Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

4.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

пропорциональны заданным на макроуровне однородным полям

ε* , E* , H* ,

ui (r) = *ij rj + aimn (r) *mn + bin (r)En* + din (r)Hn* + ti (r) ,

(r) = −E*j rj + fmn(1) (r) *mn + hn(1) (r)En* + mn(1) (r)Hn* + t(1) (r) , (2.28)

(r) = −H *j rj + fmn(2) (r) *mn + hn(2) (r)En* + mn(2) (r)Hn* + t(2) (r) ,

и расчет тензоров эффективных свойств (2.17), (2.18)

= C

+ C

+ e/

(1)

+ h/ f

(2)

ijmn

ijdb

dmn,b

pij

mn, p

pij

mn, p

+ /

h(1)

+ e/

n, p

kpq qn, p

+ /

m(2)

+ h/

qn, p

n, p

kpq

e* = e

− C

+ e/

h(1)

+ h/

h(2)

nij

ijpq

qn, p

pij

n, p

pij n, p

= h

− C

qn, p

+ e/

m(1)

+ h/

m(2)

(2.29)

nij

ijpq

pij

n, p

pij

n, p

m(1)

+ e/

qn, p

n, p

kpq

h(2)

+ h/

kp n, p

kpq

qn, p

− C/

d ,b

+ e/

t(1)

+ h/ t(2)

ijdb

pij

, p

pij

, p

+ /

t(1)

+ e/

q, p

ip , p

ipq

= i

+ ip/ t,(2)p

+ hipq/

tq, p

сводится к нахождению полей a(r) , b(r) , …, t(2) (r)

(2.28); верх-

ним индексом « / » обозначены пульсации.

2.2. Аналитические решения для слоистой структуры

Получим аналитические решения для всех 23 независимых констант тензоров эффективных пьезоэлектромагнитных свойств: C* , λ* , μ* , e* , h* , χ* , κ* , β* , π* , * трансверсально-

изотропного слоистого композита с идеальной периодической слоистой структурой. Эти решения получим, рассмотрев различные

случаи макрооднородного нагружения композита деформацией ε* , электрическими и магнитными полями с напряженностями E* и H* . Определяющие соотношения для слоев (фаз f =1,2 ) даны в

формуле (2.15), напряженно-деформированное состояние каждого слоя однородно, и выполняются равенства для напряжений и деформаций

( f ) = *		,	( f )	= *	,		( f ) = *		,	( f ) = *		,
33	33		13	13			23	23		11	11
			( f	) = *		,	( f	) = *	,			(2.30)
			22	22			12	12

индукций и напряженностей

D( f ) = D*		,	B( f ) = B* ,			E( f ) = E*		,
3	3		3	3		1	1
E( f ) = E* ,			H ( f ) = H *		,	H ( f ) = H *			(2.31)
2	2		1	1		2	2

электрического и магнитного полей.

В результате получим решения для всех независимых констант эффективных упругих и пьезоэлектромагнитных свойств трансверсально-изотропного слоистого композита: компонент

C1122* , C1212* , C3333* , C1133* , C1313* тензора упругих свойств

= C

С*

= A

1212

1313

3333

C1313

= A

+ A

e311

−

e333a

+ A

h311

−

h333a

, (2.32)

1133

33b

+ A C*

+ A e*

+ A h*

;

= C

−

1133

311

−

311 333

1122

33b

1133

311

компонент e333* , e311* , e113* тензора пьезоэлектромодулей

= −A

333

e* = A

+ A

e311

−

e333a

+ A

h311

−

h333a

(2.33)

311

33b

e113

C1313

;

113

C1313

компонент h*

, h*

тензора пьезомагнитомодулей

333

311

123

113

= −A

333

h* = A

+ A

e311

−

e333a

+ A

h311

−

h333a

(2.34)

311

33b

h113

h123

C1313

;

113

123

C1313

компонент *

, *

тензора диэлектрических проницаемостей

e113

113

−

1313

= A ;

(2.35)

C1313

компонент *

, *

тензора магнитных проницаемостей

h123

h113

* =

−

123

113

1313

C1313

*	= A ;	(2.36)
33	33

компонент 11* , *21 , *33 тензора электромагнитной связанности

e113

h113

e113h113

−

C1313

e113

h123

*21 = −

e113h123

C1313

(2.37)

C1313

*33 = A32

и четыре независимые тепловые эффективные характеристики: температурные коэффициенты

11 = 11

−

C1133d

−

3e311

e311e333d

−

33b

−

3h311 +

h311h333d

+ A *

− A * − A * ,

(2.38)

33b

e333d

h333d

= A11

− A12

− A13

33b

и пироэлектрические постоянные

= −A

+ A

e333d

+ A

h333d

33b

(2.39)

e333d

h333d

= −A

+ A

33b

где Aij – компоненты матрицы A = a−1 , обратной матрице a с компонентами

			1																		1					c2												1				c2
a =					,									a		=								−			1	,					a =								−	2		,
a =					,									a		=								−				,					a =								−			,
11			b									22								33							b					33							33				b
			b																	33							b												33				b		(2.40)
								c1																			c2																c1c2		(2.40)
a = −a =								c1	,					a = −a =													c2		,			a = a = −											c1c2
a = −a =									,					a = −a =															,			a = a = −
12		21						b				13									31						b					23					32						b
								b																			b																b
с учетом обозначений
			e				e						h h																				e2				h2								e
a = C		+	333 311						+			333				311			,				b = C							+			333		+			333		,		c =			333	,
a = C		+	333 311						+			333				311			,				b = C							+			333		+			333		,		c =				,
1133				33										33													3333						33				33					1			33
							c =			h333					,	d =								−		3e333					−			3h333				;
					2					33											33						33							33
										33																	33							33
					A =						C1133					+						e311e333						+				h311h333						,
					1									b									33b											33b
														b									33b											33b
	A =						C1133c1							−				e311				− e311e333c1										+			h311h333c1							,
		2						b										33							33b												33b
								b										33							33b												33b
	A =					C1133c2								−			h311 − h311h333c2															+				e311e333c2 .
		3						b									33								33b												33b
								b									33								33b												33b
Выполняются равенства
					* = * ,											*			= − *								= − *						= *					*			= *				(2.41)
					11				11							12								21						12					21			33				33
и дополнительно *									= * ,							*					= *						для ненулевых компонент тен-
					22							11				22								11
зоров χ* ,	κ* эффективной электромагнитной связанности; отметим
равенство	*		= A .
		33			23

2.3. Обобщение соотношений Хилла на электромагнитные и термоупругие свойства однонаправленных волокнистых пьезокомпозитов*

Число независимых эффективных констант композита обусловлено классом симметрии его свойств на макроуровне [29; 76] и может быть значительно уменьшено на основе дополнительных точных соотношений между эффективными константами, учитывающих структуру композита; например то, что трансверсальноизотропный на макроуровне композит является двухфазным однонаправлено волокнистым. В исследовании [101] приведены точные соотношения Хилла между различными эффективными упругими константами такого композита с трансверсально-изотропными упругими свойствами волокон и матрицы. Рассмотрим обобщение подхода [101] на электромагнитные и термоупругие свойства однонаправленных волокнистых пьезокомпозитов. Уменьшение числа независимых эффективных констант сокращает объем необходимых вычислений при прогнозировании эффективных свойств композита.

Рассмотрим представительную область V однонаправленного волокнистого композита из двух однородных трансверсальноизотропных пьезоэлектромагнитных фаз: волокон (1-я фаза) и матрицы (2-я фаза), плоскости изотропии которых лежат в координат-

ной плоскости r1 r2 , r3 – ось поляризации и ориентации волокон.

Выполняются условия идеального контакта на межфазных поверхностях: непрерывность векторов перемещений, напряжений, индукций электрического и магнитного полей.

Частные случаи одноосных нагружений композита. Неко-

торые эффективные константы однонаправленного волокнистого композита могут быть определены из решения задач об однородном одноосном нагружении композита вдоль ориентации волокон

и направления поляризации r3 . Из решения задачи при E3* 0 могут быть определены константы e311* , e333* , *33 , *33 ; при H3* 0 –

* Принимая во внимание данные исследования [50].

h*	,	h*	, *	= *	, *	; при	*	0	– C*	, C*	; при 0	– *	,
311		333	33	33	33		33		1133	3333		33

* ,	* .
3	3
	Например, для компоненты e*										из формулы (2.18) имеем
									311
			e311*	= ep11H p(1)3 + hp11H p(2)3								−C11pq Bpq3
или с учетом симметрии B223 = B113										и ненулевых компонент транс-
версально-изотропных тензоров e, h, C (2.8)
	e*	= e	H (1)	+ h		H	(2)	− (C		+ C			)B			−C		B	. (2.42)
	311	311	33	311			33	1111				1122		113			1133	333
	Так как для однонаправленной волокнистой структуры име-
ем вспомогательные равенства
				H (1)	=1 ,			H (2)	= 0 ,			B		= 0 ,
				33				33				333
следовательно, преобразуем формулу (2.42) к виду
			e* = e − (C + C )B
				311		311			1111			1122			113
или
					e*		= e		− 2 kB					,					(2.43)
					311			311				113
где объемный модуль плоской деформации															k12 = (C1111 + C1122 ) / 2.

Для рассматриваемого двухфазного композита в (2.43) осредненная величина

k12 B113 = v1k(1)12 B(1)113 + v2k(2)12 B(2)113 ,

(2.44)

где k(1)12 , k(2)12 и B(1)113 , B(2)113 – объемные модули плоской деформации и осредненные значения поля B113 (r) в 1-й и 2-фазе соответственно. Так как

B = 0,

поэтому для рассматриваемых в (2.44) компонент B113 имеем равенство

B113 = v1B(1)113 + v2 B(2)113 = 0,

из которого следует
B	= −	v1	B	(2.45)
B	= −		B	(2.45)
(2)113		v2	(1)113
		v2

После подстановки (2.45) в (2.44) формула (2.43) преобразуется к виду

e*	= e	− 2v (k	(1)12	− k	)B	;	(2.46)
311	311	1	(1)12	(2)12	(1)113

отметим, что в формуле (2.46) компонента

B	=	(1)11	,	(2.47)
B	=	E*	,	(2.47)
(1)113		E*
		3

где (1)11 – осредненная по 1-й фазе (волокнам) компонента деформации 11 для случая, когда на макроуровне

E* 0	, E* = E* = 0 , H* = 0 , ε* = 0, = 0 .		(2.48)
3	1	2

Аналогично формуле (2.46) из (2.18) могут быть получены формулы для компонент

e333* = e333 − 2v1(C(1)1133 −C(2)1133 )B(1)113 ,

*	=	33	+ 2v (h		− h	)B	,	(2.49)
33		33	1	(1)311	(2)311	(1)113
*	=	33	+ 2v (e		− e	)B .
33		33	1	(1)311	(2)311	(1)113

Таким образом, из формул (2.46), (2.49) следуют искомые соотношения между эффективными модулями для первой группы

		e311* − e311		=		e333* − e333		=
				=				=
		k(1)12 − k(2)12				C(1)1133 − C(2)1133			(2.50)
	*33 − 33				*33 − 33				(2.50)
= −	*33 − 33		= −		*33 − 33		= −2v B ,
= −			= −				= −2v B ,
	h(1)311 − h(2)311				e(1)311 − e(2)311		1		(1)113
	h(1)311 − h(2)311				e(1)311 − e(2)311

где компонента B(1)113 определена в

(2.46),

(2.47). Аналогично

(2.50) получим равенства для второй группы

− h

h* − h

311

333

k(1)12 − k(2)12

C(1)1133 − C(2)1133

(2.51)

*33 − 33

= −

= −2v D ,

e(1)311 − e(2)311

h(1)311 − h(2)311

(1)113

где

(1)11

H3*

(1)113

(1)11 – осредненная по 1-й фазе компонента деформации

11 для

случая, когда на макроуровне

H * 0 ,

H * = H *

= 0, E* = 0 , ε* = 0 , = 0 ;

для третьей группы

− C

1133

3333

= 2v A

(2.52)

(1)1133

k(1)12 − k(2)12

C(1)1133 − C(2)1133

где

(1)11

*33

(1)1133

(1)11 – осредненная по 1-й фазе компонента деформации 11 для случая, когда на макроуровне

*33 0 , E* = H* = 0 , = 0,

остальные компоненты ε*ij = 0 ; для четвертой группы

	*3	=		*3	= −				*33	= 2v1T(1)11	, (2.53)
	e(1)311 − e(2)311	=	h(1)311	− h(2)311	= −			C(1)1133 − C(2)1133		= 2v1T(1)11	, (2.53)
	e(1)311 − e(2)311		h(1)311	− h(2)311				C(1)1133 − C(2)1133
где
				T		=	(1)11		,
				T		=			,
				(1)11

(1)11 – осредненная по				1-й фазе компонента деформации 11 для
случая, когда на макроуровне

0 , ε* = 0 , E* = H* = 0.

Отметим, что на основе формул (2.51), (2.52) можно получить равенства

e311*

− e311

e333*

− e333

*33

− 33

*33

−

e(1)311

− e(2)311

− h311

− h333

− 33

−

h(1)311 − h(2)311

h311

h333

*33 = 33 + ( *33 − 33 )( *33 − 33 )

с учетом, что *33 = *33 (2.8).

Обобщенные соотношения Хилла. Из определяющих соот-

ношений на макроуровне (2.17) имеем

* = k* * + C* *								− e* E* − h* H * − * ,									(2.54)
	12			1133		33			311	3	311	3	11				(2.54)
	12			1133		33			311	3	311	3	11
*	= C*	*		+ C*		*			− e*	E* − h*		H * − *			,
33	1133			3333			33		333	3	333	3		33
где
	* = ( * + *							) / 2 ,		* = *		+ *	,
				11		22					11	22
объемный модуль плоской деформации											k*	= (C*			+ C*		) / 2 .	Да-
											12		1111			1122
лее в формуле (2.54) макроскопические величины																* ,	*33 и	*
представим разложениями
* = v			(1)	+ v	(2)			,	*	= v		+ v		(2)33		,
	1		(1)	2	(2)				33	1	(1)33	2		(2)33

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.57 Mб2Психология делового общения..pdf
#
12.11.20233.67 Mб1Психология личности..pdf
#
12.11.202311.12 Mб31Психология перевода как сложного вида иноязычной речевой деятельности..pdf
#
20.11.2023512.8 Кб0Публичный отчёт Научной библиотеки Пермского национального исследовательского политехнического университета.-1.pdf
#
12.11.20231.37 Mб1Пути сохранения личностного потенциала пожилого человека..pdf
#
12.11.20234.82 Mб6Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов.pdf
#
12.11.20234.17 Mб0Работа с базой данных ProQuest Dissertations & Theses Global..pdf
#
12.11.20233.82 Mб1Работа с ресурсами портала гуманитарного факультета рекомендации по созданию электронного курса..pdf
#
12.11.20231.84 Mб4Работа с электронным тахеометром GTS-105N..pdf
#
12.11.20231.4 Mб3Работа с электронными таблицами EXCEL..pdf
#
12.11.20236.76 Mб1Работы по термодинамике и кинетике химических процессов..pdf