книги / Практические задания по сопротивлению материалов

Пример решения задачи 5.4

Дано: вал, нагруженный вращающими моментами (см. рис. 5.6, а), сплошного круглого (d), кольцевого (α= dкол/ Dкол= 0,3) и квадратного (a a) сечений.

Найти:

а) поперечные размеры валов; б) распределение касательных напряжений в опасных сечениях

валов; в) оценить рациональность форм сечения валов.

Решение: при решении задачи 5.3 в качестве опасного участка был выявлен I участок вала, так как на нем крутящий момент достигает наибольшего значения |Mкр1| = 60 кН·м.

1. Определяем поперечные размеры валовДиаметр сплошного круглого вала (см. решение задачи 5.3): по условию прочности: dкрпр 190 мм;

по условию жесткости: dкрж 150 мм.

Принимаем диаметр круглого сплошного вала по наибольшему

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69 (см. прил. 2):

Dколпр 190 мм.

Определяем размеры сечения кольцевого вала из условия жест-

91

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69: Dколж 150 мм.

Принимаем диаметр кольцевого вала по наибольшему значе-

нию: Dкол = 190 мм.

Диаметр отверстия: dкол = α· Dкол = 0,3· Dкол = 0,3·190 = 57 мм.

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69 (до ближайшего

меньшего): dкол = 56 мм.

Уточняем значение α = dкол / Dкол = 56 / 190 = 0,29.

Определяем размеры сечения вала квадратного сечения из условия прочности:

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69: aпр = 190 мм. Определяем размеры сечения вала квадратного сечения из ус-

ловия жесткости:

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69: aж = 140 мм. Принимаем размер стороны квадрата по наибольшему значе-

нию: a = 190 мм.

92

2. Определяем максимальные касательные напряжения в сечениях валов:

сплошной круглый вал:

Строим эпюру распределения касательных напряжений по сечению вала (рис. 5.8, а).

кольцевой вал:

Строим эпюру распределения касательных напряжений по сечению вала (рис. 5.8, б).

вал квадратного сечения:

Рис. 5.8

Строим эпюру распределения касательных напряжений по сечению вала (рис. 5.8, в).

93

3. Определяем значения основных геометрических характеристик валов.

Площадь сечения:

– сплошного круглого вала:

Момент сопротивления:

– сплошного круглого вала:

W кр 0,2 d 3 0,2 0,193 1,37 10 3 м3 ;

– кольцевого вала:

W кол 0,2Dкол3 (1 α4 ) 0,2 0,193 (1 0,294 ) 1,36 10 3 м3 ;

– вала квадратного сечения:

Wk 0, 208 a3 0, 208 0,193 1, 43 10 3 м3.

Момент инерции:

– сплошного круглого вала:

J кр 0,1 d 4 0,1 0,194 1,30 10 4 м4 ;

– кольцевого вала:

J кол 0,1 Dкол4 (1 α4 ) 0,1 0,194 (1 0,294 ) 1,29 10 4 м4 ;

– вала квадратного сечения:

Jk 0,141 a4 0,141 0,194 1,84 10 4 м4 .

94

4. Оцениваем рациональность формы сечения валов по условию прочности и жесткости.

Вал сплошного круглого сечения:

Вал кольцевого сечения:

Вал квадратного сечения:

Отношение критериев рациональности:

– по прочности:

wкркол wкркр wкркв 0,32 0,29 0,21 1,52 1,38 1,0 ;

– по жесткости:

jкркол jкркр jкркв 0,18 0,16 0,14 1,29 1,14 1,0 .

Вывод: наиболее рациональным является вал кольцевого сечения, наименее рациональным – вал квадратного сечения (по условию прочности и жесткости соответственно в 1,5 и 1,3 раза).

95

Контрольные вопросы

1.Какой вид нагружения называется кручением?

2.Какие гипотезы принимаются при деформации кручения? Изменяются ли длина и диаметр вала при кручении?

3.Как определить величину крутящего момента, действующего в сечении? Какое правило знаков для крутящего момента принято при построении эпюр?

4.Как и для чего строятся эпюры крутящих моментов и напряжений вала?

5.Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого вала при кручении? Как они распределены по сечению?

6.Чем объясняется, что вал кольцевого сечения при кручении экономичнее вала сплошного сечения? Почему для деталей, работающих на кручение, выбирают круглое поперечное сечение?

7.Почему для деталей, работающих на кручение, не выбирают квадратное сечение?

8.По какой формуле определяются напряжения в точках сечения круглого вала при кручении?

9.Как определяются наибольшие напряжения в сечении круглого вала при кручении? Чему равно напряжение в центре сечения?

10.Как записывается условие прочности вала при кручении? Как выбираютсядопускаемыенапряженияприрасчетена кручение?

11.Какие три типа задач решаются на основании условия прочности?

12.Как определяется диаметр вала из условия прочности?

13.Какие деформации возникают при кручении вала? Что называют относительным углом закручивания θ? В каких единицах он измеряется?

14.Какая существует связь между углом сдвига, углом закручивания и относительным углом закручивания вала?

15.Сформулируйте закон Гука для кручения.

16. Напишите формулу для определения относительного и полного угла закручивания круглого вала.

96

17.Как определить углы закручивания по длине ступенчатого вала? Как строится эпюра углов закручивания вала?

18.Сформулируйте условие жесткости при кручении.

19.Какие три типа задач решаются на основании условия же-

сткости?

20.Как определяется диаметр вала из условия жесткости?

Литература: [1, п. 2.4; 2, лекц. 6; 4, гл. 22].

97

6. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ДЕФОРМАЦИЯХ СМЯТИЯ И СДВИГА

иплощадь стержня Ai в опоре.

2.Из прил. 1 выписать значения допускаемых напряжений на срез [τс] и смятие [σсм] материала стержня.

3.Из условия прочности на смятие определить минимальную величину площади смятия Aсм.

4.Определить минимальный диаметр D головки стержня, округлить результат согласно ГОСТ 6636–69 (прил. 2).

5.Из условия прочности на срез определить минимальную величину площади среза Aср.

6.Определить минимальную толщину b головки стержня, округлить результат до целых чисел в мм.

98

Указания к выполнению

Смятие и сдвиг являются разными видами деформации, приводящими к различным видам разрушения конструкций (рис. 6.2). Однако на практике эти два вида деформации обычно действуют одновременно, так как вызываются одинаковыми нагрузками, и, соответ-

где σсм – нормальные напряжения, возникающие в зоне смятия;

распределены по площади контакта равномерно. Если соприкасаются детали из материалов разной твердости, то расчет на смятие осуществляется для детали из наиболее мягкого материала.

Срез – вид разрушения, вызываемый деформацией сдвига. Условие прочности на срез в общем виде следующее:

cp Qcp ,

Acp cp

где ср – касательные напряжения, действующие по площади среза; Qср – сдвигающая (перерезывающая) сила; Aср – площадь поверхности, по которой происходит срез; [ ]ср – допускаемые напряжения на срез.

99

Пример решения задачи 6.1

Дано: стержень закреплен в опоре при помощи подвижной круглой головки (см. рис. 6.1, а). Согласно решению задачи 3.1:

N3 = –30 кН; А3 = 1,5А = 1,5·10 = 15 см2.

Физико-механические свойства чугуна СЧ15 (см. прил. 1):

[τс] = 53 МПа; [σсм] = 120 МПа.

Найти: минимальные необходимые размеры головки стержня (диаметр D, толщину b).

Решение:

1. Определяем минимальный диаметр D головки стержня из ус-

Минимальная площадь смятия, удовлетворяющая условию прочности, составит

Зона смятия представляет собой кольцо с внутренним диаметром d3 и наружным диаметром D (см. рис. 6.1, б):

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69 в большую сто-

рону: D = 48 мм.

2. Определяем минимальную толщину b головки стержня из ус-

Минимальная площадь среза, удовлетворяющая условию прочности, составит

100