книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

1+ v ,

0 = 3 + 1− v1 4 + 1 1 + 1 2

1

101

xz = −e(2)113Ex* − h(2)113Hx* + v1 (C1313 A(1) + e113C(1) + h113 E(1) ).

Из формул (2.78) с учетом разложений (2.77) и равенств

Dx* = Dx , Bx* = Bx , *xz = xz

следует вид определяющих соотношений на макроуровне композита: а) для индукции электрического поля

б) для индукции магнитного поля

102

тензоры разностей

C = C1 −C2 , e = e1 −e2 , h = h1 −h2 ,

λ = λ1 − λ2 , μ = μ1 −μ2 ;

определяющие соотношения (2.70), (2.79), (2.81), (2.83) записаны для рассматриваемых частных случаев нагружений композита:

Ex* 0 , Hx* 0 .

На рис. 2.1, а, б, представлены результаты () расчета эффективных коэффициентов электромагнитной связанности 11* , *33 во-

локнистого пьезоэлектромагнетика в зависимости от содержания пьезоэлектрических PVDF-волокон v1 в ферритовой (2.11)–(2.13)

матрице с полидисперсной структурой (см. рис. 2.1, а’). Результаты () на рис. 2.1, а, б, соответствуют случаю инверсии свойств 1-й и 2-й фаз (см. рис. 2.1, б’), т.е. когда матрица – это пьезоэлектрик PVDF, а волокна – феррит; для наглядности сопоставления графиков здесь по-прежнему через v1 обозначено относительное объем-

ное содержание PVDF в композите. Отметим, что аналитическое решение *33 (2.71) () для композита с полидисперсной структурой

(см. рис. 2.1, а’) в точности совпало с решением асимптотического метода осреднения [11]

103

рамках традиционных полидисперсных моделей (см. [25]), так как в гибридной полидисперсной структуре [22] наличие различных типов составных ячеек с различными по свойствам волокнами и с едиными напряжениями на внешних поверхностях всех ячеек приводит к невыполнению совместности деформаций с выполнением уравнений равновесия для напряжений в представительной области V нагруженного композита; нарушение сплошности в окрестностях внешних границ ячеек полидисперсной среды происходит изза отсутствия однородности в области V осредненных по разнотипным ячейкам деформаций.

Таким образом, получены новые аналитические решения (см. (2.71), (2.80), (2.82), (2.84)) и точные соотношения (см. (2.72)) для

композита с полидисперсной структурой. Проведен численный расчет и анализ влияния на эффективные константы композита с пьезоэлектрическими волокнами PVDF в ферритовой пьезомагнитной матрице величины объемного содержания волокон v1 и инвер-

сии свойств фаз в сравнении с известным решением [11] асимптотического метода осреднения для *33 идеальной периодической

структуры. Полученное аналитическое решение *33 (2.71) для

композита с полидисперсной структурой в точности совпало с решением асимптотического метода осреднения [11] для идеальной периодической волокнистой структуры. В волокнистом пьезоэлектромагнетике пьезоэлектрик PVDF предпочтительнее использовать в качестве матрицы, а феррит – волокон композита, что позволяет значительно увеличить абсолютные значения эффективных коэф-

фициентов электромагнитной связанности 11* , *33 по сравнению со случаем инверсии свойств у фаз композита (см. рис. 2.1, а, б).

2.4.2. Самосогласованные решения*

Методы самосогласования представляют одно из направлений механики композитов и основаны на учете многочастичного

* Принимая во внимание данные исследования [47].

105

взаимодействия между включениями композита через замену неоднородной среды, окружающей произвольное включение, например, с прилегающей к нему прослойкой матрицы [25] или с фрагментом близлежащих соседних включений, как в самосогласованном варианте метода локального приближения [85], однородной анизотропной средой с искомыми эффективными свойствами композита. В исследованиях [33; 140] предложен обобщенный метод самосогласования, согласно которому расчет эффективных свойств композита локальным осреднением сводится к рассмотрению расчетной схемы самосогласования – это одиночное включение, окруженное некоторым неоднородным переходным слоем, в эффективной среде. На большом удалении от включения в эффективной среде заданы однородные поля, в частности макродеформаций. Отметим, что переходный слой появляется лишь в локальноосредненной задаче, и свойства этого слоя рассчитываются через корреляционные функции случайной структуры композита, и размер слоя соизмерим с радиусом корреляции структуры. В частных случаях для полидисперсных структур (см. рис. 1.1, б–е) композитов расчетные схемы самосогласования: одиночное включение в эффективной среде (см. рис. 1.1, г, е) и одиночное включение с прослойкой матрицы в эффективной среде (см. рис. 1.1, б, д).

Волокно с прослойкой матрицы в эффективной среде.

Рассмотрим обобщенную модель полидисперсной структуры (см. рис. 2.2, а) из полидисперсных частиц двух типов: с волокном (1-й фазой) и без волокна; a , b – внутренний и наружный радиусы произвольной частицы 1-го типа, варьируемый параметр

где p0 (v1;1) – относительное число частиц 1-го типа в полидисперсной структуре. В предельном случае при p0 →1 (см. рис. 1.1, б):

106

*33 , *33 , *33 , 11* , *33 , *3 , *3 в (2.70) на основе принципа самосогласования сводятся к решению осесимметричной задачи (см. рис. 2.2, б)

(2.90)–(2.92) определим из условий непрерывности радиальных перемещений ur и напряжений rr на границах при r = a

108

и условия заданной однородной макродеформации эффективной среды при r →

(2)zz = 2C(2)1133 A(2) + q(2)

и в эффективной среде

109

где

p(1) = C(1)1133 *zz − e(1)311Ez* − h(1)311Hz* − (1)11 ,

p(2) = C(2)1133 *zz − e(2)311Ez* − h(2)311Hz* − (2)11 ,

q(1) = C(1)3333 *zz − e(1)333Ez* − h(1)333Hz* − (1)33 ,

q(2) = C(2)3333 *zz − e(2)333Ez* − h(2)333Hz* − (2)33 ,

q(3) = C3333* *zz − e333* Ez* − h333* Hz* − *33 ,

объемный модуль плоской деформации k12 = (C1111 + C1122 ) / 2 и мо-

дуль сдвига G12 = (C1111 −C1122 ) / 2 в плоскости изотропии xy волокна, матрицы и эффективной среды.

В результате, записав условия (2.93), (2.94) в виде системы четырех алгебраических уравнений относительно искомых кон-

стант A(1) , A(2) , B(2) , B* с учетом (2.96), получим решение для константы

110