензора эффективных упругих свойств C*

где тензоры эффективных свойств пьезокомпозитов с квазипериодической F* , периодической F p* структур и в сингулярном приближении Fs* (2.134)

на основе обобщения подхода (2.166) – (2.182) на решение связанной стохастической краевой задачи термоэлектромагнитоупругости

(2.27).

Проведем численный расчет эффективных свойств композита PVDF/SiTiC с трансверсально-изотропной пьезоэлектрической матрицей PVDF и различными квазипериодическими структурами сферических включений из изотропного высокомодульного упругого материала SiTiC [102]:

163

Структура со случайным расположением сферических включений. Пусть квазипериодическая структура образована независимыми для каждой ячейки случайными отклонениями a цен-

тров сферических включений детерминированного радиуса rp от

узлов правильной кубической решетки. Все ориентации случайного вектора смещений а равновероятны и его величина a распределена

по усеченному нормальному закону на отрезке [0; ], где величина максимально допустимого смещения имеет вид

Таблица 2.1

Коэффициенты периодичности p, p* для структуры со случайным расположением сферических включений

164

Окончание табл. 2.2

равниваем к 3σ, где σ – среднеквадратичное отклонение в нормальном законе распределения. Результаты расчета коэффициента кор-

Результаты расчета компонент матриц эффективных упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических свойств пьезоэлектрика PVDF со сферическими высокомодульными упругими включениями SiTiC (2.185) представлены в табл. 2.3; отклонения e* , * ме-

нее 1 % в табл. 2.3 не приведены, где относительные компоненты

165

( n, p =1,3 ; i, j =1,6 ) для периодической структуры

дической структуры рассчитаны через коэффициент корреляции p и через приведенный коэффициент корреляции p* (в скобках, при

различии отклонений). Для периодической структуры эффективные пьезоупругие свойства пьезокомпозита рассчитывались в обобщенном сингулярном приближении со средой сравнения

PVDF (2.137).

Структура со случайными размерами сферических включений. Рассмотрим последовательность (k =1,n) случайных квазипериодических структур в области V. Считаем, что первоначально при k = 0 структура была идеально периодическая: все включения были одного радиуса rp , их центры в узлах идеальной кубической решетки и поле упругих свойств в каждой ячейке Cp (r) , r V . При k =1 поле упругих свойств в ячейке C1 (r) = Cp (r / 1) квазипериодической структуры задано через неза-

висимую (для каждой из ячеек) случайную малую величину a1 в коэффициенте подобия 1 =1+ a1 размера (радиуса) включения

rs1 = 1rp . Считаем, что включения не выходят за пределы ячеек и

центры включений остаются в центрах ячеек. Для результирующей (k = n) n-й квазипериодической структуры поле упругих свойств в

ячейке

выражено через случайные независимые для каждой из ячеек коэффициенты подобия

166

ски независимые величины для всех k j – распределены, напри-

мер, по равномерному закону и при вариациях размеров включения не выходят за границы своих ячеек. Из условия постоянства величины относительного объемного содержания сферических включе-

ний v1 в композите при вариации размеров включений следует равенство

так как осредненный объем включений в квазипериодической структуре должен быть равен объему включения в периодической

структуре rsn3 = rp3 .

В результате квазипериодическая структура с коэффициентом разупорядоченности h 1− p и искомым тензором эффектив-

ных упругих свойств C*n представлена как результат n малых по-

следовательных разупорядочиваний (вариаций радиусов включений) первоначальной идеально периодической структуры композита с известным тензором упругих свойств C* p . Тензор эф-

фективных упругих свойств C*n соответствует композиту с полем

упругих свойств в произвольной ячейке (2.188), вероятностный закон распределения коэффициента подобия n радиуса включения

определяется принятым распределением для каждого независимого случайного слагаемого a j в (2.189). При n → закон распределе-

ния коэффициента подобия n радиуса включения будет близок к

нормальному. Решения для тензоров эффективных пьезоупругих свойств квазипериодического композита примут вид (2.183).

167

через приведенный коэффициент корреляции p* (в скобках, при различии отклонений). Значения отклонений e* , * в таблице не

приведены, так как их величина менее 1 %. В результате полученные решения (2.183) метода последовательных разупорядочиваний позволили уточнить решения, полученные ранее (2.134) методом периодических составляющих статистической механики композитов.

Таблица 2.4

Осредненный радиус включения и среднеквадратическое отклонение

Таблица 2.5

Коэффициенты периодичности p , p* для структуры со случайным размером включений

Таблица 2.6

Отклонения c* эффективных компонент

169

2.7. Уточнения метода корреляционных составляющих. Пироэлектромагнитоупругие свойства пьезокомпозитов с учетом корреляционных функций случайных структур

2.7.1. Уточнение метода корреляционных периодических составляющих*

Эффективные свойства композитов зависят от вида корреляционных функций, которые учитывают статистические особенности взаимного расположения, формы и размеров элементов случайной, например, квазипериодической (см. рис. 1.11, 1.12) структуры.

На рис. 2.18 приведены графики нормированных двухточечных корреляционных функций k11( ) () (1.66) (рис. 2.18, а, б) и

k11(2)( ) () (1.93) (рис. 2.18, в, г) в трансверсальной плоскости r1r2

однонаправленного волокнистого композита с квазипериодической структурой (см. рис. 1.11) в сравнении с их аппроксимациями:

k11II ( ) () (см. рис. 2.18, а, б) (см. график () на рис. 1.10 для полидисперсной структуры на рис. 1.1, г) и k11II ( ) () (см. рис. 2.18, в, г) для различных значений величины относительного объемного содержания волокон v1 , ориентационный угол между вектором ρ (1.52) и осью r1 был принят равным 0 и с учетом обозначения (1.67) для расстояния между точками представительной области V композита радиус кругового поперечного сечения волокон r . На рис. 2.18, в, г, графики аппроксимаций

приведены с множителем 1− p , значения коэффициента периодичности p (1.18) для рассматриваемой структуры (см. рис. 1.11) даны в табл. 1.1.

* Принимая во внимание исследования [38].

170