книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

(рис. 1.12); например, для рассмотренного случая (рис. 1.12, а), когда вектор ρ лежит на координатной оси r1 и pi 1 = p для всех

i 1, периодичность наблюдается при a = 2,02r (для g = 0,02 ) с периодом T = a для всех v1 (0; vmax ) , где расстояние между цен-

qi 1 – вероятность появления волокна в i-м круге при условии, что в 1-м круге – волокна нет, q11 = 0 ; с учетом связи pi 1 и qi 1

p pi 1 + (1− p )qi 1 = p ,

так как полная вероятность появления волокна в каждом i-м круге равна p . Варьированием значениями условных вероятностей pi 1

для i 1 в формуле (1.91) можно моделировать различные случайные структуры, например: если задать pi 1 = p , тогда появление

волокна в ячейке не зависит от наличия волокна в соседних ячейках (см. рис. 1.11, а, рис. 1.12); если для ячеек, расположенных правее 1-й ячейки по оси r1 , задать отличные от p значения

условных вероятностей pi 1 : для p31 p с учетом формулы (1.93), для следующих

p61 = p31 p31 + (1− p31 ) p , …

51

k11

/r

Рис. 1.14. Нормированные корреляционные функции волокнистого композита для значений условной вероятности p31 , когда

p 0,225 (○); 0,4 (Δ); 0,6 (□) при v1 = 0,2

(остальные pi 1 = p , p11 =1 ) или в виде рекуррентной последова-

здесь (в формуле (1.94)) через i +1 обозначена ячейка, следующая за i-й ячейкой по направлению оси r1 , тогда в случайной структуре

возникнут линейные кластеры из поперечных сечений волокон с преобладающей ориентацией вдоль оси r1 (см. рис. 1.11, б, рис. 1.14).

Аналогично формуле (1.67) на рис. 1.15 приведены различные нормированные смешанные двухточечные корреляционные функции (1.87) – (1.90) квазипериодической волокнистой структуры:

52

угол между ρ и осью r1 0 (а, в, д, ж) и 30 (б, г, е, з)

53

отметим, что значения функций k11(2) (0) и k11(3) (0) на рис. 1.15, а–г, равны соответственно значениям p (табл. 1.1 для прослойки g = 0,02, рис. 1.15, а, б) и 1− p (рис. 1.15, в, г) для заданной объемной доли волокон v1 . В идеальной периодической структуре во-

локна расположены в каждой ячейке, радиус поперечного сечения волокон в периодической структуре rp , выполняется неравенство

vp r . Величину радиуса rp находим из условия выполнения равенства объемных долей волокон в квазипериодической и периодической структурах и рассчитываем как rp = v S / через объемную долю волокон v1 и площадь S гексагональной ячейки периодичности структуры в плоскости r1r2 .

Таблица 1.1

Коэффициенты периодичности p композитов с различными минимальными прослойками g матрицы между волокнами

g = 0,02

Отметим, что корреляционные функции: Kij (ρ) , Kijk (ρ1,ρ2 ), …

формул (1.51), (1.62) входят в решение традиционного метода осреднения [10] стохастических краевых задач механики компози-

54

тов со случайными структурами; корелляционные функции Kij(3) (ρ) выражения (1.88), Kijk(3) (ρ1,ρ2 ) , … представляют собой разности

традиционных Kij (ρ), Kijk (ρ1,ρ2 ), … и вспомогательных (см. (1.87))

корреляционных функций и входят в решение метода периодических составляющих, в сингулярном приближении которого в исследовании [34] получено аналитическое решение, в которое вошел

коэффициент периодичности p (см. (1.18)) для тензора C* эффективных упругих свойств квазипериодического композита; функция Kij(4) (ρ) (см. (1.89)) приведена для сравнения с Kij(3) (ρ) (см. (1.88)),

аKij(5) (ρ) , Kijk(5) (ρ1,ρ2 ) , … (см. (1.90)) использованы в работе [85].

1.4.Корреляционные полидисперсные приближения для монодисперсных квазипериодических

иреальной структур

1.4.1.Корреляционные функции реальной

иполидисперсных структур

На рис. 1.16, а–г, приведены фрагменты в поперечной плоскости r1r2 различных однонаправленных вдоль r3 волокнистых по-

лидисперсных двухфазных традиционных (рис. 1.16, а, б) [25] и обобщенных (рис. 1.16, в (см. [34; 55]), рис. 1.16, г) моделей структур, черным цветом обозначена 1-я фаза, белым – 2-я фаза, r –

осредненный радиус поперечных сечений волокон реальной струк-

55

туры (рис. 1.16, з); считаем, что в полидисперсных структурах отсутствуют корреляции в значениях размеров и типах различных ячеек. Во всех слоистых двухфазных полидисперсных ячейках (рис. 1.16, а, г) чередование и толщина слоев 1-й и 2-й фаз по радиальной координате геометрически подобны, объемные доли 1-й и 2-й фаз во всех ячейках имеют постоянные значения v1 и v2 =1− v1 соответствен-

но. Свойства наружного слоя в ячейке определяют свойство матричности 1-й или 2-й фаз для всей полидисперсной структуры. Традиционная (см. рис. 1.16, а) полидисперсная структура является частным случаем полидисперсной структуры со слоистыми ячейками (см. рис. 1.16, г) при двух слоях в ячейке. Структура на рис. 1.16, г, состоит из полидисперсных однотипных слоистых ячеек и позволяет варьировать относительные радиусы и толщины чередующихся слоев 1-й и 2-й фаз при неизменных значениях их объемных долей: v1 , v2 =1− v1 в каждой ячейке. Принадлежность

внешнего поверхностного слоя ячейки к 1-й или 2-й фазе определяет свойство матричности всей полидисперсной структуры (см. рис. 1.16, г) по соответствующей фазе.

Для модельных полидисперсных структур (см. рис. 1.16, а–г) распределение размеров (радиусов поперечных сечений) однотипных цилиндрических ячеек варьируется в бесконечных пределах, поэтому считаем, что точка r (двухточечной корреляционной функции k11(r,r1) (1.71) – (1.73)) случайным образом лежит внутри

некоторой фиксированной цилиндрической ячейки с радиусом поперечного сечения R , радиус поперечного сечения содержащегося в ней волокна r . В случае, когда точка r случайным образом ле-

жит внутри некоторой другой фиксированной цилиндрической ячейки с меньшим радиусом поперечного сечения, например

гз

/r

ж

Рис. 1.16. Полидисперсные (а–г) аппроксимации (д–ж) экспериментальных значений (●) [17] нормированной корреляционной функции k11 ( )

однонаправленно волокнистого композита в плоскости изотропии (з)

Для реальной структуры (рис. 1.16, з) в плоскости изотропии однонаправленного волокнистого композита значения нормиро-

ванной корреляционной функции k11(ρ) (1.67) экспериментально

определены в работе [10] и приведены (●) на рис. 1.16, д–ж, где расстояние (1.68), осредненное значение радиуса r волокон в

структуре при объемной доле волокон v1 0,65. На рис. 1.16, д–ж

представлены результаты различных аппроксимаций значений (●) нормированной корреляционной функции k11( ) реальной структуры

(см. рис. 1.16, з) функциями: k11I ( ) (Δ) и k11II ( ) (◊) (см. рис. 1.16, д)

для традиционных полидисперсных структур, представленных на рис. 1.16, а, б, k11III ( ) (□) (см. рис. 1.16, е) для полидисперсной

57

структуры – на рис. 1.16, в, k11IV ( ) () (см. рис. 1.16, ж) для по-

лидисперсной структуры – на рис. 1.16, г.

На рис. 1.16, д, приведены однопараметрические аппрокси-

мации (Δ), (◊):

где 1 0,941, параметр аппроксимации 1 a / r – это нормированный радиус a волокна в составной ячейке, внешний нормированный радиус ячейки рассчитывается b / r = 1 / v1 через заданную объемную долю v1 волокна (1-й фазы) в ячейке и варьируемый параметр аппроксимации 1 (см. рис. 1.16, а)

ный радиус одного из волокон в структуре на рис. 1.16, б.

На рис. 1.16, е, приведены двухпараметрическая аппроксимация (□)

на основе полидисперсной структуры (см. рис. 1.16, в) с вариациями нормированных радиусов волокна 1 и составной ячейки 2 ;

нормированная толщина 2 − 1 цилиндрической прослойки матрицы (2-фазы) вокруг волокна (1-й фазы) в ячейке с учетом

ных полидисперсных структур на рис. 1.16, а, б. Отметим, что ко-

58

эффициент 3 в (1.101) по сути является коэффициентом корреляции

структур на рис. 1.16, а, з, метода корреляционных составляю-

щих [55].

На рис. 1.16, ж, приведена трехпараметрическая аппроксимация ()

на основе полидисперсной структуры IV (рис. 1.16, г) с вариациями нормированных радиусов 1 , 2 , 3 межфазных цилиндрических границ слоистой двухфазной ячейки, где 1 – радиус центрального волокна (1-й фазы), 2 , 3 , – внешние радиусы следующих за

волокном прослоек 2-й, 1-й и снова 2-й (у поверхности ячейки) фаз. Внешний нормированный радиус ячейки рассчитывается

Аппроксимация (1.103) практически точно описывает значения (●) нормированной корреляционной функции для реальной структуры

(см. рис. 1.16, з).

Дополнительно на рис. 1.17 приведены результаты расчета нормированных корреляционных функций для разупорядоченных полидисперсных структур (рис. 1.1, е, ж) со смещением центров сечений с минимальной гарантированной прослойкой 2 % от радиуса r кругового сечения волокна (□) (рис. 1.17, б) и со случайным

радиусом поперечного сечения волокон (○) (рис. 1.17, в); для сравнения штриховыми линиями обозначены корреляционные функции

k11I (ρ) (◊), k11II (ρ) (Δ) для базовых структур на рис. 1.1, б, г, v1 = 0,7.

59

Рис. 1.17. Нормированные корреляционные функции k11 (а)

полидисперсных структур со случайными смещениями центров (□) (б) и случайными значениями радиусов (○) (в) поперечных сечений волокон

1.4.2. Коррелированные полидисперсные структуры

На рис. 1.18 приведены фрагменты реализаций в поперечной плоскости r1r2 при одной объемной доле волокон v1 различных пар

(рис. 1.18, а–г) коррелированных или «связанных» между собой однонаправленных вдоль r3 волокнистых двухфазных структур:

коррелированных полидисперсных структур III (рис. 1.18, а) и I’ (рис. 1.18, б), квазипериодических монодисперсной (рис. 1.18, в, рис. 1.2, г) и коррелированной полидисперсной I’ с «дальним порядком» (рис. 1.18, г) структур. Коррелированные по размерам и взаимному расположению составных ячеек полидисперсные структуры I’ (см. рис. 1.18, б, г) являются вариациями традиционной полидисперсной структуры на рис. 1.1, б из однотипных составных двухфазных ячеек с волокном (1-я фаза), окруженным слоем матрицы (2-я фаза) композита.

В коррелированных полидисперсных структурах (см. рис. 1.18, б, г) пространство между «привязанными» составными

60