Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

4.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

U (1)

(r − r )q(1)

(r )dr

(2) (r − r )q(2) (r )dr ,

s,s

/ (r) =

(r − r )g

js,s

(r )dr +

(1) (r − r )q(1) (r )dr +

(2) (r − r )q(2) (r )dr

, (2.140)

s,s

1 1

/ (r) =

(r − r )g

js,s

(r )dr +

(1)

(r − r )q(1)

(r )dr

(2)

(r − r )q(2)

(r )dr

s,s

для пульсаций

u/ (r) = u(r) −u* (r) ,

/ (r) = (r) − * (r) ,

/ (r) = (r) − * (r)

от макроскопических или осредненных полей

ui* (r) = *ij rj ,

* (r) = −E*j rj ,

* (r) = −H *j rj ,

где

gij (r) = Cijmn/ (r) *mn − enij/ (r)En* −

−hnij/ (r)Hn* − ij/ (r) + Cijmn/ (r)um/ ,n (r) + enij/ (r) ,/n (r) + hnij/ (r) ,/n (r) ,

q(1) (r) = e/

(r) *

+ /

(r)E*

+ / (r) − /

(r) /

(r) +

jmn

(2.141)

+ e/jmn (r)um/

,n (r),

q(2)

(r) = h/

(r) *

+ / (r)H * + /

(r) − /

(r) /

(r) + h/

(r)u/

(r)

jmn

m,n

и использованы вспомогательные разложения

C(r) = C• + C/ (r) ,

e(r) = e• + e/ (r) ,

h(r) = h• + h/ (r) ,

λ(r) = λ• + λ/ (r) ,

μ(r) = μ• + μ/ (r) .

141

Методом последовательных приближений решение системы интегродифференциальных уравнений (2.140), (2.141) представим в виде: нулевое ( k = 0 ) приближение

u/(0) (r ) = 0 ,				/(0) (r ) = /(0)				(r ) = 0 ;
	1					1		1
первое ( k =1) приближение
ui/(1) (r) = Uij (r − r1 )[C/jsmn (r1) *mn				− enjs/ (r1)En* − hnjs/ (r1)Hn* − /js (r1) ],s dr1						+
V
+ Ui(1) (r − r1	)[esmn/ (r1) *mn				+ sn/ (r1)En*		+ s/ (r1) ],s dr1 +
V
+ Ui(2) (r − r1	)[hsmn/ (r1) *mn				+ sn/ (r1)Hn*			+ s/ (r1) ],s dr1	,
V
/(1) (r) = j (r − r1 )[C/jsmn (r1) *mn				− enjs/ (r1)En* − hnjs/ (r1)Hn* − /js (r1) ],s dr1						+
V
+ (1) (r − r1 )[esmn/ (r1) mn + sn/ (r1)En							+ s/ (r1) ],s dr1 +		(2.142)
V
+ (2) (r − r1	)[hsmn/ (r1) *mn				+ sn/ (r1)Hn*			+ s/ (r1) ],s dr1 ,
V
/(1) (r) = j (r − r1 )[C/jsmn (r1) *mn − enjs/						(r1)En* − hnjs/ (r1)Hn* − /js (r1) ],s dr1 +
V
+ (1) (r − r1	)[esmn/ (r1) *mn				+ sn/ (r1)En*		+ s/ (r1) ],s dr1 +
V
+ (2) (r − r1	)[hsmn/ (r1) *mn				+ sn/ (r1)Hn*			+ s/ (r1) ],s dr1	;
V
последующие приближения для k = 2,3,...								рассчитываются по ре-
куррентной зависимости
u/(k ) (r) =		U	ij	(r − r )g(k −1) (r )dr +
i			ij		1	js,s	1	1

142

U (1) (r − r )q(1)(k −1)

(r )dr

(2)

(r − r )q(2)(k −1)

(r )dr ,

s,s

/(k ) (r) =

(r − r )g

(k −1)

(r )dr +

js,s

(1) (r − r )q(1)(k −1)

(r )dr

(2) (r − r )q(2)(k −1)

(r )dr ,

s,s

/(k ) (r) =

(r − r )g(k −1)

(r )dr +

js,s

(1) (r − r )q(1)(k −1)

(r )dr

(2) (r − r )q(2)(k −1)

(r )dr ,

s,s

где

g(k −1) (r ) = C/

(r ) *

− e/

(r )E*

−

jsmn

njs

−h/

(r )H *

− / (r ) + C

(r )u/(k −1) (r ) +

njs

jsmn

m,n

+ e/

(r ) /(k −1) (r ) + h/

(r ) /(k −1)

(r )

njs

q(1)(k −1) (r ) = e/

(r ) *

+ /

(r )E* + / (r ) −

smn

− / (r ) /(k −1) (r ) + e

(r )u/(k −1) (r )

smn

m,n

q(2)(k −1) (r ) = h/

(r ) *

+ /

(r )H *

+ /

(r ) −

smn

− / (r ) /(k −1) (r ) + h/

(r )u/(k −1)

(r ).

smn

m,n

Пульсации перемещений u/ (r) , электрического / (r) и магнитного / (r) потенциалов так же, как и поля u(r) , (r) и (r) (5), будут пропорциональны заданным величинам ε* , E* , H* , : пульсации перемещений

ui/ (r) = aimn (r) *mn + bin (r)En* + din (r)Hn* + ti (r) ,

(2.143)

где

143

a (r) =

(r −r )C

(r ) +

imn

jsmn,s

+U (1)

(r −r )e/

(r ) +U (2)

(r −r )h/

(r )]dr

+...,

smn,s

b (r) =

[−U

(r − r )e/

(r ) +U (1) (r − r ) /

(r )]dr +... ,(2.144)

njs,s

sn,s

(r) =

[−U

(r − r )h/

(r ) +U (2) (r − r ) /

(r )]dr

+... ,

njs,s

sn,s

t (r) =

[−U

(r −r ) /

(r ) +U

(1) (r −r ) /

(r ) +U (2) (r −r ) /

(r )]dr +... ,

js,s

s,s

1 1

пульсации электрического потенциала

/ (r) = fmn(1) (r) *mn + hn(1) (r)En* + mn(1) (r)Hn* + t(1) (r) ,

(2.145)

где

(1)

(r) =

[

(r − r )C

(r ) +

jsmn,s

+ (1) (r − r )e/

(r ) + (2) (r − r )h/

(r )]dr

+... ,

smn,s

h(1)

(r) =

[−

(r − r )e/

(r ) + (1) (r − r

) /

(r )]dr

+ ... ,

(2.146)

njs,s

sn,s

m(1) (r) =

[−

(r − r )h/

(r ) + (2) (r − r ) /

(r )]dr

+... ,

njs,s

sn,s

t(1) (r) = [− j (r −r1 ) /js,s (r1 ) + (1) (r −r1 ) s/ ,s (r1 ) + (2) (r −r1 ) s/ ,s (r1 )]dr1 +...,

пульсации магнитного потенциала

/ (r) = fmn(2) (r) *mn + hn(2) (r)En* + mn(2) (r)Hn* +t(2) (r) ,

(2.147)

где

144

(2)

(r) =

[

(r −r )C/

(r ) +

jsmn,s

+ (1) (r −r )e/

(r ) + (2) (r −r )h/

(r )]dr

+... ,

smn,s

h(2)

(r) =

[−

(r −r

)e/

(r ) + (1)

(r −r ) /

(r )]dr

+... , (2.148)

njs,s

sn,s

m(2) (r) =

[−

(r −r )h/

(r ) + (2) (r −r ) /

(r )]dr

+... ,

njs,s

sn,s

t(2) (r) =

= [− j (r − r1 ) /js,s (r1 ) + (1) (r − r1 ) s/ ,s (r1 ) + (2) (r − r1 ) s/ ,s (r1 )]dr1 +...

для наглядности с учетом лишь первого или «корреляционного»

[9, 15] приближения (2.142).

Аналогично (2.143), (2.145), (2.147) запишем решения для пульсаций перемещений и потенциалов в идеальной периодической структуре

uip/ (r) = aimnp (r) *mn +binp (r)En* + dinp (r)Hn* +tip (r) ,

p/ (r) = fmnp(1) (r) *mn + hnp(1) (r)En* + mnp(1) (r)Hn* +t p(1) (r) , (2.149)p/ (r) = fmnp(2) (r) *mn + hnp(2) (r)En* + mnp(2) (r)Hn* +t p(2) (r) ,

где коэффициенты разложений подобны (2.144), (2.146), (2.148), например

aimnp (r) = [Uij (r −r1 )Cjsmnp / ,s (r1

+Ui(1) (r −r1 )esmnp/ ,s (r1) +Ui(2) (r −r1 )hsmnp/ ,s

) +

(r1 )]dr1 +..., …, (2.150)

145

t p(2) (r) =

[−

(r − r ) p /

(r ) + (1) (r − r ) p /

(r ) + (2) (r − r ) p /

(r )]dr +....

js,s

s,s

1 1

Таким образом, решения для отклонений

u (r) = u(r) −up (r) ,

(r) = (r) − p (r) ,

которые можно записать и через пульсации в виде

u (r) = u/ (r) −up/ (r) ,

(r) = / (r) − p/ (r) ,

примут вид

ui (r) = aimn (r) *mn

+bin (r)En* + din (r)Hn* +ti (r) ,

(r) = fmn(1) (r) *mn + hn(1) (r)En* + mn(1) (r)Hn*

+t (1) (r) ,

(2.151)

(r) = fmn(2) (r) *mn + hn(2) (r)En* + mn(2) (r)Hn* +t (2) (r) ,

где

aimn (r) = [Uij (r −r1 )Cjsmn,s (r1 ) +

+Ui(1) (r −r1 )esmn,s (r1) +Ui(2) (r −r1 )hsmn,s (r1 )]dr1

+...,

(2.152)

t (2) (r) =

[−

(r − r )

js,s

(r ) + (1)

(r − r )

s,s

(r ) + (2) (r − r )

s,s

(r )]dr

+...

с учетом выражений (2.142), (2.143), (2.145), (2.147), (2.149); верх-

ний индекс « » указывает на принадлежность к отклонениям значений в квазипериодической от соответствующих значений в пери-

одической структурах, например a (r) = a(r) −ap (r) .

146

2.6.2. Корреляционная формула для тензоров эффективных свойств пьезокомпозитов

с разупорядоченными структурами

Решение «задачи эффективных модулей» для пьезокомпозита с разупорядоченной (квазипериодической) структурой рассмотрим на примере нахождения решения для тензора С* эффективных

упругих свойств; решения для остальных тензоров: λ* , μ* , e* , h* , χ* , κ* , β* , π* , * эффективных пьезопироэлектомагнитных

свойств (2.29) могут быть получены аналогично.

Запишем общие формулы для расчета тензоров эффективных свойств композитов с квазипериодической структурой

С* = С + i/ Λ ,

(2.153)

периодической структурой

Сp* = С + i1p / Λ p

(2.154)

и в сингулярном приближении (2.114)

Сs* = С + i1/ Λs

(2.155)

где

ijmn (r) = C

ijdb admn,b (r) − epij fmn(1), p (r) − hpij fmn(2), p (r) ,

ijmnp

ijdb admnp

,b (r) − epij fmn(1), pp (r) −

pij fmn(2), pp (r).

(2.156)

(r) = C

(r) − e

(1)s

(r) −

f (2)s (r).

(r) = C

pij

ijmn

ijdb

dmn,b

mn, p

pij

mn, p

формулах

(2.156)

сингулярные составляющие:

admns

,b (r) ,

fmn(1),sp (r) ,

fmn(2), ps (r)

рассчитываются через сингулярные составляющие

функций Грина (2.115), например

147

(r) =

imn,t

ij,ts

(r − r )C/

(r ) +U

(1)

(r − r )e/

(r ) +U

(2) (r −r )h/

(r )]dr +...

jsmn

i,ts

smn

i,ts

smn

1 1

или

(r) =U s

(r) +U

(1)se/

(r) +U (2)s h/

(r) +...

imn,t

itjs

jsmn

its smn

its

smn

с учетом сингулярного приближения (2.114)

Uij,ts (ρ) Uitjss

(ρ) ,

Ui(1),ts (ρ) Uits(1)s (ρ) ,

Ui(2),ts (ρ) Uits(2)s (ρ)

для вторых производных функций Грина.

Формулы (2.153)–(2.155) получены на основе формулы

(2.114)

для

С*

с учетом, что для рассматриваемых двухфазных

композитов справедливы разложения пульсаций физико-меха- нических свойств

С/ (r) =

i/ (r) ,

e/ (r) =

i/ (r) ,

h/ (r) =

i/ (r) , …

(2.157)

через пульсации индикаторной функции включений i/ (r)

и тензо-

ры разностей

= С1 −С2 ,

= e1 −e2 ,

= h1 −h2 , … .

(2.158)

В (2.156) вычтем из первого второе уравнение, получив для

компонент отклонений

Λ (r) = Λ(r) − Λp (r)

выражение

ijmn (r) = C

ijdb admn,b (r) − epij fmn(1), p (r) − hpij fmn(2), p (r) .

(2.159)

Домножим левую и правую части равенства (2.159) на пульсацию i1/ (r) и осредним, сделав последовательные преобразования правой части:

148

i/ a

i/ f (1)

i/ f

(2)

ijmn

= C

− e

pij

− h

ijdb

dmn,b

mn, p

pij

mn, p

i/ as

f (1)s

(2)s

] =

(2.160)

= (1− p)[C

− e

pij

− h

ijdb

dmn,b

mn, p

pij

mn, p

= (1− p) i/

= (1− p)(Сs*

− С );

ijmn

коэффициент корреляции (периодичности) квазипериодической структуры p (0;1) (1.17) – (1.19) рассчитывается через v11 = i1i1p

относительное объемное содержание в V области пересечения включений (волокон) квазипериодической и периодической структур при их мысленном наложении друг на друга.

Выражение i1/ Λ в левой части (2.160) запишем в виде

		i/ Λ = i/ Λ − i/ Λp ,				(2.161)
1			1	1
где
i1/ Λ = С* − С ,			i1/ Λ p	= p(Сp* − С ) ,		(2.162)
так как
Λp (r) = Λ/ p (r) =		pi/ p (r) ,	i/ Λp	= p i/ p Λp	= p(Сp* − С )
	Λ
1			1	1

с учетом формул (2.153)–(2.155).

Таким образом, после преобразования (2.161) с учетом

(2.162) имеем

i1/ Λ = С* − С + p(Сp* − С ),

(2.163)

и дополнительно из (2.160) следует равенство

i1/ Λ = (1− p)(Сs* − С ) .

(2.164)

Приравнивая правые части выражений (2.163) и (2.164), получим искомое решение

С* = pСp* + (1− p)Сs*.

149

Таким образом, для пьезоактивного композита с квазипериодической структурой получено решение

C*λ*μ*e**h =χ*κ*β*π**

Cp*				Cs*
	λ	p*			λ	s*
	λ				λ
	μ p*				μs*
		p*				s*
e				e
		p*				s*
h			+ (1	h			(2.165)
p	χ	p*	+ (1	− p)	χ	s*	(2.165)
	χ				χ
	κ	p*			κ	s*
	κ				κ
	β	p*			β	s*
	β				β
	π p*				πs*

p*				s*

для тензоров эффективных упругих свойств C* , диэлектрической

λ* и магнитной μ* проницаемостей, пьезомеханических свойств e*

иh* , коэффициентов электромагнитной связи χ* , κ* и температурных напряжений β* , векторов эффективных пироэлектрических π* и пиромагнитных * постоянных, которые выражаются (2.165) через решения Cs* ,…, s* обобщенного сингулярного приближения (2.134) и решения Cp* ,…, p* для периодической структуры. От-

метим, что вычисление тензоров эффективных свойств пьезокомпозита с периодической структурой Cp* ,…, p* в решении (2.165)

в общем сводится к решению задачи электромагнитотермоупругости на ячейке периодичности и представляет собой отдельную сложную задачу [17; 19]. Во многих работах, например в [4; 9; 15], отмечается, что значения эффективных упругих свойств многих матричных композитов с периодическими структурами близки к решению обобщенного сингулярного приближения при приравнивании свойств среды сравнения к свойствам матрицы композита. Поэтому далее тензоры Cp* ,…, p* в (2.165) рассчитываем также

по формулам обобщенного сингулярного приближения при приравнивании тензоров C• , λ• , μ• , e• , h• среды сравнения к соответ-

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.57 Mб2Психология делового общения..pdf
#
12.11.20233.67 Mб1Психология личности..pdf
#
12.11.202311.12 Mб31Психология перевода как сложного вида иноязычной речевой деятельности..pdf
#
20.11.2023512.8 Кб0Публичный отчёт Научной библиотеки Пермского национального исследовательского политехнического университета.-1.pdf
#
12.11.20231.37 Mб1Пути сохранения личностного потенциала пожилого человека..pdf
#
12.11.20234.82 Mб6Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов.pdf
#
12.11.20234.17 Mб0Работа с базой данных ProQuest Dissertations & Theses Global..pdf
#
12.11.20233.82 Mб1Работа с ресурсами портала гуманитарного факультета рекомендации по созданию электронного курса..pdf
#
12.11.20231.84 Mб4Работа с электронным тахеометром GTS-105N..pdf
#
12.11.20231.4 Mб3Работа с электронными таблицами EXCEL..pdf
#
12.11.20236.76 Mб1Работы по термодинамике и кинетике химических процессов..pdf