книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов
.pdf
Рис. 1.5. Волокнистые композиты (а, б) и коэффициенты периодичности p (в) для степени разупорядоченности k =1 (○),
0,5 (Δ); 0,1 (□) (а); (◊) для структуры (б)
Композит с ориентированными пластинчатыми включе-
ниями. Вектор отклонений |
ориентированных пластинчатых вклю- |
чений лежит на оси r3 (a1 |
= a2 = 0) и будем считать, что его коор- |
дината a3 распределена по равномерному закону на a отрезке [− ; ] , где = k max , значение max = (H − b) / 2 задано из усло-
вия невыхода включения из ячейки, |
H и b – высота ячейки и |
толщина пластинчатого включения |
соответственно, v1 = b / H – |
величина относительного объемного содержания таких включений в композите. Вычисление характеристики v11 свелось к задаче осреднения площади прямоугольника, являющейся функцией случайного параметра a3 . Формула расчета коэффициента периодичности
31
|
v |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
, v1 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1− v1 |
k(1− v1 ) |
|
|
|
|
2 + k |
. |
|||||||
p = |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
− |
|
|
|
v1 |
|
|
|
;1 |
|
||
|
4v1 |
|
2 |
+ k |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p
Рис. 1.6. Композит с ориентированными |
|
|
пластинчатыми включениями (а), |
|
|
фрагмент сетки (б), ячейка |
|
|
квазипериодичности (в) и коэффициент |
г |
|
периодичности p (г) для степени |
||
|
||
разупорядоченности k =1 (○), |
|
|
2/3 (Δ), 1/3 (□) |
|
(1.45)
v1
В частном случае, когда v1 [1/ 3;1] , тогда
p =1− |
k |
(1.46) |
|
4v |
|||
|
|
||
|
1 |
|
для всех k [0;1] .
На рис. 1.6, г, представлены результаты расчета коэффициента периодичности p композита с ориентированными пластинчатыми включениями для разных значений степени разупорядоченности k и в зависимости от величины относительного объемного содер-
жания v1 включений. Отметим, что степень разупорядоченности k более сильно влияет на коэффициент p для композита с ориентиро-
32
ванными пластинчатыми включениями, чем для однонаправленного волокнистого композита, особенно, когда v1 [0; 0,5].
Композит с ориентированными эллипсоидальными вклю-
чениями. Структуру матричного квазипериодического композита с ориентированными эллипсоидальными включениями (рис. 1.7) представим совокупностью ячеек в форме параллелепипеда, вероятность присутствия в ячейке включения равна p , а вероятность
отсутствия включения 1− p . В предельном случае, когда p =1,
структура вырождается в периодическую. Наличие включения в ячейке не коррелирует с наличием или отсутствием включений в соседних ячейках. В ячейках, в которых включения отсутствуют, весь объем ячейки занимает матрица, а во все оставшиеся ячейки вписаны с небольшими прослойками i / 2 матрицы эллипсои-
дальные включения, центры которых совпадают с центрами своих ячеек. Главные оси ai ( i =1,3 ) эллипсоидов ориентированы вдоль соответствующих ребер Ti ячейки и координатных осей ri ; выполняется равенство Ti = 2ai + i . Вероятность присутствия в ячейке включения p или относительное число ячеек с включениями рассчитываем
p = v1 / vmax |
(1.47) |
через заданное значение относительного объемного содержания включений в композите v1, и различные вдоль каждой оси ri за-
данные минимальные гарантированные относительные i / ai про-
слойки i матрицы между включениями; v1 (0;vmax ), vmax – максимально допустимое значение относительного объемного содержания включений в композите
vmax = /[6(1+ g1)(1+ g2 )(1+ g3 )], |
(1.48) |
33
а
б |
в |
г
Рис. 1.7. Квазипериодические структуры со сферическими (а), дисковыми (б), игольчатыми (в) ориентированными вдоль оси r3 включениями и коэффициент периодичности p (г); минимальная прослойка g = 0,02 (○), 0,1 (Δ), 0,2 (□), 0,3 (◊)
где gi 0,5 i / ai . Считаем, что T1 = T2 , a1 = a2 варьируемые параметры: параметр формы включений q = a3 / a1(2) и относительное объемное содержание включений v1 . При q =1 имеем шаровые, при q 1 – вытянутые или «игольчатые», при q (0;1) – сплюснутые или «дисковые» включения.
Отметим, что размеры aip включений в периодической структуре связаны
aip = ai
с размерами ai включений в соответствующей квазипериодической структуре через детерминированный коэффициент подобия= 3
p или
34
= 3
v1 / vmax
сучетом формулы (1.47) из условия равенства относительного объемного содержания включений и размеров ячеек в обеих структурах, (0;1). Таким образом, в квазипериодической структуре
размер включений несколько больше, а минимальные прослойки между включениями – меньше, чем в соответствующей периодической структуре, в которой включения есть в каждой ячейке без исключений. При мысленном наложении этих двух структур: периодической и квазипериодической друг на друга границы их ячеек совпадают и относительное объемное содержание областей пересечения включений v11 в формулах (1.18), (1.19)
v11 = v1 p
или с учетом формулы (1.47)
|
v2 |
|
|
v = |
1 |
. |
(1.49) |
|
|||
11 |
vmax |
|
|
|
|
||
В результате коэффициент периодичности p (1.18) рассматриваемой квазипериодической структуры
|
v1 |
|
1 |
|
|
|
p = |
|
−1 . |
(1.50) |
|||
1− v |
v |
|||||
|
|
|
|
|||
|
1 |
max |
|
Результаты расчета коэффициента периодичности p для различных значений величины относительной минимальной гаранти-
рованной прослойки матрицы g = i / ai ( i =1,3 ) между эллипсои-
дальными включениями приведены на рис. 1.9, г; отметим независимость p от параметра формы q включений.
35
1.3. Двухточечные и многоточечные корреляционные функции случайных структур
1.3.1. Алгоритм расчета корреляционных функций
Рассмотрим вычисление двухточечных корреляционных функций (рис. 1.8) на основе подхода, изложенного в работах [17; 133; 166], с обобщением его на многоточечные моментные функции случайной структуры композита [38; 65]. Можно провести некоторую аналогию расчетных схем этого подхода со «схемой корреляционных пересечений» при расчете одноточечного смешанного момента v11 (1.19) и коэффициента корелляции p (1.18)
через расчет области пересечения включений квазипериодической и периодической структур при их мысленном наложении друг на друга.
Пусть требуется построить двухточечную корреляционную функцию
K |
ij |
(ρ) = i/ (r)i/ |
(r ) |
(1.51) |
|
|
i |
j |
1 |
|
|
для произвольных i-й и j-й фаз композита (i, j =1, F +1) (2.12), вектор разности
ρ = r − r1 , |
(1.52) |
пульсации индикаторных функций для i-й и j-й фаз в точках r ,
r1 V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i/ (r) = i (r) − v |
, |
i/ |
(r ) = i |
(r ) − v |
j |
, |
|||
i |
i |
i |
|
j |
1 |
j |
1 |
|
|
где vi и v j – относительные объемные содержания i-й и j-й фаз в
композите.
Расчет двухточечной корреляционной функции Kij (ρ) (1.51) сводится по формуле
Kij (ρ) = Mij (ρ) − vi vj |
(1.53) |
36
k11
/r а
б
Рис. 1.8. Реальная структура (а) и экспериментальные значения (●)
[10]нормированной корреляционной функции k11 ( ) (б)
вплоскости изотропии однонаправленно волокнистого композита
красчету статистического двухточечного момента
Mij (ρ) = 
ii (r)ij (r1)
,
где индикаторная функция
ij (r1) = ij (r − ρ) ij (r)
с учетом равенства (1.52).
Таким образом, двухточечный момент
Mij (ρ) = 
ii (r)ij (r)
,
где индикаторная функция i-й фазы
i r 1, r Vi
( ) =
i 0, r Vi
и приведенная индикаторная функция j-й фазы
(1.54)
(1.55)
(1.56)
(1.57)
37
|
|
r Vj |
|
|
1, |
|
(1.58) |
||
ij (r) = |
|
r Vj |
||
0, |
|
|||
|
|
|
|
|
где Vj – область, образованная смещением на вектор |
ρ соответ- |
|||
ствующей области Vj для j-й фазы в |
V области композита. Так |
|||
как произведение индикаторных функций (1.57), (1.58) |
|
|||
|
|
|
r Vij |
|
ii (r)ij (r) = |
1, |
(1.59) |
||
0, |
r V |
|||
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
отлично от нуля лишь в области пересечения Vij = Vi |
Vj , следо- |
|||
вательно, в результате получим решение |
|
|||
Mij (ρ) = vij (ρ), |
(1.60) |
|||
где относительное объемное содержание vij Vij / V области пересечения Vij в V является функцией от вектора смещения ρ , то есть vij – относительное объемное содержание области пересече-
ния i-й и j-й фаз при мысленном наложении первоночальной представительной области композита V на ее смещенную на вектор ρ
копию V ; Vij и V – объемы областей Vij и V соответственно. Решение для искомой двухточечной корреляционной функции
Kij (ρ) = vij (ρ) − vi vj . |
(1.61) |
По аналогии с рассмотренным случаем (см. формулы (1.51) – (1.61)) могут быть рассчитаны многоточечные моментные функции, например трехточечная корреляционная функция
K |
ijk |
(ρ ,ρ |
2 |
) = i/ (r)i/ |
(r )i/ |
(r ) |
(1.62) |
|
|
1 |
i |
j |
1 k |
2 |
|
||
для произвольных i-й, j-й и k-й фаз композита (i, j,k =1, F +1) , вектора разностей:
38
ρ1 = r − r1 , ρ2 = r − r2 , ρ3 = r1 −r2 |
(1.63) |
или ρ3 = ρ2 − ρ1 . Расчет функции Kijk (ρ1,ρ2 ) (1.62) |
сводится по |
формуле
Kijk (ρ1,ρ2 ) = Mijk (ρ1,ρ2 ) − vk Mij (ρ1) − (1.64) − vj Mik (ρ2 ) − vi M jk (ρ3 ) + 2vi v j vk
к расчету трехточечного
Mijk (ρ1,ρ2 ) = 
ii (r)ij (r1)ik (r2 )
и двухточечных
Mij (ρ1) = 
ii (r)ij (r1)
, Mik (ρ2 ) = 
ii (r)ik (r2 )
,
M jk (ρ3 ) = 
ij (r1)ik (r2 )
моментов. Расчет двухточечных моментов был рассмотрен ранее в формуле (1.60):
Mij (ρ1) = vij (ρ1) , |
Mik (ρ2 ) = vik (ρ2 ) , |
M jk (ρ3 ) = vjk (ρ3 ) , (1.65) |
|
где vij =Vij /V , vik =Vik |
/V и vjk =Vjk /V |
– относительные объем- |
|
ные содержания в V областей пересечений Vij , |
Vik и Vjk соответ- |
||
ствующих фаз (ij), (ik) и ( jk); величины vij , |
vik и v jk рассчиты- |
||
ваются при мысленном наложении друг на друга двух взаимосмещенных на заданные векторы ρ1 , ρ2 и ρ3 представительных
областей композита; Vij , Vik и Vjk – объемы областей Vij , Vik |
и Vjk |
соответственно. Трехточечный момент |
|
Mijk (ρ1,ρ2 ) = vijk (ρ1,ρ2 ), |
(1.66) |
|
39 |
где vijk =Vijk /V – относительное объемное содержание области пересечения Vijk , то есть vijk – относительное объемное содержание
области пересечения i-й (из 1-й структуры), j-й (из 2-й структуры) и k-й (из 3-й структуры) фаз при одновременном наложении друг на друга трех структур: первоночальной представительной области
композита V и двух ее копий V(1) и V(2) , |
смещенных от нее на |
||||
заданные векторы ρ1 , ρ2 соответственно, Vijk |
– объем области Vijk . |
||||
Рассмотрим примеры построения нормированных корреля- |
|||||
ционных функций (1.51) |
|
|
|
|
|
k (ρ) = |
1 |
i/ (r)i/ (r ) |
(1.67) |
||
|
|||||
11 |
D11 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
для некоторых случайных структур с индикаторной функцией i1 (r) однородных включений, D11 – дисперсия (1.15), расстояние между точками r и r1
|
(1.68) |
|
= |
ρ |
|
сучетом выражения (1.52).
1.3.2.Корреляционные функции при предельно
малой доле включений
Для композитов с предельно малой объемной долей включений v1 → 0 на основе формулы (1.61) могут быть получены анали-
тические решения (рис. 1.9) для нормированной корреляционной функции:
а) композита с однородными сферическими включениями:
|
1 |
(1 |
− x) |
2 |
(2 + x), 0 x 1; |
|
|
|
|
2 |
|
(1.69) |
|||
k11 |
(x) = |
|
0, |
x 1; |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
40