книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

ствующим тензорам C2 , λ2 , μ2 , e2 , h2 матрицы (например, 2-й фазы) композита (2.137).

2.6.3.Влияние разупорядоченности, искривления

идискретизации слоев и волокон на электромагнитные

связанности пьезокомпозитов

Слоистый композит [42]. На основе полученного решения (2.165) проведем анализ влияния искривлений слоев на эффективные свойства, например, на коэффициенты электромагнитной связанности слоистого композита. В рамках квазипериодической модели структуру композита задаем через случайные отклонения (искривления) от идеальной периодической слоистой структуры. В разделе 2.2 по формулам (2.32)–(2.39) получены аналитические решения для всех 23 независимых констант тензоров эффективных пьезоэлектромагнитных свойств ( Cp* , λ p* , μ p* , e p* , h p* , χ p* , κ p* ,

β p* , π p* , p* ) трансверсально-изотропного слоистого композита с

идеальной периодической слоистой структурой. Отметим, что эти решения Cp* , …, p* (2.32)–(2.39) совпадают с решениями обоб-

щенного сингулярного приближения (2.134) с предельным переходом ( a1 = a2 → , a3 =1) эллипсоидального зерна неоднородности

(2.132) в слой и не зависят от выбора свойств среды сравнения

в сингулярном приближении (2.134) рассчитываем для сферического зерна неоднородности ( a1 = a2 = a3 ) со свойствами среды сравне-

ния (2.138).

В композите с разупорядоченной слоистой структурой искривления различных слоев – статистически независимые величины, которые для каждого слоя задаем через искривления (прогибы) a3 = a3 (r1,r2 ) по оси r3 точек его срединной поверхности; толщины

слоев при искривлениях не изменяются (рис. 2.14). Для каждого

151

невыхода элемента искривленного слоя из ячейки, H и b – высота ячейки и толщина слоя соответственно, v1 = b / H – величина от-

носительного объемного содержания искривленных слоев в композите. На рис. 2.14, б, дополнительно изображена область пересечения первоначального и смещенного на вектор a элементарного фрагмента слоя для расчета коэффициента периодичности p

(1.18); вычисление характеристики v11 (1.19) в (1.18) свелось к за-

даче осреднения объема этой области пересечения. Решение для коэффициента периодичности p такой структуры с искривленны-

ми слоями совпадает с ранее полученным решением (1.45), (1.46)

на рис. 1.6, г.

а б

Рис. 2.14. Фрагмент квазипериодической структуры композита с искривленными слоями (а), элементарная ячейка квазипериодичности (б)

На рис. 2.15 приведены отличные от нуля эффективные коэффициенты электромагнитной связанности 11* , 12* и *33 компо-

зита: феррит – 1-я фаза (см. (2.11) – (2.13)), PVDF – 2-я фаза в зави-

симости от относительного объемного содержания феррослоев v1 и

для различных степеней k их искривления: □ – для идеальной слоистой структуры (при отсутствии искривлений, k → 0 ); ◊ – для

152

ским зерном неоднородности. Коэффициенты электромагнитной связанности 11* , 12* уменьшаются, а *33 увеличивается при росте степени искривления слоев композита.

*33 ,нс/м

б

Рис. 2.15. Коэффициенты электромагнитной связанности 11* (а),12* (б) и *33 (в) слоистого пьезоэлектромагнетика

Волокнистый композит [43]. Структуры разупорядоченных в трансверсальной плоскости r1r2 прямых непрерывных однона-

153

правленных по оси r3 волокон описываем по двум моделям. В пер-

вой модели (см. рис. 1.2, в), (рис. 2.16, а) центры сечений волокон имеют независимые для каждой гексагональной ячейки случайные смещения a из центров своих ячеек в плоскости r1r2; сечения не выходят за пределы ячеек, степень разупорядоченности волокон k [0;1], радиус поперечных сечений волокон r . Во второй модели

(см. рис. 1.2, г, рис. 2.16, б) структура образована статистически независимым для различных гексагональных ячеек случайным размещением центров поперечных сечений волокон в центрах ячеек при заданной минимальной гарантированной прослойке матрицы между волокнами 5 % от r . Решения для коэффициен-

тов периодичности рассматриваемых моделей структур получены ранее на рис. 1.5, где представлены результаты расчета коэффициента периодичности p однонаправленного волокнистого композита для разных значений степени разупорядоченности k в зависимости от величины относительного объемного содержания v1 волокон для обеих моделей структур.

На рис. 2.16 приведены результаты расчета по формулам обобщенного сингулярного приближения (2.134) эффективного коэффициента электромагнитной связанности *33 композита с ори-

ентированными ферритовыми (см. (2.11)–(2.13)) волокнами в пьезоэлектрической матрице PVDF в зависимости от относительного объемного содержания волокон v1 . В решении (2.165) тензоры

Cp* ,…, p* и Cs* ,…, s* рассчитывали также по формулам обоб-

щенного сингулярного приближения (2.134) при приравнивании свойств среды сравнения к свойствам матрицы (2.137) и к осредненным значениям (2.138) соответственно; зерно неоднородности – волокно ( a1 = a2 , a3 → ) (2.132).

На рис. 2.16 использованы следующие обозначения графиков

(среда сравнения с осредненными по объему композита свойствами

154

(2.138)). Выявлено увеличение коэффициента электромагнитной связанности композита *33 при уменьшении разупорядоченности

волокнистой структуры.

v1

*33 ,нс/м

в

Рис. 2.16. Коэффициент электромагнитной связанности *33 волокнистого пьезоэлектромагнетика в зависимости от содержания ферритовых волокон v1

Структуры с искривленными или дискретными волокнами

[60] также описываем в рамках квазипериодических моделей (см. рис. 1.5, а, б). Искривленность волокна задаем функцией плотности вероятности для случайной величины модуля вектора a отклонения центра кругового сечения волокна от первоначального положения центра сечения в соответствующем прямолинейном волокне периодической структуры. Искривленность различных волокон считаем статистически независимыми величинами, и точки искривленных волокон не могут выходить за пределы своих ячеек. Искривления по длине волокон распределены статистически однородно, возможная корреляция (или радиус корреляции) искривлений по длине волокна может быть учтена через форму эллипсоидального зерна неоднородности (2.132) в сингулярных составляю-

155

щих вторых производных функций Грина (2.114). В модели однонаправленных прямолинейных дискретных волокон случайным параметром является длина волокна, которая характеризуется вероятностью p появления в произвольной точке на оси первона-

чально непрерывного волокна точки оси дискретного волокна случайной длины. Свойство статистической однородности и эргодичности случайных полей позволяет считать p отношением

суммарной длины дискретных волокон к длине соответствующих непрерывных волокон. Для рассматриваемой квазипериодической волокнистой структуры в формуле (1.18) расчета коэффициента корреляции p величина v11 – относительное объемное содержание

области пересечения искривленных (или дискретных) волокон квазипериодической и прямолинейных непрерывных волокон идеальной периодической структур при их мысленном наложении друг на друга (1.19). Для расчета коэффициентов корреляции p

(см. рис. 1.5, в) таких структур с искривленными (см. рис. 1.5, а) или дискретными (см. рис. 1.5, б) волокнами достаточно рассмотреть представительные реализации поперечных сечений волокнистых композитов, степень искривления волокон k [0;1] для модели

на рис. 1.5, а. Периодическая структура для обеих моделей квазипериодических структур одна и та же – это однонаправленный волокнистый композит с гексагональной укладкой прямых непрерывных волокон с круговым поперечным сечением радиуса r p .

В первой модели (см. рис. 1.5, а) квазипериодической структуры центры сечений волокон имеют независимые для каждой гексаго-

нальной ячейки случайные смещения a(r3 ) в плоскости r1r2 от центральных осей r3 своих ячеек; сечения волокон не выходят за пределы ячеек, a3 = 0 . В этой модели случайные величины: ориентаци-

онный угол и модуль вектора отклонений a распределены по независимым равномерным законам на отрезках [0;2 ] и [0; ] со-

ответственно, где = k max , степень искривления волокон k, величина максимально допустимого смещения (искривления) max = R − r ,

156

радиус вписанной в ячейку окружности R, радиус поперечных сечений волокон r , одинаковый для рассматриваемой квазипериодической и периодической структур r = r p . Во второй модели (см.

рис. 1.5, б) дискретные прямые волокна с круговым поперечным сечением радиуса r , случайной длиной и взаимным расположени-

ем, как и в первой модели, ориентированы вдоль r3 и оси волокон

лежат на центральных осях гексагональных ячеек. Отметим, что в поперечной плоскости квазипериодическая структура образо-

вана статистически независимым для различных гексагональных ячеек случайным с вероятностью p размещением центров попе-

речных сечений волокон радиуса r в центрах ячеек при задан-

ной минимальной гарантированной прослойке матрицы между волокнами 5 % от r . При фиксированной минимальной гаран-

тированной прослойке матрицы между волокнами в квазипериодической структуре вероятность p есть функция от варьируемой

величины относительного объемного содержания дискретных во-

объемных долей включений (волокон) в квазипериодической и периодической структурах.

Результаты расчета коэффициента корреляции p (1.18) и эффективного коэффициента электромагнитной связанности *33

композита с однонаправленными непрерывными искривленными и дискретными пьезомагнитными волокнами в пьезоэлектрической матрице в зависимости от относительного объемного содержания

волокон v1 совпадают соответственно с графиками на рис. 1.5, в, и рис. 2.16 с учетом новых обозначений для различных значений степени искривления непрерывных волокон: – k = 0 (периоди-

да сравнения - среднее по объему композита). Выявлено увеличе-

157

ние коэффициента электромагнитной связанности *33 композита

при уменьшении искривления и дискретности ферритовых волокон в пьезоэлектрической матрице.

2.6.4. Асимптотические решения методом последовательных разупорядочиваний

Асимптотический и дифференциальный подходы метода последовательных разупорядочиваний [35] рассмотрим на примере

расчета тензора эффективных упругих свойств C* композита с квазипериодической структурой на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости

для поля перемещений u(r) в микронеоднородной двухфазной области V с полем упругих свойств C(r) (2.175). Асимптотический

подход позволяет представить квазипериодическую с заданным коэффициентом разупорядоченности и искомым тензором эффективных упругих свойств как результат малых последовательных разупорядочиваний первоначальной идеально периодической структуры композита с известным тензором упругих свойств. Дифференциальный подход приводит к дифференциальному уравнению для искомого тензора эффективных упругих свойств как функции коэффициента разупорядоченности; решение дифференциального уравнения совпадает с решением асимптотического подхода.

Метод последовательных разупорядочиваний. Рассмотрим последовательность (k =1,n) случайных квазипериодических

структур в области V. Считаем, что первоначально при k = 0 структура была идеально периодическая с полем упругих свойств в каждой ячейке C p (r) , r V . При k =1 поле упругих свойств в каждой

ячейке C1 (r) = Cp (r −a1) задано через независимые (для каждой из ячеек) случайные смещения a1 центров включений из узлов иде-

158

альной периодической решетки. Для произвольной k-й квазипериодической структуры поле упругих свойств в ячейке имеет вид

Ck (r) = Ck −1(r −ak ) ,

где ak – независимые для каждой из ячеек в области V случайные смещения центров включений из случайных узлов rk −1 = r0 + kj =−11a j

центров включений (k −1) -й структуры; r0 – радиус-вектор центра

включения в рассматриваемой ячейке идеальной периодической структуры. Отметим существование равенства

ладающих ориентаций, модуль ak распределен по равномерному закону, ak и a j - статистически независимые величины для всех k j , так как при разупорядочивании включения не выходят за

границы своих ячеек.

Решение k-й стохастической краевой задачи (2.166)

относительно искомого поля перемещений uk (r) в микронеоднородной области V с границей Г и с полем упругих свойств Ck (r)

( * - заданный тензор однородной малой упругой деформации композита) представим через отклонения

от решения uk −1(r) соответствующей (k −1) -й краевой задачи

159

Для предельного случая k = 0 идеальной периодической структуры решение up(r) краевой задачи (2.168) известно по (1.7) – (1.9).

В сингулярном приближении [104] статистической механики композитов, когда у второй производной функции Грина

Gim, jn (r −r1 ) = Iijmn (r −r1) + Gijmn (r −r1)

учитывается лишь сингулярная составляющая I (r −r1), где(r − r1) – дельта-функция Дирака, решение для тензора осреднен-

аналогичен коэффициенту корреляции (1.11) и рассчитывается через v11k – относительное объемное содержание областей пересечения k -й и (k −1) -й квазипериодических структур при их мысленном наложении друг на друга, дисперсия D11 (1.15) не зависит от k .

Аналогично решению (1.10) тензор эффективных упругих

где C*k −1 и Cs* – тензоры эффективных упругих свойств композита с (k −1) -й структурой и статистической смеси.

160