книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

Рис. 2.18. Нормированные корреляционные функции k11 ( ) (○) (а, б) и k11(2) ( ) (Δ) (в, г) и их аппроксимации k11II ( ) (◊), k11II ( ) (□) для объемной доли v1 = 0,7 (а, в), 0,8 (б, г) волокнистого композита

Графики на рис. 2.18 подтверждают то, что аппроксимации (◊), (□) на основе нормированной корреляционной функции k11II ( )

полидисперсной структуры (см. рис. 1.1, г) значительно более близки к виду используемых в методе периодических составляющих смешанных корреляционных функций k11(2) ( ) (см. рис. 2.18, в, г),

чем к виду корреляционных функций k11 ( ) (см. рис. 2.18, а, б) в тра-

диционном подходе [10; 26; 104] особенно при высоких величинах v1 наполнения композита волокнами. Благодаря этому факту (см. рис. 2.18, в, г) уточним решения (2.165) для тензоров эффективных пироэлектромагнитных свойств квазипериодического пье-

171

зокомпозита методом периодических составляющих (см. раздел 2.6.1) на примере тензора эффективных упругих C* свойств.

Рис. 2.19. Нормированные корреляционные функции k11 ( )

для периодической (□), полидисперсной (Δ), квазипериодической (●) структур при v1 = 0,5 (а), 0,7 (б); (○) – аппроксимация для (●)

Дополнительно на рис. 2.19 приведены графики нормирован-

( ) структур при объемной доле волокон v1 = 0,5 (рис. 2.19, а), 0,7 (рис. 2.19, б).

2.7.1.1. Схема уточнения на примере тензора эффективных упругих свойств квазипериодического композита

Расчет тензора эффективных упругих свойств C* композита

сводится к поиску F(r) в поле перемещений

172

малой упругой макродеформации ε* композита.

Метод функций Грина. Для наглядности ограничимся в традиционном решении [10; 26; 104] для пульсаций перемещений

ui/ (r) ui (r) − *ij rj = Fimn (r) *mn

лишь «корреляционным приближением» или первым членом ряда

ui/ (r) = Gik (r,r1 )[Cksmn/ (r1 )],s dr1 *mn +... ,

V

Fimn (r) = Gik (r,r1 )[Cksmn/ (r1 )],s dr1 +...;

V

пульсации деформаций

индексы в круглых скобках (i, j) обозначают операцию выделения

симметричной составляющей [104].

Аналогичное (2.196) решение может быть получено для соответствующей периодической структуры

173

и для отклонений ε (r) ε(r) −ε p (r) поля деформаций ε(r) в квазипериодической структуре от соответствующего решения ε p (r) для периодической структуры

где отклонения C (r) C(r) −Cp (r) .

Домножим со сверткой по двум парам индексов левую и правую части уравнения (2.198) на пульсации C/ (r) и осредним

выражение в левой части (2.199) можно представить в виде

через тензор Cp* композита с периодической структурой и коэффициент периодичности p (2).

Таким образом, из (2.199), (2.200) получим

[Cabij* − pCabijp* −Cabij (1− p)] *ij =

= Gi)k ,( j (r,r1 )Cabij/ (r)Cksmn (r1 ),s dr1 *mn +...

V

или

174

или с учетом возможной аппроксимации (см. рис. 2.18, в, г) нормированной корреляционной функции (2.191)

Правую часть равенства (2.203) преобразуем с учетом вспомогательного соотношения

= (CabijII* −Cabij ) *ij ,

включающего в себя тензор эффективных упругих свойств CII* по-

лидисперсной структуры (см. рис. 1.1, г), в результате из (2.203), (2.204) получим

[Cabij* − pCabijp* −Cabij (1− p)] *ij = (1− p)(CabijII* −Cabij ) *ij

или

с учетом выполнения предыдущего равенства для произвольных малых макродеформаций ε* композита. После очевидных сокращений в (2.205) получим искомое решение

175

для тензора C* эффективных упругих свойств композита с квазипериодической структурой.

Отметим, что точное решение для тензора CII* эффективных

упругих свойств полидисперсной статистической смеси может быть получено, например, методами самосогласования (расчетная схема – это одиночное включение в эффективной среде [33]) или в традиционном обобщенном сингулярном приближении [104], если свойства «среды сравнения» приравнять к эффективным свойствам CII* .

Например, для однонаправленного волокнистого трансвер- сально-изотропного композита с изотропными матрицей и волокнами, ориентированными вдоль оси r3 , обобщенное сингулярное

приближение [85, 104] для эффективных технических модулей: объемного модуля плоской деформации и модуля сдвига в плоскости

коэффициента Пуассона, характеризующего поперечную деформацию по оси r1 при растяжении вдоль оси r3 ,

176

плоскости для (2.207)–(2.210) или модуль сдвига в продольной плоскости для (2.211), t – объемный модуль плоской деформации трансверсально-изотропной среды сравнения обобщенного сингулярного приближения, в котором были получены [104] эти решения.

Выражения (2.207) – (2.211) обладают наибольшей степенью общности, так как из них вытекают и оценки Фойгта и Рейсса, и вариационные границы, и результаты самосогласованной модели.

будем иметь верхнюю и нижнюю вариационные границы Хашина – Штрикмана. Считая, что s = G(1)v1 +G(2)v2 , t = k(1)v1 + k(2)v2 , приходим к сингулярному приближению по схеме Фойгта ( k(1) k(2) ,G(1) G(2) ).

Если же s = G(1)G(2) (G(1)v2 +G(2)v1 ) , t = k(1)k(2) (k(1)v2 + k(2)v1 ) , то прихо-

дим к сингулярному приближению по схеме Рейсса. Наконец, при-

нимая в (2.207) – (2.210) s = G12* , t = k12* , а в (2.211) s = G13* , получим известное решение самосогласованной модели с расчетной схемой – одиночное волокно в эффективной среде [25, 33].

177

На рис. 2.20 представлены результаты расчета эффективного модуля Юнга E1* в плоскости изотропии r1r2 однонаправленного

трансверсально-изотропного волокнистого стеклопластика для различных значений величины минимальной гарантированной прослойки матрицы между волокнами на основе решения (2.206) для тензора C* квазипериодического композита со структурой в плос-

кости r1r2 вида, представленного на рис. 1.11, а; модули Юнга и коэффициенты Пуассона изотропных матрицы и волокон: E(2) = = 3,45 ГПа, (2) = 0,35 и E(1) = 73,10 ГПа, (1) = 0,22. При этом тен-

зоры Cp* и CII* в решении (2.206) рассчитывались в обобщенном

сингулярном приближении через технические модули (2.207) – (2.211) для среды сравнения соответственно: матрица () и эффективная среда (); коэффициенты периодичности p для различных используемых значений g = 0,02, …, 0,3 минимальной гарантированной относительной толщины прослойки матрицы между волокнами – в табл. 1.1. Дополнительно на рис. 2.20 для композита с прослойкой матрицы между волокнами 2 % от радиуса волокна (g = 0,02) даны значения () модуля E1* , рассчитанные через тен-

зор C* (2.165) с использованием (2.207) – (2.211): тензор Cp* () в (2.165) рассчитывался для среды сравнения – матрица, а тензор Cs*

(+) для среды сравнения – «среднее по Фойгту».

Таким образом, из анализа численных результатов на рис. 2.20 может быть сделан вывод, что расчет тензора CII* в реше-

нии (2.206) в обобщенном сингулярном приближении по схеме самосогласования вместо использованного ранее, например в [32], (2.165) для Cs* традиционного сингулярного приближения со сре-

дой сравнения – среднее по Фойгту C [104] – позволяет значительно уточнить результаты расчета искомого тензора C* (2.206)

эффективных упругих свойств квазипериодического композита, в частности модуля Юнга в трансверсальной плоскости однонаправленного волокнистого стеклопластика.

178

E1* / E(2)

v1

Рис. 2.20. Эффективный модуль Юнга E1* волокнистого стеклопластика

с минимальными гарантированными прослойками матрицы между волокнами 2 % (), 5 % (), 10 % () и 30 % () от радиуса волокна, экспериментальные данные ( • ) [84]

2.7.1.2. Уточненные эффективные пироэлектромагнитоупругие свойства квазипериодического пьезокомпозита

Проведем обобщение полученного уточненного решения для тензора эффективных упругих свойств C* (2.206) в рамках теории упругости (см. раздел 2.7.1.1) на тензоры эффективных пироэлектромагнитоупругих свойств C* ,λ* ,μ* ,e* ,h* ,χ* ,κ* ,β* , π* , * (2.165)

пьезоактивных композитов с учетом вида корреляционных функций (см. рис. 1.12) квазипериодических структур на основе аппроксимаций (см. рис. 2.18) [41]. Для примера рассмотрим получение решения для тензора эффективных упругих свойств С* пьезоком-

179

позита с квазипериодической структурой, решения для остальных тензоров λ* , …, * могут быть получены аналогично с учетом раз-

дела 2.6.1.

Запишем формулы для расчета тензоров эффективных свойств композитов с квазипериодической структурой

ностей C = C1 −C2 , , h = h1 −h2 . В формулах (2.215) вычтем из первого второе уравнение, получив для компонент отклонений

Λ (r) = Λ(r) − Λp (r)

выражение

ijmn (r) = Cijdb admn,b (r) − epij fmn(1), p (r) − hpij fmn(2), p (r) .

Домножим левую и правую части этого последнего равенства

180