книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

Рис. 2.8. Эффективные магнитомеханические константы h311* (а), h333* (б), h113* (в), h123* (г) пьезоэлектромагнетика с объемной долей феррита v1

131

имагнитные 11* (в), *33 (г) проницаемости пьезоэлектромагнетика

собъемной долей феррита v1

Дополнительно на рис. 2.6 – рис. 2.9 представлены результаты расчета в обобщенном сингулярном приближении (2.134) –

132

дуля плоской деформации k12* (см. рис. 2.6), электромеханических

e311* , , e333* , e113* (см. рис. 2.7) и магнитомеханических h311* , h333* , h113* , h123* (см. рис. 2.8) констант, диэлектрических 11* , *33 и магнитных

11* , *33 проницаемостей (см. рис. 2.9) волокнистого пьезоэлектромагнетика в зависимости от объемной доли феррита v1 .

Волокнистый композит эпоксид/PZT-4. На рис. 2.10 при-

ведены результаты сравнения рассчитанных в обобщенном сингулярном приближении значений эффективных объемных пьезомо-

дуля dv* и пьезочувствительности gv* , отнесенных к соответствующим значениям d(1)v и g(1)v для 1-й фазы (волокон), с известными

решениями: () [4], () [11], (• ) [12] для однонаправленного волокнистого композита с периодической гексагональной укладкой пьезокерамических цилиндрических волокон PZT-4 в эпоксидной

изотропной матрице с модулем Юнга E(2) = 3 ГПа, коэффициентом

аналогичны принятым на рис. 2.5 – 2.9. В работах [11; 12] решения определены с использованием быстрых переменных и разложений в ряды, в исследовании [4] – на основе стержневой модели. Отметим, что объемный пьезомодуль или мера чувствительности поляризации dv = d33 + 2d31 , пьезочувствительность gv = dv / 33 пьезо-

электрика [5; 29] с учетом формул (2.20), (2.21).

Таким образом, получены новые решения связанных краевых задач электромагнитоупругости в обобщенном сингулярном приближении статистической механики пьезокомпозитов на основе новых решений для сингулярных составляющих вторых производных функций Грина для однородной трансверсально-изотропной

133

пьезоэлектромагнитной среды с эллипсоидальным зерном неоднородности.

d * / d(1) v v

gv* / g(1)v

Представлены результаты расчета в сингулярном приближении коэффициентов электромагнитной связанности для пьезоэлектрика PVDF с пьезомагнитными эллипсоидальными включениями. В частном случае для слоистого композита из чередующихся пьезоэлектрических и пьезомагнитных слоев результаты расчета в сингулярном приближении совпали с точным аналитическим решением. Приведены результаты расчета эффективных коэффициентов электромагнитной связанности трансверсально-изотропного волокнистого композита с однонаправленными ферритовыми волокнами в пьезоэлектрике PVDF. Решения получены для трех различных случаев выбора среды сравнения, характеристики свойств которой входят в полученное обобщенное сингулярное приближение для эффективных модулей композита как параметры. Проведена аналогия между рассмотренными случаями сингулярного приближения и решениями для различных статистических смесей на

134

основе предельно полидисперсных моделей. Выявлен немонотонный характер зависимости эффективных коэффициентов электромагнитной связанности от величины наполнения ферритовыми волокнами и определены экстремальные значения этих коэффициентов для различных структур пьезокомпозитов (см. рис. 2.5). На примере расчета эффективного объемного пьезомодуля и пьезочувствительности однонаправленного волокнистого пьезоэлектрика показано, что решения для эффективных модулей в сингулярном приближении для случая, когда свойства среды сравнения приравнены к свойствам матрицы композита, близки к известным решениям других авторов для пьезокомпозита с периодической гексагональной структурой (см. рис. 2.10).

Композит феррит/титанат бария с эллипсоидальными включениями. Проведем расчет эффективных коэффициентов пи-

ромагнитной *3 и электромагнитной *33 связанности композита

феррит/титанат бария с ориентированными эллипсоидальными включениями, главные полуоси ai которых ориентированы вдоль

соответствующих осей ri (2.132). Пусть 1-я фаза – феррит (2.11)–

(2.13); 2-я фаза – титанат бария (2.10). На рис. 2.11 представлены результаты расчета концентрационных зависимостей для эффек-

тивных коэффициентов пиромагнитной *3 (см. рис. 2.11, а, в) и электромагнитной *33 (см. рис. 2.11, б, г) связанности композита

феррит/титанат бария с включениями: эллипсоиды (графики 1, 3, 5), сферы (графики 2, 4, 6), волокна (графики 8–10), слои (графики 7) для различных полидисперсных структур: с ферритовыми волокнами в пироэлектрике (см. рис. 1.1, б; графики 5, 6, 10 на рис. 2.11), с пироэлектрическими волокнами в феррите (см. рис. 1.1, в; графики 1, 2, 8 на рис. 2.11) и с взаимопроникающими фазами (см. рис. 1.1, г; графики 3, 4, 9 на рис. 2.11).

Отметим, что решения (2.134) для эффективных констант *3 и *33 (графики 7 на рис. 2.11, а, б) при переходе к пределу q → 0 для зерна неоднородности (2.132) «слой» в точности совпали с аналитическими решениями в работе [42] для констант *3 и *33 слоистого композита с учетом осевой симметрии зерна a1 = a2 и обозна-

135

чения q = a1(2) / a3 . При переходе к пределу q → для зерна неоднородности «волокно» решение (2.134) для эффективной константы *33 (график 8 на рис. 2.11, г) в точности совпало с аналитиче-

ским решением (2.85) [11] асимптотического метода осреднения для идеальной периодической волокнистой структуры.

Рис. 2.11. Эффективные коэффициенты пиромагнитной *3 (а, в) и электромагнитной *33 (б, г) связанности композита феррит/титанат

бария для различных полидисперсных структур

136

Результаты расчета на рис. 2.11 для различных полидисперсных структур (см. рис. 1.1, б–г) получены в обобщенном сингулярном приближении (2.134) соответственно для трех различных случаев выбора свойств среды сравнения ( C• , e• , h• , λ• , μ• ) в (2.130):

для структуры на рис. 1.1, б, свойства среды приравнены к свойствам 2-й фазы (пироэлектрик) (2.137), для структуры на рис. 1.1, в – к свойствам 1-й фазы (феррит) (2.136), и в некотором приближении для структуры на рис. 1.1, г – осредненным по области V композита значениям (2.138); отметим, что уточненный расчет тензоров эффективных свойств для структуры на рис. 1.1, г, необходимо проводить по схеме самосогласования (2.139). Графики на рис. 2.11 позволяют сделать вывод, что геометрическая форма включений, инверсия свойств включений и матрицы пироэлектромагнитного композита могут приводить к значительному увеличению абсолютных значений эффективных коэффициентов пироэлектромаг-

нитной связанности *3 , *33 композита при фиксированных величинах объемного содержания ферритовой v1 и пироэлектрической v2 = 1– v1 фаз. В частности, при равных объемных долях v1 = v2 = = 0,5 феррита и пироэлектрика абсолютные значения пиромагнитной константы *3 (график 2 на рис. 2.11) для композита с пироэлектрическими сферическими включениями в ферритовой матрице более чем в пять раз превышают *3 (график 6 на рис. 2.11) для

композита с ферритовыми сферическими включениями в пироэлектрической матрице, т.е. пироэлектрик предпочтительнее использовать в качестве включений композита.

Таким образом, получены новые решения (2.134) для тензоров эффективных пироэлектромагнитных свойств пьезоактивных композитов на основе решения связанной краевой задачи электромагнитоупругости в обобщенном сингулярном приближении статистической механики композитов. При решении краевой задачи использованы новые решения (2.126)–(2.131) [39] для сингулярных составляющих вторых производных функций Грина для однородной трансверсально-изотропной пьезоэлектромагнитной среды с

137

эллипсоидальным зерном неоднородности. Представлены результаты расчета концентрационных зависимостей (см. рис. 2.11) для

эффективных коэффициентов пиромагнитной *3 и электромагнитной *33 связанности композита феррит/титанат бария с эллипсои-

дальными, сферическими, волокнистыми включениями для различных полидисперсных структур (см. рис. 1.1, б–г) и со слоистой структурой. Эффекты появления пиромагнитной и электромагнитной связанностей на макроуровне композита обусловлены взаимодействием пьезоактивных элементов структуры на микроуровне, и по отдельности эти эффекты отсутствуют в каждой из фаз. Выявлено значительное влияние формы включений, особенностей взаимного расположения и инверсии свойств фаз на эффективные коэффициенты пиромагнитной и электромагнитной связанности композита феррит/титанат бария.

Пироэлектрик титанат бария с эллипсоидальными пора-

ми. Проведем расчет отличных от нуля эффективных температурных коэффициентов 11* = *22 , *33 и пироэлектрической постоян-

ной *3 титаната бария с распределенными по объему керамики ориентированными эллипсоидальными порами при различных степенях наполнения v1 . Главные полуоси ai эллипсоидальных пор ориентированы вдоль соответствующих координатных осей ri (2.132). Свойства среды сравнения ( C• , e• , h• , λ• , μ• ) в (2.130) приравниваем к осредненным по объему значениям (2.138). Результаты расчета эффективных температурных коэффициентов 11* , *33 , пироэлектрической постоянной *3 и дополнительно объемного пьезомодуля dv* = d333* + 2d311* (2.14) пористого титаната бария приведены на рис. 2.12 и 2.13 для различных значений степени наполнения v1 при варьировании параметром формы q = a1(2) / a3 : 0,5 (), 1 (), 2 (), 5 (+), () эллипсоидальных пор.

138

v1

v1

в

Рис. 2.12. Эффективные температурные коэффициенты 11* , *33 (а, б) и пироэлектрическая постоянная *3 (в) пористого титаната бария

139

d * / d(2) v v

v1

Рис. 2.13. Эффективный объемный пьезомодуль dv* пористого титаната бария

2.6.Метод корреляционных составляющих

2.6.1.Обобщенное сингулярное приближение метода корреляционных (периодических) составляющих

Рассмотрим представительную область V композита с квазипериодической (см. рис. 1.2, б–ж) структурой из двух однородных трансверсально-изотропных пьезоэлектромагнитных фаз: включений – 1-я фаза, матрицы – 2-я фаза, плоскости изотропии которых лежат в координатной плоскости r1 r2 , ось поляризации r3 .

Применим для решения краевой задачи (2.27) функции Грина (2.106) G = G(ρ) для однородной трансверсально-изотропной пье-

зоэлектромагнитной cреды сравнения. Функции Грина (2.106) позволили перейти от решения краевой задачи (2.27) к решению системы интегродифференциальных уравнений

ui/ (r) = Uij (r − r1 )g js,s (r1 )dr1 +

V

140